Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ду граничных алсмаичоа Аналитическое решение уаеи ц др иа и о о 1 О О ! О о 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,75! 0,560 0,397 0,254 0,124 0,751 0,560 0,397 0,254 0,124 сетки конечных элементов вокруг туннеля (рис. 3.4)„которая не позволяет соответствующим образом учесть разрыв в точке В функции, определящей радиальный поток.
Пример 3.3. Здесь рассматривается сплошной круговой цнлнндр конечной длины (О ш )д' ы. а, О с. Е С 1), на одной поверх« ности которого задано граничное условие конвектнвного типа (см. пример 2.3). Грал=! ( яичные условня задачи имеют внд и = 0 прн Л = 1, имм У при 3=0, ),=О д+ Ьи = 0 прн ет=а. Здесь также использовались линейные граничные элементы, поверхность цилиндра разбивалась на 20 одинаковых элементов Р (рнс. 3.3).
Отметим, что здесь не требуется предстввлеиие поверх- вводить элементы на осн вращения поности сплошного кру- скольку она не относится к образующему гового цилиндра. контуру. Прн расчетах использовались сле- дующие значения; а = 1, 1 = 3, 7) = 0,1, У = 1, Сопоставление полученных результатов с аналнтнческнм решением (3! приводится в табл.
3.2 н 3.3. Таблица 8.2. Распределение температуры вв поверхности с Д = 0,25 3.3. Элементы квадратичные н более высокого типа Для улучшення аппроксимации зачастую используются также квадратичные элементы. Прн этом не возникает дополнительных трудностей, но для нх применения необходимо перейти от декартовых координат к криволинейным. Рнс. 3.6. Предстевленне бесконечно малого участке криволинейной границы. Рассмотрим криволинейную границу, показанную на рнс.
3.6, н элемент, изображенный на рнс. 3.7. Функции и н О можно выразнть с помощью однородной координаты Ч следующим образом: и, и (т1) = дрдид+ Ч)еив+ (репе = (фдгрео)е) и, = ер'й„ ие д)д 4)(Ч) =%Ж+Фвеув+ Ч)кое = ММРе) Ое = йе'47" еув где ~ = 'уеЧ (Ч вЂ” 1), р = '7.Ч (1 + Ч). ф = (1 — Ч) (1 + Ч). Отметим, что этн функции в узловых точках пряннмают значения рассматриваемых неизвестных функций (см.
таблицу, приведенную на рнс. 3.7) н имеют квадратичный закон изменения. «д [ч о( (( х, Рис. 3.7. геометрии кведретичного влементв. (34 (35 Иллеерлоларуеещле функяиее э| ~л (~ е !!ел 0 а 0 З -(!ОО ! О О по а о ! о 7 ! 0 0 О 1 к, (3 18) где где (3.19) к! Уаь(7 Интегралы по сму элементу из уравнения (3.1) аналогичны тем, что имели место для линейного элемента. Например, интеграл с функцией и имеет вид и, и, ~ и (Ч)(1' ((Г = ) ((р(грт(рз)(!'((Г аа = М/6~!(Л(Д иа . (3. 17) гу г иа иа Вычисление интегралов требует использования якобиана, поскольку (р! являются функциями Ч, а интегрирование проводится по границе Г.
Для двумерной задачи, подобной рассматриваемой, преобразование не сложно, так как якобиан равен Подставляя это выражение в соотношение (3.17), получим (а! п(Ч) (* 7Г = ) (ЧИ*~ й (Ч, (3.20) (!) который можно найти численно. Аналогичные приемы приме- няются для вычисления интегралов, содержащих функцию (1. Отметим, что в выражении (3.18) требуется представить ко- ординаты х, и х, как функции значений Ч на границе. Это можно сделать тем же способом, как и в случае функций и и еу, а именно: х, = (р,х! + (ртхл(+ (рахз(, (3.21) х, = (р(хтР+ (р,х', + (р,4, где х, 'и х', — координаты узла, связанные с глобальной системой координат (см, рис.
3:$). Можно показать, что, для того чтобы удовлетворить граничному условию типа постоянного потенциала, функция и должна иметь по крайней мере тот же порядок (степень полинома), что и функции в представлениях для х, и ха, используемых при описании геометрии тела. Можно построить также и элементы более высокого порядка. Например, кубический закон изменения для функций и нее можно получить, взяв на каждом элементе по четыре узла (рис. 3.8): и = (р ид + (рвиа + (рана + (рама, (3.22) Рве. 3.3. Геометрии кубического элемента. рх = Ч(а (1 — Ч) ( — 10 + 9 (Ч' + 1)], р, = ~„(1 + Ч) (-10 + 9 (Ч' + «), (ра = У (1 — Ч ) (1 — ЗЧ), (рл = 7(а (1 Ч ) (1 + ЗЧ).
Кубический закон изменения функции и можно задать (это же справедливо для функции еу и координат хх и х,), взяв в качестве неизвестных значения самой функции и ее производной в двух крайних узлах (рис. 3.9), что дает = (р(в!+ (р ( ~ ), + Вп + (ра ( ~ ), (3 23) к, Рис. 3.9. Кубический элемент, описываемый с помощью углов наклона касательных в концевых узлах. Ин~перполируюиОие Функции 137 Глемп 3 136 (д) (е) (Ж) нвбегаюшзя воен где (в) гс где Ч, = Н, (о) — 1)' (т) + 2), ор, == '/, (т) — 1)' (т) + 1), орв = /еНЧ + 1) (т) 2) оре = /е (т) + 1) (т) 1). Пример 3.4, Целесообразность использования криволинейных элементов можно показать на примере волновых воздействий на морские сооружения.
Рассмотрим для простоты случай вертикального кругового цилиндра (рис. 3.1О), для которого результаты численного решения сравниваются с хорошо известными аналитическими решениями. Рнс. 3.10, Вертикальный круговой пнлнндр, погруженный в колеблвноукюя жидкость. Частота колебаний ы в волне связана с волновым числом м днсперснон- ным увавненнем и 1Л (мй) = ме/Л. В расчетах использованы значения Я = 10 н А = б. Задачу можно сформулировать относительно волнового по. тенциала, как это показано в статье (41. Используя линейную теорию распространения волн для постоянного значения глубины /о, задачу можно свести к решению уравнения Гельмгольца — + — + х'и = О в области й дои д'и дк1 дке (а) с граничными условиями вида ди д«г — = — — = — о/ на поверхности Г, тела (б) дп дп и условием излучения типа Зоммерфельда ди/дп = охи на бесконечности Г Здесь иг — потенциал набегающей волны, известный из теории Зри.
Представленное выше уравнение и граничные условия можно записать в форме метода граничных элементов, используя в качестве весовых функций невязки ~(оРи+ хяи) иеоЯ =- )г и* ( —" -1-оу) о(Г 1- ~ и' ~ — — охи) о(Г. (г) Дважды интегрируя по частям, получим — ~ и — о(Г (- ~ и (о/аи*+ хам*) оЯ = )О иег/ о(à — ~ (хи*и о(Г. г и с г Отметим, что для уравнения Гельмгольца авив + и'и = — Гьо, фундаментальное решение известно и равно и = (1/4) Н~о~! (хг) Рнс, 3.11.
Схемы разбнення на влементы (12 узлов): а — Оа всетоивимх элементов; б — !2 лииеаямх элементов; е — а ииедритичимл злемев- тов. г = Цх, (х) — х, (й))з + (х, (х) — х, (й))я) о/з, Но!" — функция Ханкеля первого рода и нулевого порядка. Тогда для граничной точки из уравнения (е) получаем с,и, + ~ ( — и + исо)) о(Г = О. (з) г, Следует обратить внимание иа то, что фундаментальное решение (ж) удовлетворяет условию излучения, т.
е. при подстановке его в интеграл по границе Г последний стремится к нулю при г -Ф. оо ~ ( — и* — /хие) ио(Г-е-О. (и) г Вертикальный стержень рассматривался Исаксоном (41 с ис- пользованием заданного распределения источников на поверх- ности цилиндра (т. е. с использованием непрямой формы метода граничных элементов), а также Маккейми и фуксом (51, которые получили точное решение для сил г' = Нооп (х/т) рйаоИ~ М (х/о)/(х/о), (к) где ао — амплитуда волны.
Было проведено исследование схо- димости метода путем использования постоянных, линейных и квадратичных элементов (б); схемы некоторых разбиений на элементы показаны на рис. 3.11. Глива 3 Иитгрттолирукьииг функнии 139 На рис. 3.12 показана сходимость решенттй для полной горизонтальной силы, которые можно сравнить с точным решением (к).
Видно, что квадратичные элементы обеспечивают лучшую сходимость процесса численного решения, поскольку с их помощью можно более точно описать поверхность цилиндра. Однако более удивительным является то, что при использовании постоянных элементов была достигнута луч- 2,7 шая сходимость, чем при использовании линейных элементов. Это, по-видимому, связано с трудностью представления с достаточной точностью нормалей в угловых точках при использовании линейных элементов. 2,5 м ьс 2,5 б ь, 2,1 15 Пример 3.5. Одной из задач, для которых обычно рекомендуется использовать элементы более высокого порядка, является задача о течении жидкости со свободной поверхностью. Свободные поверхности обычно !,1 связывают с задачами теченкя подземных вод через насыщенную числа уэлса бесконечную пористую среду, Рнс.
3.12. Сходимость решений д я полчинЯЮП1уюСЯ заКонУ ДаРси горизонтальной силы, дейстаую. (1 ). Если рассматриваемая среда шей на пнлнндр. Гт расчетах нс- является однородной и изотроппользовались значении 72 = 1О, ной, то задача сводится к уравнению Лапласа относительно потенциала скорости и с граничными условиями, показанными на рис.
3.!3: д -- 0 на непроницаемой границе, т. е. на поверхности слоя грунта и породы (поверхность АЕ на рисунке); и = сопз( на поверхностях АВС и ЕЕ пористой среды; и =- хз на фильтрующей поверхности ОЕ, где вода проходит сквозь грунт и стекает вниз; и =- х, и т2 =- 0 на свободной поверхности СЕ1. Кроме того, заранее неизвестно точное положение свободной поверхности, и определение его представляет собой часть процесса решения задачи. При численном расчете этой задачи начальное положение свободной поверхности задается произвольным образом, и, кроме того, во всех точках ее принимается условие тт === О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
