Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Геометрия бес коаечяоя области с по лооп ю. ~ д (х) е[Г (х) + ~ д (х) е[Г (х) = О. (2.137) где (2.135) ) д(х) бГ (х) = О (1), (2.138) криминанта, составленного из коэффициентов теплопроводности, т. е. [ Ам [ = й„Лат — А[я, и чем меньше значение [ А» [, тем более асимметрично поле температуры. 2.!О. Бесконечные области Хоти граничное интегральное уравнение (2.69) было получено в предположении, что область 11 является ограниченной, все сказанное до сих пор справедливо также и для бесконечных регулярных областей в смысле, определенном Келлогом [3), т. е.
области считаются ограниченными регулярной поверхностью (отсюда граничная поверх- и ность) и содержащими все достаточно удав ленные точки. Однако, для того чтобы Г расширение было справедливым, должны ч выполняться определенные условия регулярности, касающиеся поведения функций, для которых справедливо уравнение (2.69), на поверхности, бесконечно удаленной от начала координат.
Пусть à — граница круга (или сферы если задача трехмерная) радиуса Я с центром в точке 0 (рис. 2.28), охватывающая границу Г. Граничное интегральное уравнение, аналогичное уравнению (2.69), для конечной области Я, ограниченной действительной границей Г и фиктивной границей Г, можно написать в виде с(0)ид)+ ~ и(х)дед, х)е[Г(х)+ ~ и(х)д*д, х)е[Г(х) = г = ) д(х) иеД, х) е[Г (х)+ ~ д(х)и'Д, х)е[Г (х).
(2.133) Если положить Я -е ао, то уравнение (2.133) будет справедливым только для точек, принадлежащих границе Г (и области й) при условии 1пп ) [д(х)и'Д, х) — и(х)д'Д, х))ЙГ(х) = О. (2.!34) г В случае трехмерных задач, для которых бг(х) =[.У[ (йбб1, [,У[=Ода), и*Д, х)=0()с '), х ЕГ, д" Д, х) = 0(Я '), [.е [ — якобиан, 0 ( ) означает асимптотическое поведение функции при ес — сс, условие (2.134) выполняется в том случае, если функция и (х) имеет асимптотику по крайней мере 0 (Гс '), а для ее производной справедливо д (х) = 0 (Я '). Все перечисленные требования и представляют собой условия на бесконечности [3, 16), из которых следует, что каждое слагаемое в равенстве (2.134) ведет себя по крайней мере как 0 ()с '), т.
е. стремится к нулю при Я-в. оо. В двумерных задачах функция ие ($, х) ведет себя как логарифмическая функция 1п Я, а ее производная — как де Д, х) = = 0 ()ч ') при )т — ~ сс. Условие регулярности на бесконечности в этом случае означает, что функция и (х) ведет себя по крайней мере как 1п ес, а ее производная — как д ( х) = 0 ()с ').
Отметим здесь, что входящие в интеграл (2.134) функции, вообще говоря, не стремятся к нулю при Я-ч- со, поскольку е[$ (х) = [.е [е[$ н [ е [ = 0()с), ио в совокупности они ведут себя так, что выполняется условие (2.134). Используя далее условие (2.!34), из уравнения (2.133) полу» чаем сД)'и,(ь),'+)и(х)де(Щх)е[Г„'(х)= $д(х)ие,(с, х)е[Г(х). (2.136) Отсюда видно, что граничное интегральное уравнение, записанное для внутренней границы бесконечной регулярной области, совпадает по форме с уравнением (2.69) для конечных областей.
Все сказанное справедливо для интегрального уравнения для точек, принадлежащих бесконечной области. Рассмотрим трехмерную задачу Неймана для бесконечной области Я. В отличие от случая конечных областей (разд. 2.3) уравнение (2.136) имеет единственное решение для произвольных непрерывных функций д, заданных на внутренней границе Г. Более того, здесь не требуется выполнение условия Гаусса (2.53), поскольку интеграл от функции д по границе Г уравновешивается на бесконечности компенсирующим потоком. Поскольку область„ заключенная между границами Г и Г, является соленоидальной, можно написать Задач лш р и лоиыици еа Глава 2 102 поскольку и (х) = О ()4 ') при гс — оо.
Если функция и (х) имеет порядок малости О (14 '), то поток по границе Г равен нулив и соотношение (2.137) превращается в условие Гаусса ~гу(х)с(Г (х) = О. (2.139) г Напротив, если выполняется условие (2.139), то отсюда сле- дует, что функция и (х) ведет себя как О Я ') при Я вЂ” ы оо, Из аналогичных рассуждений можно заключить, что для дву- мерных задач Неймана из выполнения условия Гаусса (2.139) следует, что функция и (х) ведет себя п!р крайней мере как О (Я ') при ух' -т- оо.
Если 'функция д такова, что на бесконечности она принимает не равное нулку конечное значение, то это значение можно рассматривать как частное решение, что будет показано в следующем примере.Щ Пример 2.8. Рассмотрим задачу с граничным условием типа Неймана о круговой области единичного радиуса, расположенной в бесконечном двумерном про- Рис. 2.29. Круговое от- странстве, т. е. на границе круга (рис. 2.29) верстие единичного ра- задан постоянный по величине радиальбсскоиечиой двумерной ный поток энергии 31,21 Джг(м' с).
области. Поскольку условие Гаусса (2.139) не удовлетворяется, решение ведет себя на бесконечности как логарифмический потенциал. Точное реше- ние этой задачи имеет вид и = — 31,211п )х', откуда и виден указанный характер поведения функции. Таблица 2.3. Температура в точиах, принадлежапьнх бесконечной области Решение но нетпду греннчных влеыентов Точнее решение 1,0 1,5 2,0 3,0 5,0 !0,0 100 О !000,0 — 0,48 — 12,57 — 21,49 — 34,07 — 49,9! — 71,40 — !42,8! †2,21 — 0,12 — 12,63 — 21, 60 — 34,23 — 50, 15 — 71,75 — 143,50 — 2!5,24 0,00 — 12,65 — 21,63 — 34, 28 — 50,22 — 71,86 — 143. 72 — 2!5,58 Габлица 2.4.
Радиальные потоки в точках, принадлежапьих бесконечной области Решение пе методу граничных элементов Точное решение 20,68 15,51 10,34 6,20 3,10 0,31 0,03 1,5 2,0 ЗгО 5,0 10,0 100,0 1000,0 20,77 15,58 10,39 6,23 3,!2 0,31 0,03 20,81 15,61 ! 0,40 6,24 3,12 0,3! 0,03 Найденные значения температуры в точках, лежащих на границе Г и внутри области П, а также величины радиальных потоков в точках, принадлежащих области И, приведены соответственно в табл.
2.3 и 2.4, где даны также и точные значения. С учетом симметрии задачи рассматривается лишь четверть границы, при разбиении которой использовались постоянные элементы. Пример 2.9. Рассмотренную выше формулировку задачи для бесконечных областей можно легко распространить на имеющие практическое значение задачи, например задачи потенциального течения жидкости за препятствием. В качестве примера рассмотрим двумерное потенциальное течение с постоянной скоростью )г на входе в направлении оси х, при обтекании профиля крыла НАСА 0018, форма которого показана на рис. 2.30, б. Для решения этой задачи введем функцию тока ф: фв = — ф! = — )гхе на границе Г.
Поскольку задача симметрична относительно оси х„следует рассматривать лишь половину профиля. Характер разбиения дт = дф/дх„де = дф!дх,. Далее удобнее представлять функцию тока ф в виде двух слагаемых ф = ф, + фв, где ф, = 1гхв определяет установившееся течение на входе, ф, — функция, описывающая возмущение потока. Поскольку возмущение затухает на бесконечности, потребуем, чтобы выполнялось условие ф, = О (тт ') при Я -+ оо. Кроме того, поскольку пвф = 0 и ф, — гармоническая функция, то утфв = 0 и задача сводится к нахождению функции возмущения ф,. Рассматривая поверхность аэродинамического профиля как линию тока с ф = О, граничные условия задачи можно взять в виде Глава 2 104 Задачи теории потысянизп 105 О,Б 03 ЬО БО 80 100 л, 0 20 Рис. 2.30.
Потенциальное обтекание крыла НАСА 0018: а — результаты анзлвтнческнк расчетов скорости потока залазя повепхностн крыла ° расчета по методу грвннчных влементов: б — геометрня крыла н кврвктер рвзбнення поверхностн нв граничные злементы. границы на постоянные граничные элементы, использованные при решении задачи, показан на рис. 2.30, б. Значения касательной скорости (рис. 2.30, а) хорошо соответствуют результатам, приведенным в книге [32). 2.11, Специальные фундаментальные решения В фундаментальных решениях, которые рассматривались до сих пор, нетрудно узнать функции Грина для бесконечной области. Поскольку они были получены без соответствующего учета граничных условий, то граничные условия в реальной задаче вводят в виде требования того, чтобы функция или ее нормальная производная (или их линейная комбинация) принимали заданные значения в точках, принадлежащих границе, которая предварительно разбивается на отдельные участки. В некоторых задачах область может быть ограничена неким регулярным образом, при котором иногда удобнее находить фундаментальное решение специально для этой области [21[.
В качестве примера получим фундаментальное решение для полубесконечной области, аналогичной той, что встречается в задачах механики жидкости или в задачах геотехники (рис. 2.31) В задачах такого рода удобнее расположить границу Г на бесконечности. Выбором фундаментального решения, тождественно удовлетворяющего граничному условию на границе Г, можно избежать дискретного представления этой границы, что значительно снижает объем вычислительной работы, необходимой для решения задачи.
Рассмотрим источник с интенсивностью о (О), помещенный и точку $, принадлежащую границе Г (рис. 2.31). Потенциал, создаваемый этим источником, будет некоторым образом отражаться от границы Г в зависимости от граничных условий, заданных на ней. Для того чтобы представить это отражение, поместим в точку $' изображение источника с интен. сивностью о (Б'), симметрично рас положенного относительно грани цы Г. Таким образом, потенциал в произвольной точке х поля будет равен сумме потенциалов полей обоих источников и (х) = и ($) иа (К х) + + о (Б') и' (Б', х), (2.140) где и* — фундаментальное решение для бесконечной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
