Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Найденное для каждой узловой точки свободной поверхности значение потенциала сравнивается с высотой водной поверхности; если разность между ними больше, чем максимальная допустимая погрешность, эта разность алгебрапческн суммируется с высотой йлсскссть стсьзта Рнс. 3.13. Граничные условия а задаче о течения воды со свободной поверхностью. поверхности в соответствующей узловой точке и проводится новая итерация. Отметим, что элементы матриц 6 и гг из уравнений (3.9), соответствующие влиянию фиисированных граничных узлов друг на друга, остаются постоянными в процессе численного решения, поэтому их можно вычислить всего один раз и записать в память ЭВМ.
При необходимости значения потенциалов во внутренних точках определяются после того, как найдено истинное положение свободной поверхности. На рис. 3.14 показано разбиение на граничные элементы в задаче о течении со свободной поверхностью через блок из пористого материала. Высоты верхнего и нижнего бьефов составляют соответственно 0,5 и О,ОЗЗ м относительно поверхности отсчета. Граничные условия задачи имеют виш и = 0,5 на поверхности, обращенной к потону (узлы 22 — 26), д = 0 на нижней (непроницаемой) поверхности (узлы 1 — 8), и = 0,033 на поверхности, направленной по потоку (узлы 9 и 10), и т) = 0 на свободной поверхности (узлы 11 — 21). Отметим, что на начальном этапе расчетов форма свободной поверхности была произвольно выбрана плоской и столь же произвольно было задано положение этой поверхности.
Окончательное положение свободной поверхности было получено, как уже объяснялось ранее, с помощью итераций. т — 0,675 и — «Ч ч22 2бк\ 2 5 5 5 Рнс. 3.!4. Схема располохтеннн граничных элементоа для грунтового блока прн течении со снободной поаерхностью. !40 г"ешю 3 Иизмргголирунхние функяии 141 ОД Е 03 О,г ,0 0,075 0 01 07 00 04 оассточннг, н Рис. 3.15. Сравнение вксперимеитальиых и расчетных результатов для потенциала прк течении со свободиой поверхностью. Полученные результаты представлены на рнс.
3.15, где приводятся также решение, полученное методом конечных элеменгов, н результаты экспериментов, проведенных на аналоговой модели 171. После седьмой итерации максимальная разность между вычисленными значениями потенциала н высотой каждого узла, лежащего на свободной поверхности, не превышала 0,1 % высоты, н на этом расчеты были закончены. Пример 3.6.
С помощью граничных элементов можно исследовать с достаточной точностью течение со свободной поверхностью под действием силы тяжести [81. Рассмотрим, например, задачу о течении под задвижкой шлюза (рнс. 3.16), для которой разрешающее уравнение течения жидкости можно записать в форме уравнения Лапласа для функция тока ф. Граничными условиями задачи будут гр = 0 на нижней границе, (а) гр = 1~ на свободной поверхности н на задвижке шлюза, "г Уромнь соонойнон~ аоам Рис. 3.10. Схема течения вблизи вертикальной задвижки шлюза. где Я вЂ” скорость течения, отнесенная к единице ширины. На свободной поверхности требуется выполнение дннамнческого граничного условия — (~ ) +х,=В, р=О, (б) где дг — ускорение силы тяжести, р — давление,  — постоянная Бернулли.
Известными являются либо скорость течения Щ либо постоянная Бернулли; прн этом та величина, которая является неизвестной, определяется нз решения. Течение под задвижкой шлюза обычно рассматривается на интервале от — со до +со. Прн выполнении численного расчета втекающнй н вытекающий потоки отрезаются под прямым углом к начальному направлению скорости на некоторых конечных расстояннях от задвижки. На линии отреза задается граничное условие афган = О, (в) которое означает отсутствие составляющей скоростн, нормальной к главному направленню течения.
Граничное условие (б) соответствует условию на свободной поверхности н приводит к дополнительным трудностям, которые преодолевают во многом так же, как это делалось в большинстве нсследованнй, где решения получались методом конечных элементов. Таким образом, для задач, в которых задана скорость течения Я, положение границы со свободной поверхностью также задается, н решается задача с граничными условиями (а) н (в). Затем для свободной поверхности с помощью уравнения (б) вычисляется «постоянная» В.
Задача считается решенной, если постоянная В имеет одно н то же значение во всех точках свободной поверхности. В противном случае путем итераций подбирается такое положение свободной поверхности, прн котором постоянная В имеет одинаковое значение во всех точках. Аналогичную процедуру можно использовать для задач, в которых задана постоянная Бернулли. Сначала задача решается для выбранного положения свободной поверхности прн заданном условии (б) типа условия на свободной поверхности. Скорость течения Я в условии (а) относится к неизвестным, определяемым прн решении. Задача считается решенной, если скорость Я постоянна для всех точек свободной поверхносгн, в противном случае следует использовать итерационную схему н определять высоту свободной поверхности. Подобный подход был использован Ченгом (8 1 для нсследовання течения под вертикальной задвижкой шлюза (рнс. 3.16).
ь1нсленные результаты были полученьг прн Ь = 0,3 н В = 1. На первом шаге профиль свободной поверхности на верхнем Интерпохируюиры функции 143 000 ди 1 дчг ди дче ди аь ах, ах, дяг дчг дх, ага дча дт1, агг д:е дй аь 011 (3.24) - оа й ди дх, ди дха ди дха 0,1 (3.26) 0,1 Отсюда можно найти обратное соотношение хг Рис.
3.19. Геометрия гранячиого эле. мента. (3.26) ат1е ди , ай где (3.29) (3.30) бьефе полагался плоским (х, = 1), а профиль на нижнем бьсфе аппроксимировался четвертью эллипса с произвольной высотой х, = 0,50 потока на сливе. Дискретная форма границы течения задавалась с помощью 39 линейных граничных элементов, сходимость решения с погрешностью ~0,1 % была получена на 6-й итерации (рис. 3.17).
Как показано в работе Лигета и Салмона (91, еще более эффективное решение задачи можно получить с помощью граничных элементов в форме кубических сплайнов, 0,10 0 ОЯ ОД О,О О,О 1,0 1,0 1,0 х /а 3.4. Граничные элементы Рис. 3. 17, Характер сходнмости реше- Д"н1 тРехмеРных зала'1 нии, Описывающего пр филь пыока в Е,„и тело тело является нижнем бьефе вертикальной задвижки шлюза. трехмерным, то граничные элементы представляют собой части его внешней поверхности (рис. 3.18). Обычно используются либо четырехугольные, либо треугольные элементы.
Функции, используемые для описания их геометрии нли характера изменения функций и и д на элементе, аналогичны применяемым для конечных элементов, Для того чтобы изучить эти элементы, необходимо сначала рассмотреть путь, которым можно перейти от глобальной системы Рис. ЗЛО. Граничные элементы дла трехмерных тел. кооРдинат (х„х„хэ) к системе кооРдинат (Ч,, Ч„ь), свазанной с поверхностью тела.
Рассмотрим системы координат, показанные на рнс. 3.19. Для произвольной функции и общий закон преобразования задается выражениями Подставляя в эти соотношения вместо и, например, радиус-вектор г, получаем Дьа = 1,ач Х д, ' д~ ) ДЧ ДЧЗДЬ =! 7! ДЧгДЧ Д1. (3.27) 1 ОЧЗ Дифференциал площади (аналогичный ДГ) задается выражением ДГ= ~ г Х вЂ” 1ДЧ1ДЧз =)б)ДЧтДЧа, (3.28) дчг аЧе дг Г дх, дхе дха Х вЂ” — — — а=1, 2.
ача дЧа ' дЧа ' дЧа Учитывая, что ) 0( — модуль нормального вектора дг дг Г дх, дха дха Х и = — х — = ~ — — — ) = (Ию йа, йа), дт1 дче ~ д~ ' д~ д~ ) Инлсср~и~лируюсиис грунхции 145 с"лизи Сс 144 где дх, с ха дч дЧз дхз дх, дч! дчз дх, дхз Кз= д, дхз оЧз дх, дса дч, дхз дчз дх1 дЧз (3.31) дЧг дхз получаем, что (3.32) интегра- (3.33) (3.34) (3.35) з хс = ~~ срсх~с„ 1 = 1, 2, 3, с=! (3.38) (3.39) где и(3,4О) ) удь! д ! !О1= (а'с, адз ) аз)'".
Эти соотношения будут использоваться для вычисления лов типа ~ пас)с(Г, ~ исузс(Г, которые в новых обозначениях примут вид ~ пасу ~ 6 ~ с(тк с1Чз, ~ ис)а ~ О ! с(Ч! с(Чз. Интеграл по объему типа ) Ьизс(ьа также будет равен ~Ь а(.У~~Ч! (Чз (~, где и, Ь и су — функции от т)„Ч, и ь.
3.4.1. Четырехугольные элементы Простейший четырехугольный элемент задается четырьмя своими угловыми точками нли узлами (рис. 3 20). Здесь можно воспользоваться системой безразмерных координат (Ч„Ч,), где д Рис. 3.20. Простейший истырсьугольныи злсмент. Справа показана безразмерная базисная системз координат Ч изменяются от — 1 до +1, а также интерполируютцими функциями срс, что дает и = сути!+ Ч,пз + Рзиз + суаиа, (3.37) где срс определяются выражениями ср! = са (1 Ч!) (1 Чз) срз = са (1 + Ч!) (1 Чз)г срз — Уа (1 + Ч!) (1 + Чз) сра ~а (1 Ч!) (1 + Чз).
Здесьис — потенциалы в узлах, 1 = 1, 2, 3, 4. Те же функции можно использовать для описания геометрии элемента, а именно х, = срсх! )- срзх! + срзх! + срах! = ~ срсх!. з з а с (3.38) ~ =-1 Аналогичные представления можно записать для х, и х,. Зная коэффициенты х! в разложениях типа (3.38), нетрудно определить с значения ~ б ) и 1,У), используя соответственно выражения (3.25) и (3.32). 3.4.2. Четырехугольные элементы высокого порядка Для улучшения аппроксимации можно взять четырехугольный граничный элемент второго порядка (рис. 3.21), когда разложения имеют вид лР! = Са (1 Ч!) (1 Чз)( Ч! Чз = 1), рз lа (1 + Чз) (1 Чз) (Ч! Ча 1) уз= са(1+Ч!)(1+Чз) (Ч +Чз 1), Рис.
3.21. Четырехугольный элемент с восемью узлами. 147 Глемп Х 146 Интерполорующие функями ! О г г ау Ркс. 3.22. Элементы высокого порнхка: э — элемент с !2 узламн,неизвестиммн величинами явлввтс» значение Оуииини и в уз. лах; д — элемент с а уэламн.
неизвестные величины — зиаченн» и н производим» де!о~и н д»гдпэ !Ра= /а(! Ч!)(1+Чз)( Чт+Чз 1), грз = '/з (1 — Ч!) (1 — Чз). гра = '/з (! — Чз) (1 + Ч!), рт='/з(1 — Ч7)(1+ Ъз), р.=з/,(1 — Чз)(1 — Ч,). Аналогичные функции можно использовать для представления и или д. В качестве граничных элементов можно использовать четырехугольные элементы и более высокого порядка, например (рис. 3.22, а) кубического типа (функции изменяются по длине стороны элемента по кубическому закону). В этом элементе на каждой стороне размещаются по два дополнительных узла, однако можно учитывать лишь угловые узлы, используя в качестве узловых переменных также и производные от функций, 3.4.3. Лагранжевы четырехугольные элементы К специальному типу четырехугольных элементов относятся лагранжевы элементы, показанные на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
