Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Задачи амории лоимициала 82 Глава 2 юо (а) ОО 60 ввш тввш т вне 20 2О -„ 10 два 1 ди ! да и — — — — 0 (а) дгв + г дг + гв двв Взяв полуоси эллипсов равными (22)- а =ос)гуэюв, Ь, 6 аз)!увюи, а = с с)г у „Ь, = с з)! увв где с — постоянная, 0< у,, < у„< оо, точное решение за- дачи можно записать в виде о 10 го 00 40 число элементов Рнс. 2.12. Сходимость решений, определяющих распределение температуры (пример 2.1); ип, — приближенные результаты, полученные методом граничных элементов, ит — точное решение, полученное аналитически. На рнс.
2.12 представлена относительная погрешность найденного распределения температуры по линии х, = О, х, = = с з)! ((у,в, + у„)/2) для двух различных вариантов дискретного представления и нескольких значений отношения а/Ь для эллипсов. Полагая, что значение постоянной с равно единице, получим, что нижняя кривая на рис. 2.12 соответствует эллипсам с отношениями (а/Ь,„,) = 1,313 и (а/Ь, ) = 1,037, тогда как верхняя кривая соответствует (а/Ь),„, = 10,033 и (а/Ь), = 5,066. Во втором случае внутренний эллипс является намного более вытянутым, чем внешний, поскольку их большие оси почти совпадают по длине. С помощью рис.
2.12 можно также оценить сходимость приближенного решения. На рис. 2,13 показано распределение нормальных к внешней границе потоков вдоль внешней поверхности при использовании наиболее благоприятного способа дискретного представления. В силу симметрии задачи необходимо исследовать только четверть области. Симметрия принимается во внимание при реализации процесса прямой конденсации с интегрированием по симметрично рас- 0 ОД ОД 0,6 0,6 1,0 л,/ а,„„ Рнс. 2.13. Распределение нормального потока вдоль внешней границы (пример 2.1).
Штриховые линии соответствуют аналитическому решению, точки — решению методом постоянных граничных элементов. положенным элементам, поэтому здесь не требуется использовать дискретное представление для осей симметрии (41). Пример 2.2. Распределение температуры на бесконечно длинном круговом цилиндре радиуса )с имеет вид, показанный на рис. 2.14.
Требуется найти поле установившейся температуры цилиндра. Задачу можно описать уравнением т. е. уравнением Лапласа в полярной системе координат. Отметим, что здесь имеет место разрыв в распределении темпе- Рис. 2. !4, Геометрия бесконечно длинного кругового цилиндра с заданным распределением температуры по поверхности (пример 2.2) си„оао аи ися, 01= (О, и,са < Задачи тгорнгв потенциала Глава 2 /Б О О 15' БО' 48' БО' 75' БО' а Решевне не методу грвннчнмв внемвнгев Анввнтнческее решение Номер гочки 24 внементв 48 внеменгав 0,500 0,799 0,776 0,689 0,500 0,311 0,224 0,201 0,500 0,796 0,774 0,688 0,500 0,312 0,226 0,204 0,500 0,795 0,773 0,687 0,500 0,313 0,227 0,205 Рис.
2 15. Расположение вну- Рис. 2.16. Распределение радиальных потренних точек. токов. ратур в точках (14, 0) и (И, и). Аналогичное решение можно получить с помощью ряда Фурье [23): — = — + 2 ~) — ( — ', ) з1п пй, и = 1, 3, 5.... (б) н=1 Результаты, полученные с помощью постоянных элементов для некоторых внутренних точек (рнс.
2.15), сопоставлены в табл. 2.1 для двух способов дискретного представления при пе = )с = 1. Видно, что соответствие полученных результатов очень хорошее даже при грубом способе дискретного представления. Поскольку аналитическое решение ищется в виде ряда по синусам, на его основе нельзя определить распределение потоков. Радиальные потоки имеют сингулярность, как это показано на рис. 2.15, где представлено распределение потоков на границе. Численные Таблица 2.1. Зиачеинк температуры во внутренних точках (пример 2.2) Рис, 2.17.
Результаты численного решении для радиальных потоков. результаты, полученные при обоих способах дискретного представления, также указывают на наличие этой сиигулярности (рис. 2.17). Пример 2.3. В этом примере рассматривается бетонный блок прямоугольного поперечного сечения, где часть граничной поверхности находится в условиях воздействия внутренней среды, часть подвергается воздействию внешней окружающей среды, а остальная часть находится в контакте со стеной, разделяющей эти области. Граничные условия в этой задаче относятся к конвективному типу: 47 + Ьи = Ьи,нр, где Ь вЂ” коэффициент теплопередачи, и,нр — температура окружающей среды. Температура и коэффициент теплопроводности на внутренней поверхности (х, =- 0) равны соответственно 100 и 0,5 (все величины безразмерные), на внешней поверхности (х, = — 1) — соответственно 0 и 5,0.
Значения температуры и коэффициента теплопроводности на поверхностях хе = ~а представлены на рис. 2.18. Отметим, что теплопроводность полагалась равной Ь = 1, Результаты, полученные для трех различных положений разделяющей стены, представлены на рис. 2.!9, где сопоставляются данные, полученные методом конечных элементов [24), и аналитическое решение [25) для среднего (по толщине поперечного сечения) значения температуры.
Исследование методом граничных г г 87 Задачи теории потенциала Л Б,О "г 2!хи = Ь в области Й, (2.103) 88 Ь (х) ио ($, х) гй (х), (2.104) 80 70 ЗО 20 = )1 д (х) и' (Б, х) г(Г (х), (2.106,' Рис. 2.!8. Геометрия, способ дискретного представления гранины и граничные условия для прямоугольного бетонного блока. 0 6 12 !8 24 80 26 к, Рис. 2.!9, Распределение температуры и бетонном блоке для трех различных положений ратделякядей стены.
Ф элементов было проведено путем разбиения половины стержня на 20 постоянных элементов (см. Рис. 2.18) с учетом симметрии относительно оси х„ тогда как в методе конечных элементов потребовалось 252 четырехугольных элемента. 2.7. Уравнение Пуассона Предположим, что внутри области И помещен источник, например внутренний тепловой источник в задачах теплопроводности, тогда разрешающее уравнение задачи принимает вид уравнения Пуассона где Ь вЂ” известная функция координат. Граничные задачи для уравнения Пуассона можно свести к аналогичным задачам для уравнения Лапласа, если нз общего решения вычесть частное решение, не зависящее от граничных условий [16, 161.
Для некоторых частных задач может оказаться, что функция Ь задана только в отдельных точках, и тогда отыскание частного решения задачи окажется трудным делом. В этих случаях к левой части выражения (2.69) следует прибавить слагаемое содержащее объемный интеграл от функции Ь. Это интегральное выражение можно преобразовать, разбив область на ряд ячеек, для которых применяется формула численного интегрирования. Введение указанного выше интеграла может быть оправдано, если в соотношении (2.60) использовать вместо уравнения Лапласа уравнение (2.103). Тогда в соответствии с методом взвешенных не- вязок получим 2[ [2!яи(х) — Ь(х)) и'(6, х) к(П(х) = ~ [(г(х) — д(х)) иеф, х) г[Г(х)— а г, — ~ [и (х) — й (х)) де (й, х) к[Г (х).
(2, 105) Дважды выполнив в этом соотношении интегрирование по частям и вычислив интегралы по границе, найдем с(Б) и(6)+ ~ п(х)ди(Б, х)!(Г(х)+ ~ Ь(х) иа(Б, х)кЯ(х) = г и Теперь для вычисления интеграла (2.104) можно воспользоваться р численным интегрированием по ячейкам или участкам (рис.
2.20). Для численного интегрирования можно записать / к в,-(ь но=2(2 .гь и/л., гльог! и гул где игл — веса, функцию Ьи* следует задавать в К точках интегри рования, /1/, — число ячеек, на которые была разбита область О. А, — площадь каждой из иих, В; определено для каждого значения фундаментального решения, заданного в о-м узле. ио ячеел, лольоуемьл ля чиоленноо интегрирования яе л! Рнс. 2.ля!. Граничные элементы н внутренние ячеянн. Полную систему уравнений для /1/ узлов можно представить в матричной форме в+ в/= оа. (2.108) Отметим, что иа границе известны Лгл значений и и /ь/я значений г/.
Тогда уравнение (2.108) можно преобразовать, с тем чтобы понизить его порядок, перенося все неизвестные величины в левую часть: А)л=еч, (2,109) где г — вектор, компонентами которого являются неизвестные значения функций и и л/. После того как будут найдены значения функций и и г/ на всей границе, можно вычислить и в произвольной внутренней точке с помощью выражения и, = ~' 6ь/е// — ~~~ Йети/ — ВР (2.110) / ! / 1 Задачи теории потенциала Другой путь учета внутренних источников при формулировке задачи состоит в преобразовании интеграла (2 104) в эквивалентные граничные интегралы в тех случаях, когда функция Ь является гармонической в области Я, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
