Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Сказанное не относится ко второму интегралу в правой части выражения (2.27), поскольку наличие производной по нормали порождает особен- ность более высокого порядка. Этот интеграл можно записать в виде ~ 1»($) д ( — )»[Г(Г2) = ~ [1»)й) — 1»(х)] — Х г, г, Х ( ) б[Г($)+ 1»(х) ~ — ( ( ) е(Г($). (2.28) ге Это означает, что потен нал, связанный с непрерывной плотно- стью источника на поверхности в каждой точке х, представляет собой сумму поверхностных потенциалов, один нз которых имеет стремящуюся к нулю йлотность источника в точке х, а другой обу- словлен постоянной плотностью, равной значению плотности ;источника в точке х.
Если плотность 1» (х) удовлетворяет условию Гельдера в точке х, то первый интеграл, стоящий в правой части выражения (2,28), непрерывен в каждой точке, принадлежащей поверхности. Второй интеграл в правой части выражения (2.281 (обозначения приведены на рис. 2,4, б) равен е 1 дл ( г )»[Г = — )[ ~, 2и]) б([) (2.29) о Так как для заданного ] Л ] (( е имеем р»[]) = ге»г, то заменой пе- ременной находим е е г Л дг гЛ12 Л 2,]),[]) 2яЛ ~" = 2п ~ — 1 = 2и — — 2пзйп(Л), ) 2 — ге 'Г г 11») е о !», (2.30) где через здп (Л) обозначен знак величины Л. Переходя к пределу при е -2- 0 (и учитывая при этом, что Л стремится к нулю быстрее, чем е), из равенства (2.28) получаем е $ 12))2„(, ', )лГЯ)~ =,— 2,.2,)2)я)).
)22)) о [г е Задами о)лорио лотелцаала Т предел когда точка х перемещается изнутри к поверхности Г, можно взять и+(х) = — 2п[» (х)+ ~ [»Я) — „( < ) е[Г(з). (2.32) а при перемещении х снаружи — выражение 'и (х) = 2п[» (х) + ~ [» ф — ( — ) в[Г В). (2.33) г В соответствии с таким поведением и (х) принято говорить, что трехмерный потенциал двойного слоя имеет в каждой точке х. разрыв или скачок, равный — 4я[» (х), при переходе от внешней к внутренней области, а именно при х ~ Г; и+ (х) — и (х) = — 4я1» (х).
(2.34) ач к Все сказанное до сих пор справедливо и для двумерны зд, для которых аналогичный ньютоновский потенциал определях а- ется логарифмической функцией 1п — „, (2,35) где г ($, х) имеет вид г $, х) = [[х» й) — х»(х)]~+ [хо $) — хе(х)]о]ыо. (2 36) Логарифмический потенциал можно получить либо путем рассмотрения двумерного линейного источника, либо проинтегрировав 17, 18]. ньютоновский потенциал линейного источника по линии $ [3 Двумерный объемный потенциал и(х) = ] р(й)!п — »(»1($) (2.37) удовлетворяет уравнению Пуассона 4)ои (х) = — 2пр (х) (2.38) для каждой точки х ~ »л, поскольку, как и в трехмерном случае, выполняется равенство (1п ) в[ГЯ) = — — ]' вй'= — 2п, (2.39) г, г в' где Г, в данном случае является участком кривой — границы. Потенциал простого слоя для двумерных задач имеет вид и (х) = ] и Я) 1п — „б(Г Я).
(2.40) г 3 Вреббяя К. я др. Глава 2 Задача теории потенциала 67 1 Ряс. 2,6. ц (2(„) 1 4 (ы — ')нг(2)). (2»2) Эгог интеграл содержит полный дифференциал, поскольку для угла 9 (рис. 2.5, б) подынтегральную функцию можно переписать в виде — (1п — ) аГ = -~-( — „„, ) й9 = (19. (2.43) Таким образом, для выражения (2.42) с учетом неравенства (», ~ (( (( е получаем 2 (2(*) 1~ () — ~)ег(т))= — и (Ин(*). (244) г, Как и в трехмерном случае, потенциал непрерывен во всех точках, прияадлежащих поверхности, если плотность о является ограниченной функцией во всех точках поверхности.
Двумерный потенциал двойного слоя можно записать в форме и(х) = ~)с(х) — „( (1п —,(3 „1 )ЙГ$), (2.41) г согласно которой он имеет разрыв, который можно исследовать так же, как и в трехмерном случае. При этом кривая Г разбивается и на два участка à — Г, н Гс, последний заменяется коротким прямолинейным отрезком с 3461 Г, » центром в точке х (рис. 2.5, а), и затем предполагается, что поверхность ограничена глад»у . ким контуром. Рассматривают- а ся точки х ~ )ц на нормали к и еврее поверхности, проведенной кгранице через точку х, причем расстояние между двумя точка- 4 ми х ~ г.
считается много мень- шим 2е, т. е. длины отрезка Г,. » 1( „'6» Разбивая интеграл (2.41) на участки, как это было сделано с выражением (2.28), и предполагая, что функция 12 (6) удовлетворяет в точке х условию Гельдера, получим, что разрыв и+ — и определяется выраже- нием Таким образом, выражение (2.41) в пределе принимает вид при х, стремящемся к границе изнутри: и'(х) = — пр(х)+ ) 1»Д) — „131 (!п, „) )йГ(6), (2А5) г а при стремлении х к границе снаружи м (х) = п)а(х)+ ~ р(в) (1п — )с(Г(в). (2.46) Таким образом, скачок потенциала равен и+ (х) — й (х) = — 2п)а (х).
2.3. Непрямая формулировка В этом разделе изучаются решения уравнения Лапласа даи (х) = О, х ~ й, (2.48) с граничными условиями типа Дирихле Г и(х) = й(х) на участке Г, границы (х Е Гт) (2.49) Вав1»1 ° 6 а азаастия или типа Неймана д (х) = ди (х)/дп = (7 на участке Г, границы (х ~ Г,), ч-4 на Г границы тнастнс ( границы (259) с(границы где п — внешняя единичная Рис. 2.6. нормаль к поверхности Г, й и () — заданные значения функции и ее нормальной производной на границе Г =- Г, + Г, (рис. 2.6).
Функцию и называют гармонической в области ал, ограниченной замкнутой поверхностью Г, если она; 1) непрерывна в области 11 и на границе Г; 2) имеет в области (л производную по крайней мере второго порядка; 3) удовлетворяет уравнению Лапласа в области Й. Любую гармоническую функцию можно представить как некоторое распределение потенциала, и наоборот, каждый потенциал является гармонической функцией [3, 18!.
Таким образом, эффективный способ формулировки граничных задач теории потенциала состоит в представлении гармонической функции в виде потенциала простого или двойного слоя, обусловленного непрерывно распределенной на границе Г функцией источника, при условии, что эти потенциалы удовлетворяют гранич- 32 Задачи теории потенциала Функцию ио (з, х), являющуюся ньютоновским потенциалом (2.5) для трехмерной задачи или логарифмическим потенциалом (2.35) для двумерных задач, называют фундаментальным решением уравнения Лапласа.
Взяв производную выражения (2.51) по направлению внешней нормали к поверхности Г, получим представление для граничного условия, когда х берется на поверхности Г: д(х) = — ила(х)+ ) а($) „') ~ НГД), (2.52) г где а = ! для двумерных задач и и = 2 для трехмерных. Написанное соотношение представляет собой уравнение Фредгольма л второго рода, относительно неизвестной функции ',ал выраженное через д, причем йравая часть уравнения (2.52) характеризуется как локальной, так и интегральной зависимостью от а.
Решив систему соответствующих алгебраических уравнений, значения функции и в произвольной внутренней или граничной точке можно вычислить с помощью представления (2.51), поскольку и* ($, х) является непрерывной функцией, когда х принадлежит границе Г. Важно отметить, что уравнение (2.52) имеет решение лишь при выполнении условия Гаусса 13]: ~ а (х)е(Г (х) = О, (2.53) причем это решение является единственным с точностью до произвольной постоянной.
Однако и эту постоянную можно определить, накладывая некоторое дополнительное «нормнрующее» условие 115]. Описанный выше метод многократно использовался Хессом н Смитом [12] для решения задач течения жидкости, включая задачу обтекания гндродинамических профилей, решеток профилей н ным условиям для функции и. В результате этот подход приводит к формулировке интегральных уравнений, где неизвестной является функция плотности источников.
Эти уравнения можно представлять в дискретной форме и решать численно, а значения функции и во внутренних точках можно вычислить путем численного интегрирования, используя найденные значения на границе, что и будет показано ниже Для того чтобы получить интегральное уравнение для функции, являющейся решением задачи Неймана, предположим, что неизвестную функцию и можно представить единственным образом как потенциал простого слоя с неизвестной плотностью ш и (х) = ] а $) и'($, х) йГ ($), (2.51) г аэродинамических профилей. Численные результаты приведены в работах (10, 11, 15]. Для получения интегрального уравнения для функции, являющейся решением задачи Дирихле, в классическом подходе предполагается, что неизвестная функция и может быть представлена единственным образом в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью рн и(х) = ) р(й) „1'(' ) «1Г($).
(2.54) г Принимая во внимание скачок потенциала двойного слоя, в ка. честве предела для выражения (2.54) можно взять и (х) — апр (х) + ~ р ($) ' НГ (В). (2,55) г Поскольку для задачи Дирихле функция и (х) известна, неизвестной оказывается лишь плотность исгочников р. Таким образом, как и ранее, соотношение (2.55) является уравнением Фредгольма второго рода, решив которое, можно определить функцию и (х) всюду в области»л„воспользовавшись выражением (2.54). Численные результаты с использованием этой формулировки были получены, например, Л.
В. Канторовичем и В. И. Крыловым'119]. Поскольку и* ($, х) =- ич (х, ~), говорят, что уравнение (2.55) содержит ядро, сопряженное ядру уравнения (2.52). Ядром является стоящая под знаком интеграла функция от $ и х, которая умножается на плотность источников. Для скалярных ядер сопряженность получается за счет симметрии относительно х и $. Другой подход к получению интегрального уравнения, описывающего решение задачи Дирихле, состоиг в предположении, что неизвестную функцию можно выразить единственным образом через потенциал простого слоя с неизвестной плотностью источников а: и (х) = ]г а Д) ио(й, х) е(Г (й), х ~ (1. г Поскольку ядро этого уравнения является непрерывной функцией, если х берется на поверхности, предельной формой уравнения (2.56) для этого случая будет и(х)= ] аД)и«Д, х)ЙГ(5), х Е Г, (2.57) г и так как и (х) известная функция, то неизвестной функцией вэтом Уравнении оказывается лишь плотность источников а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
