Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 18
Текст из файла (страница 18)
2.37). Записав фундаментальное решение для трехмерного случая в цилиндрической системе координат и* ($, х) = 1!г ($, х) = [ ЯЯ Я) + Яа (х) — 2Я ($) Я (х) Х Х соз [О Я) — О (х) ) + [3 ($) — Е (х) !'[-ОЯ, (2.156) решение для осесимметричного случая можно представить в виде эллиптического интеграла первого рода К (еп): йе $, х) = ) ие (й, х) с(О (х) = „„(2.157) (а+ а!"* Диапазон изменения параметра т составляет 0 - еп ~ 1.
В отличие от двух- и трехмерных случаев фундаментальное решение для осеспмметрпчной задачи нельзя записать просто как функцию расстояния между двумя точками, поскольку оно зависит также от расстояния между точкой и осью вращения. Производная фундаментального решения по нормали к граничному контуру Г имеет вид -~(ь ) 4 [ 1 ! й'%! — й'1~!+ [2($! — 3(Я!!* Е( (д+ Ь!1/Я 128 (я! ! а — Ь вЂ” К (т) ~ пл (х) + Ц "! Е (пе) пх (х)~, (2.159) где Е (т) — эллиптический интеграл второго рода.
Из выражений (2.157) можно видеть, что при [с Я) -э. 0 имеем еп-ь О, К (т) — ь и/2, Е (ят) — п/2, откуда следует, что распределенный по кольцу источник стремится к точечному источнику с интенсивностью 2п, расположенному на оси вра1цения. Подставляя выражения (2.157) и (2.159) в уравнение (2.154), получим граничное интегральное уравнение вида с (5) и (5) + )! и,'(х) д' ($, х) )с (х) НГ (х) = ~ с) (х) и* (с, х) Я (х) с(Г (х).
г г (2.160) Решение уравнения (2.160) можно попытаться получить, воспользовавшись теми же основными расчетными схемами, что рассматривались в разд. 2.6 для двумерных задач. Для удобства проведения численных расчетов эллиптические интегралы можно представить в виде разложения по полиномам [35 [. В результате дискретного представления уравнения (2.160) н суммирования вклада от всех граничных элементов получается система уравнений в форме (2.8!). Матрицы Нет и 60 (! ~ !) этой системы определяются численно с помощью стандартной квадратурной схемы Гаусса с четырьмя точками интегрирования.
Однако диагональные члены Ин и 6п являются результатом вычислений сингулярных интегралов, где стандартные квадратурные схемы применять невозможно. Для того чтобы облегчить вычисления этих интегралов, фундаментальное решение и его производную можно записать в виде функции Лежандра второго рода: й'К, х) = 8п'Я 1уя (ууЬ17т, (2.161) Зп' (Г Ю пя(У! га(Р! — йе(л!+13 !Р! — 3(л!Р о (л! ЬЬЯ !( 2 Ь Х х ~-ьа (у!1п„(х)+ "" ""! ~0-и'(~),(ф (2.162) Задачи теории аотсициапа Гааза 2 где и а и т О 5 Г р 151 14 (л) 1ьа (2.! 66) а х в ч Ю. р = 1-+ (а — Ь)!2, 1 а у ~ оо.
(2.163) В такой форме фундаментальное решение было дано Сноу [36). Для малых значений параметра у функции Лежандра можно представить в виде [37 ): Подстановка представлений (2.164) и (2.165) в выражения (2.161) н (2.!62) позволяет облегчить вычисление сингулярных интегралов. Формулы, полученные при аналитическом интегрировании, приведены в работе [36 [. Отметим, что для элементов, расположенных вблизи оси вращения (т.
е, при малых расстояниях Я (9)), не всегда оказывается возможным аналитическое интегрирование по всему элементу так, как это было описано, поскольку значение параметра у будет велико для точек, удаленных от точек с сингулярностями, поэтому представления (2.164) и (2.165) уже не будут справедливы для этих точек. Таким образом, удобной для таких случаев схемой является та, в которой для коротких элементов, расположенных вблизи сингулярности, интегрирование выполняется аналитически, а для остальных элементов проводится такое численное интегрирование с использованием стандартной квадратурной схемы Гаусса, как если бы эти части были отдельными элементами.
Прн реализации численных процессов можно взять длину 7 аналитически интегрируемой части элемента, удовлетворяющую усло- вию где ! — полная длина элемента, Я (х) — расстояние от ближайшей точки этой части до оси вращения. Прнмер 2.14. Задача о расположенной в бесконечной среде сферической полости единичного радиуса, рассматривавшаяся с помощью трехмерных элементов в примере 2.13, здесь будет рассматриваться с помощью осесимметричных постоянных элементов, с тем чтобы сравнить оба типа аппроксимаций. В табл. 2.9 представлены результаты расчетов, проведенных двумя различными способами дискретного представления (с учетом симметрии задачи) половины контура образующей сферы.
Это обеспечило более адекватное геометрическое представление поверхности полости, что отразилось в улучшении получаемых результатов. Пример 2.15. Более важное практическое применение имеет исследование прототипа оболочки ядерного реактора в виде тол- Рис. 2.38. Схема разбиеииа иа коиечиые элементы и изотермы. Рис. 2.39. Схема разбиеиии иа граиичиые элементы и изотермы, 1! б 117 Глава 2 Задачи теории потенциала Таблица 2.9.
Температура в точках, приивдлежао!их бесконечной области Решение но методу граничных нлемеитон Точное решение 1,0 1,5 2,0 3,0 6,0 !0,0 100,0 1000,0 9,961 6,539 4,904 3,269 1,635 0,981 0,098 0,010 9,99! 6,634 4,976 3,317 1,659 0,995 0,100 0,010 10,000 6,667 5,009 З,ЗЗЗ 1,667 1,000 О,! 00 0,010 2.14. Осесимметричные задачи с произвольными граничными условиями Если осесимметричное тело имеет граничные условия произвольного вида (неосесимметричные), то оказывается невозможным использовать уравнение (2.164), поскольку функции и и е/ здесь зависят также и от угловой переменной.
Тем не менее для подобных задач разрешающие соотношения можно получить, воспользовавшись соответствующим разложением неизвестных функций в ряды Фурье, в результате чего получается последовательность несвязанных и не зависящих от угловых переменных двумерных задач [42]. В этом разделе будет обсуждаться (следуя работе [43]) последовательность процедур, необходимых для решения такого рода задач методом граничных элементов. Заметим, что процедура решения полученной для каждого элемента последовательности двумерных уравнений предполагает возможность дальнейшего понижения размерности, поскольку граничные задачи для осесимметричных тел с произвольными граничными условиями сводятся к последовательности одномерных задач, где требуется только интегрирование по линии.
стостенного сосуда; на внутренней поверхности которого задана высокая температура. Эта задача решалась с помощью 96 треугольных конечных элементов в работе [40], и результаты вместе со схемой разбиения на конечные элементы показаны на рис. 2,38 На рис. 2.39 приводятся результаты, полученные при разбиении границы на 31 постоянный граничный элемент и учете симметрии относительно оси вращения Я; видно хорошее соответствие с решением, полученным методом конечных элементов.
О„"'(й, х)= ~ о'(й, х, О)созлйс(О, -и 0„*(й, х) = 1 в ($, х, О)з$плО!(О, О = О(х) — О(В). (2.173) (2.174) Начнем с напоминания того, что исходное интегральное соот» ношение (2.68) метода граничных элементов для трехмерных задач теории потенциала имеет вид и ($) = (1/4л) ~ [е/(х) ил($, х) — и (х)г/е(9, х)] !(Г(х), (2.167» г где и* (9, х) = 1/г (9, х). С учетом того что граница Г является осесимметричной, функции, стоящие в соотношении (2.167), можне разложить в ряды Фурье ео О(х) = ~ [е'„(х)созлО(х)+в*„(х)в!плО(х)], (2.168) л о ео р*($, х) = Е [р (Е, х)созло(х)+в„"%, Х)вшлО(х)], (2.169) л=о где вместо в следует подставлять либо и, либо йл величина х означает совокупность переменных /7 (х) и 2 (х), так что рл (х) га рл [14 (х), 2(х)]. (2.170) Коэффициенты для заданной функции р (2.168) находятся обычным приемом как коэффициенты Фурье, тогда как для неизвестной функции р коэффициенты рл являются решением последовательности одномерных граничных интегральных уравнений.
Формулы для вычисления коэффициентов, входящих, например, в представление для функции р*, определяются выражениями (2.173) и (2.!74). Используя выражение (2.166) для элемента границы с(Г (х) и принимая во внимание ортогональность тригонометрических функций [43], можно получить следующие интегральные уравнения для коэффициентов разложения Фурье: е 1 " 4) = 4„) [О'.(х)и '(9, х)+д.'(х)и'($, х)— г — и'„(х) еу„" ($, х) — и„' (х) и„" ($, х)1/с (х) с(Г (х); (2.171» й ($) = 4 ~ [е/„(х) и„($, х) — е)„(х) и„(й, х)— г — и„*(х)д„"($, х)+и'„(х)д„'*($, х)1Я(х)бГ(х), (2.172) где 3адачи веории потинциала Глава 2 1!8 Интегралы по угловой координате (2.
(73) и (2.174) можно без особого труда записать через эллиптические интегралы первого и второго рода. Однако получающиеся в результате криволинейные интегралы (2.171) и (2.172) можно вычислить лишь численно Численное решение последовательности граничных интегральных уравнений, получающихся при вычислении интегралов (2.171) и (2.172) вдоль границы, обсуждается в работе 144), где представлены некоторые результаты подобных расчетов. Отметим, что слагаемое с а = О соответствует случаю осесимметричных граничных условий, рассмотренному в предыдущем разделе. Распространение изложенных выше соображений на исследование задач теории упругости кратко рассматривается в разд.
5.15, где дан перечень соответствующей литературы. Некоторые более специальные задачи для осесимметричных тел с произвольными граничными условиями исследуются в разд. 9.3 и 12.4. 2. 15. Материалы с нелинейным поведением и нелинейные граничные условия Во многих важных для практики задачах теории потенциалов проводимость является функцией потенциала, т. е.
й = й (и). В этом случае разрешающее уравнение принимает вид — (й ~ ) +- — (й — ) + — (й — ) + Ь = О, (2.175) где слагаемое Ь обусловлено наличием источника. Граничные условия для этого уравнения таковы: и = й иа участке Г, границы, (2.178) !/ = йди/дп = д на участке Г, границы. На части границы могут быть заданы условия коивективного типа, рассматривавшиеся в равд. 2.3, а именно д = й (и/ — и) иа участке Г, границы, (2. 177) где и/ — потенциал или температура окружающей среды, й— некий коэффициент (например, коэффициент теплопередачи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
