Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В предыдущем случае первый интеграл в левой части уравнения тождественно равен нулю, когда время ! изменяется в диапазоне от 0 до !р — е; где д* Д, х, !р, !) = ди* Д, х, !, !)/ди (х). Интегрируя дважды по частям оператор Лапласа и один раз производную по времени, из уравнения (2.24) получаем с„ ~ ~!/оиоК, х, !р, !)+ —, " (й' ' "' с)|и(х, !)с(!)(»)и†се и переходя к пределу при е -е- 0 и учитываи условие (4.28), из уравнения (4.25) получим [14, 17[ ср и Д, 1«)+ й )! ~ и(х, !)д' Д, х, !ю !)с(Г(х)М = с, г = й)Г )!д(х, !)и*Д, х, !р, !)с!Г(х)с(/+ с, г + ) ио(х, Со)ио$, х, Юр, Мо)с!И(х).
(4.29) Такое же соотношение можно получить, если величину е прибавить к верхнему пределу интегрирования в уравнении (4.25). В этом случае функция и* Д, х, !р+ е) равна нулю из-за условия причинности. Таким образом, ожидаемый результат получается, если взять предел от выражения (4.25) при е-е-0 и наложить условие (4.27) на первый интеграл в левой части уравнения [16). Другое свойство зависящего от времени фундаменталького решения (4.26) состоит в том, что при установившемся состоянии оно сводится к фундаментальному решению уравнения Лапласа ср [пп ~ и'Д, х, 4«, !) с(«.= ио ($, х).
(4.30) сг о Доказательство приведем лишь для случая трехмерных задач (для двумерных задач оно осуществляется аналогично). Итак, рассмотрим интегральное соотношение с„ ср иос/! = ~ — ехр( — — „) с(т. (4.31) о о Этот интеграл можно вычислить аналитически, перейдя к новой переменной х = «о/4йт. Замена переменных дает ср ее ) и'й= — ', ~ х-О'е — 'с(х=,, Г( —, а), (4.32) о о где и = «о/4/с!р, à — неполная гамма-функция. Рассмотрев предел выражения (4.32) при !р-и- оо, получим выражение [10[ ! .
с ! х ! (4.33) в котором можно. узнать фундаментальное решение уравнения Й р'и = О. ЗадачГГ теории теллолроводлоети Глава 4 167 1зз Отметим, что первые два интеграла в уравнении (4.29) описывают влияние граничных условий, тогда как третье слагаемое отражает влияние начального значения и, функции и. При 1е-»- -т. оо влияние начальных условий становится несущественным и интегрирование по времени граничных слагаемых можно проводить, полагая, что функции и и д не зависит от времени 1(или по крайней мере считая, что вклад от интегралов, взятых по 1 от О до оо от функций и и д, зависящих от времени, пренебрежимо мал по сравнению с вкладом остальных слагаемых). Таким образом, с помощью выражения (4.30) фундаментальное решение сводится к решению для уравнения Лапласа, а уравнение (4.29) становится интегральным уравнением вида(2.69)для стационарных задач о потенциале. Считая точки $ в уравнении (4.29) принадлежащими границе и учитывая скачок интеграла, стоящего в левой части уравнения, приходим к граничному интегральному уравйению Гр с®и($, Рр)+ й ~ ~ и(х, л)дл($, х, лр, 1)е[Г(х)й! = ы г ер =й) ') д(х, г)ил($, х, гр, 1)Ж(х)Ж+ г.
+ ) ио(х Га)ил($, х, Юю Го)Г[ал(х) (4 34) где, как и ранее, с ($) — функция телесного угла в точке $ границы (см. уравнение (2.69)). Поскольку характер зависимости от времени функций и н Г[ заранее не известен, для получения численного решения необходимо применить прием шагового интегрирования по времени (его не следует путать с изложенным выше методом конечных разностей).
Однако, поскольку фундаментальное решение само зависит от времени, обычно можно применять большие шаги по времени, Для получения этого численного решения можно воспользоваться двумя различными щаговыми по времени схемами: 1-я схема рассматривает каждый шаг по времени как новую задачу, поэтому в конце каждого шага подсчитываются значения функции и в достаточно большом числе внутренних точек, с тем чтобы использовать их как псевдоначальные значения для следующего шага; во 2-й схеме процесс интегрирования по времени всегда начинается с момента времени [о, и, таким образом, несмотря на возрастающее число промежуточных шагов с течением времени, здесь не требуется вновь подсчитывать значения функции и во внутренних точках.
Более того, если ио удовлетворяет уравнению Лапласа, интеграл по области в уравнении (4.34) можно преобра- зовать в эквивалентные граничные интегралы. Процедуры, необ- ходимые для численной реализации обеих схем с шагами по вре- мени, обсуждаются в следующем разделе. 4.5. Двумерные задачи При численном решении уравнения (4.34) граница Г разбивается на ряд элементов. Геометрию этих элементов можно моделировать прямыми линиями, круговыми арками, параболами и т. п., как об этом говорилось в гл. 3.
Кроме того, предполагается, что функции и и Г) изменяются по длине каждого элемента на каждом шаге по времени в соответствии с выбранными интерполирующими функцнямн пространственных и временнбй переменных, а именно лГ,Г Гр л ~-Гт ь ([т' [ т теГГГ) Г=~ Г Ф !р х = А ~„~фт ~ илфгИЙГ~е7л+ «~~ )г илгх„,е[Я. Гр-~ е=! и Для 2-й схемы это уравнение принимает вид иг7~1 л ',4-Й а л ([ т' 1 тллГеГ1л'- г и р; = й ~, ~ ~ ~ Гр' ~ илф е[1 Г[Г) да+,) ~ и*ив е[ье. г е1Г Е=ГП~ (4.38) (4.39) и — фтттьцл 4 — фттретл (4.35) ГДЕ ф И т[à — ФУНКЦИИ СООтВЕтСтВЕННО ПРОСтРанетВЕНИЫХ И ВРЕМЕН- ной переменных.
Для двумерных задач фундаментальное решение и его нормальная производная (выражение (4.26)) имеют вид (4.36) (4.37) где е[ = [х, ($) — х, (х) 1 и, (х) + [х, ($) — х, (х)[ п, (х). Если граница Г разбивается на М элементов, область И вЂ” на л'. ячеек и интервал иремени — на г шагов, то, подставляя выражение (4.35) в уравнение (4.34), для 1-й схемы найдем гго где Н)псс = Нсгаы+с,бс,б;с. Записывая аналогично уравнение (4.38) для всех граничных узлов, получим систему уравнений Н'Ур ! 1- Н~Ус = 6~Ц~ ! + 6 Д~+ ВУт с, (4.50) причем, как и прежде, коэффициенты матриц Н и 6 соответствуют слагаемым вида (4,49) при Е = Е.
Интегралы по времени можно представить как сумму рассматривавшихся ранее интегралов (4.43) и (4.46) и интегралов типа сс сс 1 Ес) с(Е= пяп ~ ~~а ехр! — 4л )с(Е= апй 4Сста 4йт с! с аг ас = —, -~- ) е — сЕх — —, с! ~„с(х, (4.51) сс сс ') Ем*с(Е= ! ) с р( — — ) Е= с с ас аС Г ! *а ! е1 саог аС аС Интегралы в этих выражениях аналогичны приведенным в формулах (4.43) и (4.46), за исключением последнего интеграла в выражении (4.52), который равен [18 ! а е — с(х = Г ( — 1, ас,) — Г( — 1, ас), 'с-с где à — неполная гамма-функция.
Таким образом, вычисляя сумму всех слагаемых и принимая во внимание связь между функциями Г и Е! (!О) и — ! ,=О (4,54) можно получить окончательные выражения для интегралов по вре- мени в правых частях формул (4.49), комбинируя соответствусс- щне члены, которые просто получаются из (4.43), (4.46) и (4.53) (!9 ). Зпдпис спеории тепоопроаооноеспи 4.5.3. Квадратичная интерполяция по времени Рассмотрим теперь такие функции п и с), которые изменяются внутри каждого шага по времени по квадратичному закону в соответствии с интерполирующими функциями вида ф, =- 21' — 31+ 1, (4.55) с!за =- 4Е (1 — Е), фп = Е (21 — 1), (4.56) где Е = (Š— Ес,)с(ЕŠ— Ес с); Ес,, Ес сль Ес — соответствующие моменты времени; Ес ссг = (Ес, + Ес)/2. Записав, например, уравнение (4.38) для всех граничных узлов, найдем Н'и,, +Н'и, „,+Н'6,=.6'д,,+6'4)„„,+ + 6'ЕЕр + ВН„!.
(4.57) Коэффициенты приведенных здесь матриц включают в себя интегралы по пространственным и временной переменным, аналогичные выражениям (4.4!) и (4.49). После добавления к уравнению (4.57) граничных условий получается система М уравнений с 2М неизвестными (М вЂ” число граничных узлов), поскольку все значения матРиЦ Уп, и ьге с заДаютси (или вычислЯютсЯ заРанее), а в моменты времени Еп ссг и Ер известна только половина граничных значений. Зто означает, что для правильно поставленной задачи необходимо удвоить общее число уравнений системы, решаемых на каждом шаге по времени.
Это можно сделать, записав граничное интегральное уравнение, аналогичное (4.34), для момента времени Е = Ер — ссг: (4.59) се-ссг сф)пф Ер — ссг)+й ~ ~п(х~ Е)с)а(й, х, Ер сдь Е)сЕГ(х)с(Е= с. г ср-сгг =й ~ )сс)(х, Е)иа($, х, Ес мг, Е)с(Г(х)с(Е+ с. !' + ~ по(х, Е,) и'($, х, Ер-сдь Ео) с(42(х). (4.58) гсерхний предел интегралов по времени полагался Равным Ер ссг в силу условия причинности (см. Равд. 4.4), согласно которому функции па и с)а тождественно равны нулю при Е > Ер, г Представляя уравнение (4,58) в дискретной форме для каждого граничного узла, получим систему уравнений Й'6„, +Й'6, „,+Й'6,= = 6 сер †! + 6 пер ссг + 6 !се + В ЕЕà †! 172 дида~!и нмо)гии о!еилонроооонооню Глони 4 !га где коэффициент матриц можно также определить с помощью выражений, аналогичных выражениям (4.41) и (4.49).
Решая совместно системы уравнений (4.57) и (4.59), нетруд! о определить неизвестные граничные значения У и Я в моменты времени (о !,г и (н по известным начальным условиям в момент времени („! и заданным граничным условиям в моменты времени !г — !7г и (о. Подобный подход можно распространить и на функции от времени более высокого порядка; однако следует учитывать, что при этом увеличивается общее число входящих в систему уравнений, которые требуется решать шаговым методом. 4.5.4.
Интегрирование по пространственным координатам Последним шагом при численном решении уравнения (4.34) является вычисление интегралов по пространственным координатам. Хотя интерполирующие по пространственным координатам функции ср в представлениях (4.35) можно взять как постоянными, так и р-а линейными, квадратичными и т. д., здесь будет рассматриваться только слу4ч ., чай постоянных функций. Распространение на случай элементов более высокого порядка будетсделановсоответст- 7 7 вни с процедурой, изложенной в гл. 3.
Рнс. 4.3. К аналитическому Как и в случае уравнения Лапласа, интегрированию уравнения внеднагональные коэффициенты мат- риц 6 и Н можно определить численным (4.60). способом с помощью квадратурной формулы Гаусса. Обычно для достижения требуемой точности достаточно взять шесть точек, хотя для увеличения скорости расчетов можно брать и меньше точек, применяя схему интегрирования по Гауссу.
Диагональные коэффициенты 6ооч! в уравнении (4АО) содержат интегралы с логарифмической (интегрируемой) сингуляностью. Такие интегралы можно записать (рис. 4.3) в виде г яр- е!г ! !го" г! 4л ) Е! ( 4ол! ) «(х 8 ) Ег(ат) ) !(г), (4.60) -е)г — 1 а = !г/(1бл Гаго). (4,61) Поскольку разложение интегральной показательной функции в ряд имеет вид (10] Ег(з) = — С вЂ” 1пз+ ~( — !)л ', (4.62) л(л О л ! где С вЂ” постоянная Эйлера, то интеграл в выражении (4.60) можно вычислить аналитически: ! л О,„,,— — 2 — Π— ~ .!.г'( — !Г-' и Чи ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
