Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поскольку начальные условия удовлетворяют уравнению Лапласа, равенство (4.71) можно использовать для преобразования интеграла по области в уравнении (4.39) в эквивалентные граничные интегралы, как было показано в разд. 4.5. В табл. 4.2 и 4.3 приводятся результаты, полученные с помощью изложенного подхода (2-го метода граничных элементов) и подхода, основанного на шаговой по времени 1-й схеме (1-го метода граничных элементов), метода конечных элементов [281, а также результаты аналитического решения [281, причем расчеты проводились с двумя значениями шага по времени. Харакгер разбиения исследуемой области показан на рис.
4.6, Как можно видеть из табл. 4.2 и 4,3, решения методом граничных элементов имеют одинаковую точность и превосходят по точности решения по методу конечных. элементов во всех точках области при обоих значениях шага по времени, несмотря на более грубый характер дискретного представления.
Для того чтобы проверить, привело ли использование представления (4.71) к появлению дополнительных вычислительных оши- 17'! Зпдпчи теории омчглолроаодпоопи 178 Глава 4 1,2 0,9 т 1, Х1 0,9 О,О Решонхе по 2-му методу грэпнчных элементов Реп~оное по 1-му методу грэннчных элементов Решенно по методу нонечвых элементов Аналатнчесхое рэшенпе ОД 0,0 О,З 0,6 0,9 1,2 О,З 0,6 0,9 1,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 О,З О,б 0,9 1,2 — 16,729 — 16,779 — 16,925 — 17,159 — 17,451 — 16,826 — 17,103 — 17,413 — 17,676 — 16,721 — 16,773 — 16,922 — 17,154 — 17,447 — 16,822 — 17, 084 — 17,409 — 17,730 — 16,701 — 16,754 — 16,907 — 17,145 — 17,445 — 16,804 — 17,073 — 17,406 — 17,730 — 16,771 — !6,820 — 16,963 — 17,186 — 17,467 — 16,867 — 17,119 — 17,430 — 17,682 0 О,! 0,2 Г.Ъ О,Е Рнс.
4,6. Варианты дискретного представленвя четверти квадратной области: о — метод венечных элементов; б — 1-А метод граннчных элементов; э — 2-А Йетод граннчвых эпыэентов. бок, задача была решена вновь при условии, что из начального значения температуры вычиталось постоянное значение, равнсе — 1,11! 'С, с тем чтобы сделать начальные условия нулевыми. Это постоянное значение затем было прибавлено к вновь полученному решению. Результаты, полученные таким путем, близки, как видно из табл.
4.2 и 4.3, к найденным ранее. Таблице 4.3. Температура (эб) в момент времени Ф = 1,2 в прн шаге по времени йс = 0,5 ч Пример 4.3. Задача для круговой области единичного радиуса с нулевыми начальными условиями и граничными условиями (их зависимость от времени показана на рис. 4.7) решалась с помощью дискретного представления границы одной четверти этой области шестью линейными граничными элементами. Было выбрано значение параметра й = б.
Сначала была сделана попытка решить задачу, полагая функции и и д кусочно-постоянными и считая задаваемые значения функции и равными их средним значениям на каждом шаге по времени. Результаты, полученные с помощью обеих щаговых по времени схем, фактически совпали и представлены на рис. 4.8. Затем задача была вновь решена с ОД использованием кусочно-линейного закона изменения функций и и и, когда 05 можно было точно удовлетворить заданным граничным условиям на каждом шаге по времени. Результаты, по- 0.1 0,2 9,5 О,е! л уч ен ные по обеим схемам, соответствуют аналитическому решению, приве времени граничного эначеденному в работе (14), с точностью до нвя и.
трех значащих цифр даже для первого шага по времени и приведены на рис. 4.8. Все численные решения выполнялись с одинаковым шагом по времени Л2 = 0,02, 1,2 Рнс. 4.8. Значения функпнн и во внутреннах точках. Сплошные кривые соответ- ствуют аналнтнчесному решению. Пример 4.4. Для задач, в которых рассматриваются бесконечные области, метод граничных элементов оказывается гораздо более экономичным, чем метод конечных элементов. Для того чтобы показать это, рассмотрим круговое отверстие в бесконечной плоской области (рис, 4.9) с начальным условием и, = — 10 и граничными условиями конвективного типа (см.
пример 2.3). Радиус отверстия равен единице, температура среды внутри отверстия равна нулю, все физические постоянные материала для простоты полагаются равными единице. На рис. 4.10 для различных значений коэффициента тепло- передачи Ь показано изменение температуры на крае отверстия Гдово 4 1В1 Задачи теории тгллолрллодноглш О 2 а Б О 1О Рис, 4.9. Способы дискретного представления бесконечной области с отверстием: л — метод греннчнмк элементов; б — метод кемечных элементов н Ьн схема негедэ гра- янчнмк элементов.
в зависимости от времени и дано сравнение с аналитическим реше. пнем, полученным в рабоге (14]. Видно, что решения очень хорошо соответствуют друг другу. Шаг по времени брался равным М = 0,5, и расчеты производились до тех пор, пока температура на краю отверстия не начинала резко уменьшаться. Решение по 1О Рис, 4.10, Изменение температуры иа крае отверстия в бесконечной области. Сплошная кривая соответствует аналитическому решению, точки — решению по методу граничных элементов. Рис. 4.11.
Дискретное представление сечения диска турбины; л — метод конечных элементов; б — метод граничных элементов. методу граничных элементов было получено при кусочно-постоянном характере изменения функций. Благодаря симметрии задачи дискретное представление с помощью шести линейных граничных элементов использовалось лишь для четверти длины границы между отверстием и средой (рис. 4.9, а).
Эта задача решалась также методом конечных элементов (29), но, так как метод конечных элементов связан с дискретным представлением области, для исходной бесконечной области была задана граница конечного размера, на которой проводимость полагалась равной нулю. Для того чтобы получить такую же точность, как и в методе граничных элементов, использовался в десять раз меньший шаг по времени (гзг = 0,05), а область была разбита на 70 треугольных элементов или 3 кубических изопараметрических элемента (см. Рис. 4.9, б). Отметим, что аналогичная аппроксимация вводится и в методе граничных элементов, если используется шаговая по времени 1-я схема: хотя граничные элементы по-прежнему вводятся только для представления границы раздела между Задачи пюории спеплопрпюдпасгпи 183 Глаза 4 180 2500 1000 1500 т ~ 1000 х 40 0 1 Ы х о. и Ю о М и и од хо н х 0 сс'О хо ~~3 о.
0 М о Х о ю ч 1 Ю и д о о г,с Рис 4 12. Изменение во времени козффициента теилонередачи Ь и температуры окружающего газа и, дли одной из граничных зон. отверстием и средой, ячейки необходимы для интегрирования по бесконечной области. Пример 4.5. Здесь изучается более сложная практическая задача с зависящими от времени граничными условиями: найти распределение температуры внутри реального диска турбины. Хотя эта конструкция является осесимметричной, в целях сравнения было проведено исследование методом конечных элементов для двумерного случая с использованием 85 квадратичных изопараметрических элементов и 348 узлов (рис.
4.11, а), Начальная температура диска турбины составляла 295,1 К, а коэффициент теплопроводности, плотность и удельная теплоемкость были равны соответственно 15 Вт/(м. К), 8221 кг/мт и 55() Дж/(кг. К). На границе имеется 18 различных зон, каждая со своей системой заданных значений дпя коэффициента тепло- передачи и температуры окружающего газа; изменение этих величин во времени для одной из таких граничных зон показано на рис.
4. 12. х н у х х и о и 3 и Глава 4 185 Задачи теории телволроооднооти При дискретном представлении в соответствии с методом граничных элементов использовалось 90 линейных элементов н 106 узлов, в том числе!6 двойных узлов в местах стыковки граничных зон (рис. 4.11, б).
Температура на границе задавалась как кусочно-линейная функция. Поток на границе полагался линейной или квазиквадратичной функцией, соответствующей изменениям функций й и и, на каждом шаге по времени [26]. Для упрощения расчетов нз температуры вычиталась постоянная величина, равная начальному значению температуры, поскольку прн этом не требовалось выполнять интегрирование по области. Эта величина впоследствии прибавлялась к найденному решению.
На рис. 4.13 показаны изотермы для некоторых моментов времени и дано сравнение решений по методам конечных н гранйчных элементов. Видно, что результаты в основном очень хорошо согласуются. (4.73) 4.7. Трехмерные задачи Для трехмерного уравнения теплопроводности фундаментальное решение н его производную по нормали к контуру Г можно записать в виде (см. формулу (4,26)): (4.72) Ы Г ео И = [хг Д) — хг (х)] пг (х) + [хв Д) — хо (х)] лв (х) + + [х, Д) — х,(х)] п,(х). Процедуры численного решения уравнения (4.34) для трехмерной области в основном аналогичны тем, что применялись в двумерном случае. Соответственно интегралы (4.43) и (4.46) по времени применительно к данному случаю примут вид !Г ~ 4воеЫ= — ~е 2 [Г( 2, е~т 2) — Г( 2 ' аг)], (4.74) ~ и сЫ = ~~~ '[Г( 2, аг 2) — Г( 2 ' аг)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
