Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 13
Текст из файла (страница 13)
2.11. И наконец, описываются специальные численные процедуры для общего вида трехмерных и осесимметричных задач. 2.6. Двумерные задачи Интегральному уравнению (2.69) можно придать дискретную ' форму, записав его для ряда элементов. Для простоты будем рас- сматривать двумерную область, границу которой разобьем на ряд «сегментов» или «граиичных элементов» (рис.
2.8, а). Точки, в которых рассматриваются значения неизвестной функции, называются узлами и располагаются они в середине каждого сег- мента для так называемых «постоянных» элементов. Данное раз- мещение узлов используется лишь для элементов, рассматривае- мых в этой главе, а в гл. 3 будут обсуждаться случаи линейных элементов (т. е. элементов, для которых узлы располагаются (рис. 2.8, б) в местах соединения двух элементов) и криволиней- ных элементов, подобных показанным на рис. 2.8, в. Для после- днего случая требуется задавать расположенный в центре эле- мента дополнительный узел, такие элементы называются квадратичными. Для случая постоянных элементов граница разбивается на М элементов, из которых 1ч', элементов задается иа части Г, границы, а А« — на части Г, границы.
Значения функций а и и полагаются постоянными в области каждого элемента и равны их значениям в узле элемента. Предполагается, что для каждого элемен- та известно значение одной из двух неизвестных (и или а), Уравнение (2.69) можно записать так: с;ие + ) иди«(Г = ) аи» е(Г, (2.73) г г Задачи теории потенциала Глава 2 76 Узел енент УЗЛЫ Узлы нт (2.74) (2.76) Рис. 2.8. Граничные элементы (и — постоянные; 6 — линейные; в — иаадратич- ные).
где для двумерного случая имеем 1 1 и' = — 1п —, 2и г' а для трехмерных задач ! 1 и* = — —. 4и г Отметим, что здесь $ берется в качестве точки 1, для которой имеется фу ф ндаментальное решение, т. е. и ($) =- ит. То же самое н язесьопсправедливо для коэффициента с (9), Для упрощения д ущеиы также стоящие в скобках буквы $ и х. Дискретная, форма для уравнения (2.73) принимает вид и и с;и,+ ~ ~ ие/ее!Г= ~ ~ ичде(Г.
(2.76) !=! ГУ /=! г! От, что для постоянных элементов граница всегда является метим, ч авен '/ «гладкойз, поэтому коэффициент с, тождественно равен где ! — длина à — л на /-го элемента, Уравнение (2.76) представляет с етной форме связь между узлом 1, в котором задается фунв дискретн й ая э е ент даментально ентальное решение, и всеми 1-ми элементами (включ я л м с 1 =- /) на границе (рис. 2.9). Функции и и е/, стоящие под знаком интеграла в уравнении (2.76), имеют постоянные значения в области каждого элемента и Рис.
2.9. Схема связи между фундаментальным рыиением я граничном узле ! и граничными элементамн. поэтому могут быть вынесены из-под знака интеграла, что дает — чч.2„'()е ет'!и=~11 *ет)е. 1е.тт! /-1 1гу 1 /-1 1Г Интегралы ) 1/е12Г устанавливают связь между 1-м узлом с у-м элементом, по длине которого берется интеграл, и будут обозначаться Йер Аналогично интегралы вида ) ичт!Г будем обозначать стт/.
Тогда уравнение (2.77) можно записать в Виде ! из+ ~ й и! = Х аобу (2.78) /=1 1 В рассматриваемом случае интегралы можно вычислить аналитически, поскольку фундаментальное решение и геометрия элементов имеют очень простой вид. В общем же случае необходимо (либо более удобно) выполнять' интегрирование численно. Уравнение (2.78) можно записать для каждого 1'-го рассматриваемого узла. Введем обозначения Н»= л Ны 3 чь/! (2.79) Йт! + 1/2, 1 = /. Тогда уравнение (2.78) можно записать в виде и и ЕН17иу= Еа„д,. (2.80) /=1 ' 1- Полную систему уравнений можно также представить в матричной форме Нс/ = 647. (2.81) Отметим, что на границе Г известно А/1 значений функции и и А/а значений функции 17, поэтому уравнение (2.81) представляет !"лава 2 Задачи теории аотеияиала (2.87) мент е(! = ~ (>не((à — ~ (1еи ((Г. г г (2.83) Для См.
имеем (2.89) (2.91) собой систему М неизвестных, и эту систему следует преобразовать таким образом, чтобы ее порядок соответствовал числу рассматриваемых неизвестных. Уравнение (2.8!) можно преобразовать путем переноса всех неизвестных в левую часть, тогда з правой части остается вектор, получаемый умножением элементов матрицы на известные значения потенциала и потока, что дает А)'=Г, (2.82) где г" — вектор, компонентами которого являются неизвестные значения функций и и (1. Рис.
2.! О. Схема сэяэн между фукяаментальным рмненнем для ниутренней точки ! н граничными элементами. Номер уела 1 нэменяется от 1 до М. Отметим, что матрица А является полностью заполненной матрицей порядка Л!. Поскольку слагаемые, содержащие Нм и Ссп можно непосредственно объединить в матрице А, уравнение (2.8!) не требуется преобразовывать. После того как уравнение (2.82) будет решено, станут известны все значения потенциала и потока на границе, что дает возможность вычислить значения потенциалов и потоков в произвольной внутренней точке с помощью соотношения Это соотношение дает в интегральной форме связь между внутренней точкой ! и значениями функций и и д иа границе (рис.
2.10). Дискретное представление связи (2.83) имеет вид и = Е С(гу> — Е Й(>Ц. (2.84) /=! /=! Значения внутренних потоков можно вычислить, дифференцируя соотношение (2.83) так же, как это было сделано с выражением (2.72): (2.85) г г здесь х, — координаты, 1 = 1, 2 для двумерной области и 1 = = 1, 2, 3 для трехмерных случаев. Интегралы Н,> и Сы можно вычислить, используя для всех элементов (за исключением того элемента, которому соответствует рассматриваемый узел) простые квадратурные формулы Гаусса; Йм = (()е((Г = 1> ~~>,((!е)ап>а, (2.86) г а=! к С = 1й((Г= ~ ~~~л( )ам>а, г а=! где 1у — длина элемента, м>а — весовое число, соответствующее точке л при численном интегрировании.
В этой же точке должны быть вычислены значения функции ие или !>е. Длина элемента 12 делится на 2, поскольку формуль! численного интегрирования обыч- но используют значения от — 1 до +1 с весом 2. Для получения требуемой точности в двумерных задачах, как правило, достаточно взять четыре точки на интервале интегрирования. Для интегралов, соответствующих сингулярным элементам, необходимо использовать квадратурные формулы более высокого порядка, некоторые из которых приводятся в приложении А.
В частном случае постоянных элементов интегралы Й и С можно легко вычислить аналитически. Диагональный элемент л м и матрицы Й((, например, тождественно равен нулю, поскольку нормаль и поверхность элемента ортогональны дии дг й„= )(д (Г= ! — — '(Г=О. дг да (2.88) г, С ~*~Г ' ~1 !лГ 2м г г, г, Испол ьзуя Однородную координату т> на сегменте (оис. 2.1П получаем р ' )> 1 1 (э> (э> См = 2 ) 1п — ((Г = ) 1и — ((Г.
(2,9(>) (и (е> водя новые к(юрдинаты г = т> ! г,~, где ) >, ~ = ~ г,), находим (т> Г о„=- 1 и а= ~ о ~!„ ч (о> е Задачи теории потеициили 8! Г иг 4 -1 Точка!!) (2.99) (2.100) (2.102) (2.95) (2.96) Учитывая, что последний интеграл равен 1, имеем С„= 1! г,1()п ! + 1). (2.92) Прежде чем закончить этот раздел, отметим, что столь же несложно получить соотношение и для других типов граничных условий, которые часто появляются в практических задачах, например для условия типа Робина.
Рнс. 2.11. Геометрия постоянного элемента. Условие типа Робина представляет собой линейную комбинацию потенциала и его производной по нормали, заданной в точках, принадлежащих границе Г: си+ !'д = т(, (2.93) где с(, е и 1 — функции положения точки. Отметим, что условие (2.93) включает в себя все упоминающиеся ранее условия, поскольку при 1 = 0 получаем условие Дирихле, при е = 0 имеем условие Неймана.
К более общему случаю, когда е Ф 0 и 7 ~ О, можно отнести граничное условие импедансного типа в задачах электромагнетизма, граничное условие конвективного типа для задач теплопроводности и т. п. Если условие записать для всех узловых точек, то получим Ц=Р— ИИ, (2.94) где вектор Р и диагональная матрица И содержат в каждом граничном узле величины соответственно т(11 и е(). Подставляя условие (2.94) в уравнение (2.81), получим систему уравнений (Н + СЕ) (7 = СР или в более простой форме АУ= )о. Решив систему уравнений (2.96), с помощью условий (2.93) можно найти значения на границе производной потенциала по нормали. 2.6.1. Формулировки задач, учитывающие источники Формулировки задач, учитывающие источники, также можно записать в матричной форме, начав с выражений (2.51) и (2.52): и» вЂ” — ~ои'!(Г, д! = — — о, + 1 одеЫГ.
(2.97) 1 г г Еще раз воспользуемся фундаментальными решениями'(2.74) н (2.75). Разбивая границу на элементы, получаем л !т 1 \ч и, = ~~„атСэл д! = — — а, + ~ отНм. (2.98) 1=! 1 Различие между данной и прямой формулировками состоит в том, что матрицы С и Н здесь оказываются не связанными и что диагональные элементы в матрице Н равны Нп —— Ни — 1/2 вместо прежней формулы Ни + 1/2. При использовании обозначения (2.99) выражение (2.98) принимает вид и! — — Х о!См, д! = ~~ ~атН».
1=! ! ! Теперь выражение (2.!00) можно записать для всех принадлежащих границе точек, задав условие и, = й, в Мт точках на участке Г, границы, (2.101) д! = д! в Мэ точках на участке Гя границы. Окончательно система уравнений принимает вид Ао=Р, где неизвестные, входящие в вектор о, являются интенсивностями источников. Пример 2.1. Этот пример позволяет оценить точность постоянных элементов при решении следующей задачи Дирихле: найти распределение температуры для случая, когда на двух конфокальных эллипсах заданы температуры и, и и,„,„соответственно на внутреннем и внешнем эллипсах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
