Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Аналогично находим и преобразование Лапласа для уравнения взвешенных невязок ) ~АУ(х, Х) — ~ У(х, Х)+ ! и(х, 1,)1 У'5, х, Х)4[(,4(х) = удоа- (4ЛО) 11ш К1/з (е) = (и/2«)'/х, (4.14) что дает Отсюда следует, что фундаментальное решение уравнения (4.6) имеет особенность того же типа, что и фундаментальное решение исходного уравнения Лапласа. Аналогично получаем предел функции К,(х) при г -4 0 [10]: К, (з) = — !пх, (4.И) откуда имеем ! ! ! Х У'= — 1п — — — 1и — при г-~0. (4.17) 2ль г 4~й а Первое слагаемое в правой части этого выражения представляет собой фундаментальное решение для двумерного уравнения Лапласа, тогда как второе слагаемое является некоторой постоянной, Полагая У" фундаментальным решением уравнения (4.6), летворяющим равенству й г/'У*(й, х, )) — 2У (~, х, )) = — Л(й, «), из уравнения (4.9) найдем У(й, х)+л ~ У(х, 2,)!Е*(й, х, 2,)4[Г(х) = = /4 ~ Я (х, Х) У' (В, х, Х) 4[Г (х) -~ + и,(х, 1)У'$, х.
Х)дй(х). (4.11) Фундаментальное решение У' для трехмерных задач имеет вид а для двумерных задач— У вЂ” К,их) .1, (4ЛЗ) где К, — модифицированная функция Бесселя второго рода по- рядка Исследуем особенности записанных выше фундаментальных решений. При г -+- 0 к нулю стремится и аргумент модифициро- ванных функций Бесселя. Предел функции Кпе(х) при х-~ 0 имеет вид [10) >'ливи 4 Зпдппп пморпи >пеппопро>пдпое>пп !6! >О 00 00 0,4 00> Я' >О' зо' В' >О' !0' !> Рпс. 4.2. Зависимость ЛУ от Л.
Ряс. 4.!. К прнмеру 4.!. 6 вресплл к > пв Считая точку 0 в уравнении (4.11) прина!!лежни!ей границе и учитывая, что интеграл от функции Я* имеет разрыв, когда точка 0 находится на границе Г, получим уравнение сф) Уф, Л) + й ~ У(х, Л) Я*($, х, Л)е[Г(х) = г = й ~ Я(х, Л) У" $, х, Л)с[Г(х) [- ~ ив(х, ! ) У"$, х, Л)сЯ(х), г и (4.18) где коэффициент с имеет то же значение, что и раньше (см.
гл. 2). В дискретной форме это уравнение решается численно для последовательности Ф выбранных значений параметра преобразования Л, задаваемых достаточно произвольно [1). Отметим, что наличие специальных начальных условий приводит к интегралу по области ь1. Один путь вычисления этого интеграла состоит в разбиении всей области на ячейки и численном интегрировании по каждой из них. Однако если функция и, удовлетворяет уравнению Лапласа, то интеграл по области в уравнении (4.!8) можно преобразовать в эквивалентные граничные интегралы [11). Каким бы ни был метод вычисления интеграла по области, этот интеграл уже ие вводит дополнительной неизвестной, поскольку функция ие задается, а уравнение (4.18) по-прежнему остается граничным интегральным уравнением.
Последним этапом является обратное преобразование решения, которое выполняется численно. Следуя, например, методу Шапери П2) (ср. с работой [1)), предположим, что функция и в любой точке может быть представлена в виде бесконечного ряда и(0, г) = и($, оо)+ ~! а ($)ехр[ — Ь„Я)!), (4.!9) л=! где и ($, оо) — стационарное решение, а„и ܄— функции пространственных координат. Применяя к представлению (4.19) преобразование Лапласа, получим л ! Значения коэффициентов Ь„полагаются равными предварительно выбранным значениям Л.
Таким образом, остается определить М значений коэффициента а в каждой граничной точке (плюс в каждой внутренней точке, в которой требуется знать решение). Решения уравнения (4.18) дают А> значений функции У в каждой точке, что позволяет с помощью выражения (4.20) определить коэффициенты а„и, следовательно, с помощью выражения (4.19) найти значения физической величины и.
Аналогичные рас- четы требуется проводить и при определении действительных значений внутренних н граничных потоков. Отметим, что обратное преобразование по существу представляет собой процесс аппроксимации кривой, и раз так, то в процессе численного решения важно знать ожидаемый характер поведения решения, с тем чтобы подобрать значения параметра преобразования Л, поскольку, выбрав слишком много значений, можно сделать неустойчивым процесс нахождения решения с помощью выражения '(4.20), тогда как выбор слишком малого числа значений не позволит с достаточной точностью аппроксимировать кривую [13).
Более того, как отмечено в работе [11), такой подход будет неэффективным в том случае, если граничные условия имеют сложный характер поведения во времени, поэтому здесь предпочтительнее использовать пошаговые методы, которые будут обсуждаться ниже Пример 4.1. В качестве простого примера применения только что описанной численной процедуры рассмотрим задачу для круговой области единичного радиуса с ив = 0 и граничным условием д = 2 (1 — и) на границе Г (см.
статью [1[). Параметр й полагается равным 1, и в силу симметрии задачи рассматривалась только четверть длины границы, которая разбивалась на шесть постоянных граничных элементов (рис, 4.1). Для того чтобы выбрать последовательность значений параметра преобразования, в работе Шапери [12) предложен прием, согласно которому существует способ выбора основного диапазона значений Л, необходимых для обращения, если имеется график зависимости ЛУ от 1я Л.
Например, на рис. 4.2 показаны графики зависимости ЛУ от !й Л для двух значений безразмерного радиуса в круговой области. Можно видеть, что диапазон значений Л, которые надо рассмотреть, составляет !О ' ... 10' для одной кривой и 10 ' ... 10в для другой кривой. Зидичи теории теплопроаодпошпи 162 Таблияа 4.7. Изменение температуры в круговой области с = о,в с ьо с=о Чнсленное ре.
щенке Аналнтн- ческое решенне Чнслен. яое ре- шенне Аналнтн- ческсе решенне чнсленное ре- шение Аналнтя- ческое решеяне Ск С + —,~и(х, С)и*(9, х, И)с(И(х). (4.23) Для рассматриваемой задачи была выбрана последовательность из 14 значений, начиная с Х„= 10 ', по формуле )п„l)чс,= 2. Для определения коэффициентов в представлении (4.20) использовалась схема с обращением матрицы Гаусса — Жордана. Результаты численного решения приводятся в табл. 4.1, где даны также результаты аналитического решения [14).
4.3. Комбинация методов граничных элементов и конечных разностей Предположим теперь, что производную по времени в уравнении (4.!) можно представить в конечно-разностной форме для достаточно малого шага по времени: ди(к, С) и(х, С+ АС) — и(к, С) (4.21 ( ) Тогда уравнение (4.1) можно переписать в виде !7ти(х, С+ И) — — и(х, С+Я)+ — и(х, С) =О. (4.22) Это уравнение аналогично по форме уравнению (4.6), поэтому его фундаментальные решения совпадут с выражениями (4.!2) и (4.13), если в них вместо )ч подставить 1/И.
Граничное интегральное уравнение в этом случае можно получить с помощью метода взвешенных невязок так же, как это с. г. — 4.0 — 3,6 — 3,2 — 2,8 — 2,4 — 2,0 — 1,6 — 1,2 — 0,8 — 0,4 0,0 0,4 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,007 О,!34 0,5!7 0,896 0,998 1,000 — 0,002 — 0,00! 0,00! 0,00! — 0,00! 0,00! — 0,00! 0,007 О, !35 0,5!6 0,897 0,998 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,06! 0,249 0,59! 0,9!2 0,998 1,000 — 0,00! — 0,00! 0,000 0,00! — 0,00! 0,00! 0,005 0,06! 0,248 0,590 0,9!2 0,998 1,000 0,028 0,037 0,055 0,085 О, !3! О,!99 0,295 0,423 0,584 0,780 0,953 0,999 1,000 0,026 0,034 0,052 0,086 О, 133 О, 199 0,295 0,423 0,584 0,780 0,953 0,999 1,000 делалось в предыдущем разделе.
По аналогии с уравнением (4.18) можно написать сфиК, С+ И)+й ~ У(х, !+И)де(ф, х, М)с(Г(х) = г = Й ~ Я(х, С+Ы)и*($, х, М)с(Г(х)+ г Начав с известных начальных значений функции и при С =- Се, можно продолжить процесс интегрирования по времени, решая уравнение (4.23) численно. Затем находят значения функции и в момент времени С =- С, + И в выбранных внутренних точках с тем, чтобы использовать их в качестве псевдоначальных значений для следующего шага по времени.
Численные результаты, полученные в рамках такого подхода, представлены в работе [15). Отметим, что при использовании аппроксимации (4.21) для получения достаточно точных результатов потребовалось очень мало шагов по времени. Как отмечается в работе [1б), точность описанного подхода можно значительно улучшить применением конечно-разностных схем второго порядка, но при этом условия сходимости решения становятся более тяжелыми.
4.4. Фундаментальные решения, зависящие от времени Рассматривая задачу с зависимостью ат времени непосредственно в процессе интегрирования по частям, в соответствии с методом взвешенных невязок для разрешающего уравнения (4.1) с граничными условиями (4.2) можно написать ~ ~Чти(х, С) — — „— ""' ~ ие(9, х, Ср, С)с(й(х)й = = ~ ~ [д(х, С) — с)(х, С)]и*(9, х, Ср, С)с(Г(х)й— — ~ [и (х, С))с)е ($, х, Ср, С) с(Г (х) саС, (4.24) Зидоеи тгорсги теппопроводиогти !65 — ~ ~ и (», !) поД, х, !р, !) с(И (х)1 [а с=се — ) д(х, $)и*Д, х, !р !)с(Г(х)сй+ с, г ср + ~ ~ и(х, !)д'Д, х, Сю Е)с(Г(х)с(!.
(4.25) с, г Зависящее от времени фундаментальное решение и* имеет вид [14, 16) ! ««о и* = — ехр ~ — — 1 Н (т), (4,26) (4я/ст)и/о ~ 4лт 1 где т = ! — !, с( — размерность пространства, рассматриваемого в задаче, например с/ =- 3 для трехмерных задач. Отметим, что выражения (4.12) и (4.13) получаются с помощью преобразования Лапласа из выражения (4.26) соответственно для с( =- 3 и с( = 2.
Функция Хевисайда Н (т) введена в выражение (4.26) для того, чтобы показать, что решение тождественно равно нулю при ! ) !р. Это условие известно под названием условия причинности [16). Фундаментальное решение обладает следующими свойствами: й!/сио(5 х, !«, !)+ ' ' Р' 1= — Л(К, х)/с(!р, Е), (4.27) 1ппи*Д, х, !р, !)=АД, х). с с„ (4.28) Исследуем сингулярность, которая появляется н уравнении (4.25) в момент времени ! = !р. Для того чтобы избежать остановки процесса интегрирования точно в точке, в которой задается дельта- функция Днрака, надо вычесть или прибавить к верхнему пределу интегрирования бесконечно малую величину е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
