Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Уравнение (2.57) является уравнением Фредгольма первого рода, так как неизвестная функция имеется только под интегралом. Задачи теории потенциала 71 Гоара 2 70 (2.60) (2.61) 2А. Прямая формулировка 11'и(х) =О, х Е П (2.56) и граничными условиями вида ~ и (х) Ь (к, х) е(й (х) = и ($). и (х) = й (х), х Е Г,; д (х) = 0 (х), х Е Г,. (2,66) (2.59) Для многих задач Дирихле постановки, использующие такие уравнения, являются более важными с физической и более удобными с математической точек зрения, чем те, где используются уравнения второго рода. Касаясь вопроса численного решения системы соответствующих алгебраических уравнений, получаемых путем дискретного представления.

можно утверждать, что из-за присутствия локального слагаемого в уравнениях второго рода матрица системы уравнений будет всегда диагонально преобладающей. Уравнение пер ваго рода с несингулярным ядром может оказаться очень трудным для решения, поскольку уравнения этого типа являются существенно плохо обусловленными [20), однако в данном случае сингулярность ядра обеспечивает диагональное преобладание матрицы системы уравнений, поэтому задача в общем случае является хорошо обусловленной.

Численные решения уравнения (2.57) приведены, например, в [10, 11, 13 — 15). Неудобство представления о потенциалах простого и двойного слоев состоит во введении формальных функций плотности источника, которые обычно не имеют отношения к физическому смыслу задачи. Это можно преодолеть, воспользовавшись прямой формулировкой метода граничных элементов, где значения неизвестной функции и ее производных на границе Г играют роль плотностей источников, определяющих функцию и внутри области Й.

К этой формулировке можно прийти, используя третье тождество Грина, теоремы Бетти и т. п. или общие принципы, аналогичные принципу возможной работы. С другой стороны, можно следовать теории, изложенной в гл. 1, и использовать метод взвешенных невязок [5). Преимущество метода взвешенных невязок состоит в его универсальности; данный метод можно непосредственно распространить на решение более сложных уравнений в частных производных и применить для получения других численных подходов, таких, как метод конечных элементов. поэтому оказывается, что не составляет труда связать (или комбинировать) метод граничных элементов с классическими численными методами. Пусть требуется получить приближенное решение задачи, описываемой уравнением Ошибку, получаемую за счет замены функций и и д приближен- ными представлениями, можно свести к минимуму, если в соответ- ствии с методом взвешенных невязок записать следующее соот- ношение: 'р'и (х) и'(0, х) иь1 (х) = ~ [д (х) — й (х)) и*(й, х) йГ (х)— Гч — ~ [и(х) — й(х)) да(й, х)йГ(х), г, где и* имеет смысл весовой функции и и' (к, х) = ди* (к„х)/дп (х).

Интегрирование соотношения (2.60) по частям по х, дает — е(й (х) — ~ й (х) и* (й, х) йГ (х)— да (к) дач (5, к) и ге — ~ е) (х) и*($, х) йГ (х) — ~ [и (х) — й (х)) да ф, х) иГ (х). (2.62) г. г, Здесь ( = 1, 2, 3 и используется правило суммирования по повто- ряющимся индексам.

Еще раз интегрируя по частям, получим у'и'($, х) и (х)о(ь1 (х) = — ~ й(х) и*($, х) йГ (х)— г, — ~ й (х) и*($, х) о(Г (х) + 1 и (х) иа ($, х) йГ (х) + + ) й(х)да($, х)йГ(х) (2.63) г, илн в более общем виде чр'и'Я, х)и (х)йЯ (х) = — ~ и(х)иаф, х) йГ (х)+ г + и(х)даф, х)иГ (х). (2.64) Напомним, что дельта-функция Дирака Ь ($, х) имеет следующие свойства: Ьф, х)=0 при $-ьх, Л$, х)=аа при $=х, (2.65) и. кроме того, Задачи амарии имиенциала 73 7'аааа 2 Предположение о том, что функция и* является фундаментальным решением уравнения Лапласа, дает тгаии ($, х) = — 2апЬ ($, х), (2.67) где м = 1 для двумерных задач и а = 2 для трехмерных.

Подставляя равенство (2.67) в уравнение (2.64), найдем 2апиф) + ) и(х)диф, х) дГ(х) = ) п(х)ии($, х)йГ(х). (2.68) г г Из уравнении (2.68) следует, что гармоническую функцию можно представить как сумму потенциала простого слоя с плотностью д/(2ап) и потенциала двойного слоя с плотностью — и/(2мп). Другим преимуществом прямой формулировки по сравнению с непрямой является то, что здесь могут быть ослаблены ограничения на гладкость (по Ляпунову) поверхности. Действительно, ее можно применять для более общего вида регулярных поверхностей Келлога 13 ), допускается рассматривать также поверхности с углами и ребрами. Так, если взять точку 5 на границе и учесть скачок интеграла, стоящего в левой части равенства (2.68), то получим следующее граничное интегральное уравнение: с($)и($)+ ~и(х)че(к х)НГ(х) = ~д(х)и*Я, х)с(Г(х).

(2.69) г г Это уравнение обеспечивает функциональную связь между функциями и и с на границе Г, что доказывает совместность их значений на границе. Если требуется найти решение задачи Неймана, то известной будет правая часть уравнения (2.69), и тогда требуется решить уравнение Фредгольма второго рода относительно неизвестных значений функции и на границе. Если требуется решить задачу Дирихле, то заданными будут значения функции на границе, в результате получаем уравнение Фредгольма первого рода для неизвестных значений производных д по нормали на границе, Решение граничных задач Коши (т.

е. смешанных) приводит к смешанному интегральному уравнению относительно значений неизвестных функций на границе. Для вычисления функции с ($) можно использовать две различные процедуры: согласно одной из них предполагается, что постоянный по величине потенциал в случае сплошного тела не порождает потоков, что эквивалентно перемещениям твердого тела как целого в теории упругости, и будет подробно обсуждаться в гл. 3, вторая процедура представлена здесь для двумерных задач, но ее можно применять также и для трехмерных, Предположим, что рассматриваемую область можно дополнить малой областью Г„ являющейся частью круга радиуса е Рвс.

2.7. Двумерная область, доволяеяяая областью Га. с центром в точке $, лежащей на границе Г (рис. 2.7). Выполняя слоя те же расчеты, что и при определении скачка потенциала двойно лоя в равд. 2.2, и предполагая, что функция и (х) удовлетворяет го и точке э условию Гельдера, имеем с(5) = 2п+11ш ) — „„(1п „1 ) ЫГ(х), (2.70) откуда в соответствии с рис 2 7 получаем е, с (ии) = 2п — 1пп ) — М = и -1- а, — ая, (2 71) ! а, т е величина с (еь) равна внутреннему углу границы в ке $. П оскольку в корректно поставленной граничной задаче для уравнения (2.69) задается только половина граничных условий, это уравнение можно применить для получения значений неизвестной функции на границе.

В равд. 2.6 будет представлена схема численного решения этого граничного интегрального уравнения. Таким образом, значение функции и в произвольной внутренней точке $ можно вычислить путем численного интегрирования уравнения (2.68). При необходимости произвольную функцию и в точке $ (по декартовым координатам х~ (Е), 1 = 1, 2, 3) также Глава 2 можно найти путем численного интегрирования с помощью урав- нения — — ~ ~ч~ ) н '»нч ве~л — 1„и>~на'«веи~) длч Я) 2па ~ ! див Я) г (2.72) поскольку уравнение (2.68) можно, как правило, дифференциро- вать под зйаком интеграла. 2.5. Метод граничных элементов Вместо того чтобы пытаться получить аналитическое решение уравнения ( .

(2.69) для частного вида геометрии и граничных усй полним необходимое сведение исходно ур го авнения лови, вы ожно было вос- в алге браическую систему уравнений, с тем чтобы м п хо, как п авило, польз оваться численным подходом. Этот под д, , 2!]. р состоит из следующих этапов [5, 15, !) Граница Г разбивается на ряд элементов, внутри которых предполагается, что пот ч потенпиал и его нормальная производная изменяются в соот т соответствии с выбранными ннтерполирующимн п я мых , Эти элементы можно образовать с помощью р функциями, линий, круговых дуг, парабол и т. п. 2) И уется метод коллокаций, согласно которому для спользу т отдельных узловых точек, распределенных внутри к д аж ого эле- мента, записывается дискретная форма уравнения, связывающего значение потенциа а л и его нормальных производных в каждом 3) Интегралы по каждому элементу вычисляются с помощью одной из схем численного интегрирования.

4) Путем наложения заданных граничных условий получается система линейных алгебраических уравнений, решение этой си- стемы уравнени, кото й, оторое может быть выполнено с помощью пря- неиз- мого или нтерационно нного методов, дает остальные значения вестной функции на границе. При необходимости значения функции и в произвольной внуочке мог т быть найдены по известным значениям на е и ования вы ажения (2,68). границе с помощью численного иитегриро н я 2.72 мо- Аналогично численным интегрированием выражения ( . ) мо- жно найти производные «е функции и в произвольной внутренней В равд.. п реч р, 2.6 е ечисленные выше этапы подробно рассматрива- ются в связи с опреде н еленными на конечных областях изотропной среды двумерными задачами с граничными условиями типа Нейб ет мана, Дирихле, оши , Коши или Робина.

В последующих разделах уд т показано, как можно распространить метод на случай внутренних Задачи теории потенциала источников. Если область является неоднородной, но состоит из конечного числа однородных пожчбластей с различными физическими свойствами, то метод можно применять, записав сначала систему уравнений для каждой подобласти н введя затем условия совместности (записанные через потенциалы) и равновесия (записанные через нормальные производные) для подобластей.

Приводятся фундаментальные решения для ортотропных и анизотропных областей и показывается, что все положения, обсуждавшиеся в предыдущих разделах, справедливы также и для бесконечных областей при выполнении определенных условий регулярности на бесконечности. Привлечение подходящего фундаментального решения, удовлетворяющего части граничных условий рассматриваемой задачи, позволяет снизить объем вычислительной работы, как это показывается в разд.

Характеристики

Список файлов книги