Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Значения функций и и 4) в произвольной точке элемента можно выразить через их значения в узлах с помощью двух линейных иитерполирующих функций ф, и фе однородной координаты Ч; («1) и (Ч) = ф)ил+ 4р,и, = (флфл) 1 ~ = ф'и", (ие ~ (ф1) /(Ч) = ф () + ф ф = (фгф ) 1 ) =- ф'Ч" 1ь) Безразмерная координата Ч равна х/(1/2), а функции ф, и ф, равны Р1 = '/е (1 — Ч), Ре = '/е (1+ Ч). (3.3) Интегралы по длине /сто сегмента, стоящие в левой части уравнения (3.1), можно записать таким образом: 144'юл= 1!4,414'юл( )лл)444)( ), 434) Г1 й)/ = ~ ф,д' (Г, й' = ~ ф,ф' /Г.
г г Здесь /)4/ — коэффициенты влияния, характеризующие связь и между рассматриваемой точкой 1 и узлом й на элементе /'. Для интегралов, стоящих в правой части уравнения (3.1), можно записать /ю'юг=)!44! 'юг(4')=)л)и)41('). )лл! а)1,= ~ф)п )Г, ац= ~ф,'ИГ. Г1 Г1 Для того чтобы написать в дискретной форме уравнение, соответствующее 1-му узлу, необходимо добавить слагаемое, учитывающее вилад двух соседних (/ — 1)-го и /-го элементов и определяющее величину узлового коэффициента. В результате получим урав- нение где каждая компонента Нц равна сумме компоненты /)е (/ — 1)-го элемента и иомпонеиты /)1 /-го элемента, если используется нумерация в направлении против часовой стрелки, То же делается и с компонентами матрицы бц. Поэтому уравнение (3.6) представляет собой результирующее уравнение для 1-го узла и его можно записать так мли в более простом виде Л4 Ф ~~ Н!1«1 — ~~ ~бцд„ 1=1 ) 1 Нц = Нц при 1Ф/; Й~ц+с! при 4 = /.
127 Интериолирующие Фунлц ии Глава д 126 При рассмотрении всех узлов, из уравнений вида (3.8) получаем систему Ф х Н уравнений, поторые можно представить в матричной форме НУ= 6Ц. (3.9) Если в точке ! поверхность оказывается негладкой, то равенство с, = 112 уже не будет справедливым, и здесь диагональные члены матрицы Н надо вычислять, используя то обстоятельство, что на всем теле задается постоянный потенциал и поток е1 должен быть равен нулю.
При этом условии уравнение (3.9) для замкнутой области принимает вид Н1 = О. (3.10) Из уравнения (3.10) следует, что сумма всех элементов строки матрицы Н должна быть равна нулю. Отсюда можно без трудэ определить диагональные элементы, если известны все внеднагональные элементы: Н„= — ~' Ннь ' = 1 2 Н (3.11) ! 1;! Диагональные элементы матрицы Н в случае бесконечных.
областей также можно определять из условия (3,10), но при этом требуется соблюдать осторожность, поскольку на бесконечности нарушаются условия регулярности (равд. 2.10), так как функция и теперь полагается постоянной всюду в области Я. Поскольку, как легко показать, для двумерных и трехмерных задач справедливо равенство 1ип ~ две(Г= — 1, (3.12» л г граница Г определяется так, как это сделано в разд. 2.10„и вместо уравнения (3.11) получаем следующее соотношение: Нп= — ~ НО+1, 1=1,2,..., У.
(3.13» е=! ен! Компоненты 6м матрицы для линейных элементов можно определить аналитически: ! ! 6 - — — ~ (1п (1 + 21)в(Ч + — 1 (1п „) ) х — ! — ! Х (1 — Ч1в(2) 2 ~ 2 1п1! 2~+ 2 ~ 2 1п1!1е (3.14) где 12, и 1, — длины двух элементов, сходящихся в узле !. Используя заданные в задаче граничные условия, уравнение (3.9) можно переписать таким образом, чтобы в результате получилась система Аг =Р, (3.15) где А — полностью заполненная матрица порядка У, г' — вектор, компонентами которого являются все неизвестные значения на границе. Отметим, что, когда компоненты Ны (! ~ 1) и 66 вычислены, их легко просуммировать и получить матрицу А непосредственно, не прибегая к уравнению (3.9). Пример 3.1. Течения в озерах и других водоемах можно описать приближенно, если наложить условие на начальную величину циркуляции, которое загем можно проверить, решив полные уравнения для мелкой воды.
Это течение описывается линеаризованными уравнениями, получающимися при отбрасывании инерционных слагаемых в уравнениях моментов 111: — Ьр1дь + руН вЂ” + т! — т! =О, д21 ! ЫЧь+ рЮН д," +т2 — ть ='.О. (а) и условием неразрывности течения — + — )=о, дд! даль (д«! д«21 еб) (в) Предполагая, что касательные напряжения ть линейно зависят с!т компонент средней скорости ь ь т! = Я! ч2 = 7!12е (г) где 1 — паРаметР КоРиолиса; д, и !12 — пРоинтегРиРованные по вертикали компоненты скорости в направлении осей соответственно х, и х,; р — плотность; д — ускорение силы тяжести; Н = Ь + Ч вЂ” полная глубина воды; Ь вЂ” глубина относительно среднего уровня воды; Ч вЂ” высота подъема свободной поверхности воды: т' — касательные напряжения, создаваемые ветром; ть — касательные напряжения, возникающие за счет трения о дно водоема.
Если подъем 2) намного меньше глубины Ь, то можно положить Н вЂ” Ь и система уравнений (а) принимает вид р1Ч2+ра д + ! — т! =О> д21 ь «! Ьр11Ь+рйЬ д„" +т2 — т2=0. дч ь 129 Интерлолирующие фцнкцаи Глава в 128 (д) (е) где можно продифференцировать первое нз уравнений системы (в) по хю а второе по х, и вычесть из первого уравнения второе. Полагая.
что производные й пренебрежимо малы (т. е. мал угол наклона дна), с учетом условия неразрывности получаем следующее уравнение: Е.ли функцию тока зр взять такой, что выполняются равенства д, = дтР/дх„ пй = дф/дх„ уравнение (д) примет вид 1/атР = (1/у) 2р (х„х,), где ах~1 атз ш (х„х,)= — — —. дхт дхт ' Отметим, что здесь сохранен параметр Корнолиса, но он пола- гается постоянным для всего объема воды, т. е. озеро полагается достаточно малым, чтобы пренебречь локальными изменениями сил Кориолиса. Если взять Х, = хт/Ь, Х, = ха/Ь, св (х„х,) йу(Х2 Ха) т ( г Чт 2 1(2 2 ! (/е(2Н ) Ь где Ь вЂ” характерная длина озера, Т вЂ” характерное ветровое напряжение, з — коэффициент вихревой вязкости, то уравнение (е) можно записать в безразмерной форме: РЧ' = — „Фг(Хм Х ), ! (з) тЬ (/е(2) ~(2 ТН С помощью описанного здесь подхода была исследована циркуляция ветра над озером Патос (Бразилия) (рис.
3.2, а). В качестве первого примера численного исследования были получены линии токов для течений внутри и вне озера без учета влияния ветра при 'Р = 0 для западного берега и Ч' = 1 для восточного. Результаты представлены на рнс. 3.2, б. В этом случае разрешающим уравнением было уравнение Лапласа. Если последовательно положить правую часть уравнения (з) равной 1, Хт и Х„ то, используя принцип наложения трех Рпс 3 2 Озеро Патос. а — геометрия; б — лянка токе пря потеяцяельяон теяеяяят е — уроаяа осредяеяямх цяряуляцнй атноорерннх потакая пря лянейяом аанояе респределеяяя напряьтеппй; в — уроеап осредненяма цяркулацнй атносферямк потакая пра каадратяяяом аакопе распредтленяя папряпеннй.
различных решений, можно получить решение уравнений типа ряЧг = А + ВХ, + СХ„ где правая часть соответствует квадратичному закону распределе- ния напряжений, обусловленных ветром. На рис. 3.2, в пред- ставлены результаты, соответствующие линейному закону рас- пределения напряжений от ветра (А = 1, В = С = 0), а на рис. 3.2, г — результаты для квадратичного закона распределе- ния напряжений от ветра (А = 1, В = — 3, С = 0), Все упомя- нутые выше результаты были получены путем дискретного пред- ставления границы озера с помощью 93 линейных элементов и выделения частного решения уравнения (з). Пример 3.2.
С помощью линейных элементов была исследо- вана также задача, показанная на рис. З.З, т. е. двумерная за- дача течения подземных вод вокруг туннеля с проницаемой гра- ницей. Если среда однородна и изотропна, то задача сводится к уравнению Лапласа для давления и подземных вод. Граничные условия в задаче таковы: и = б( на границе Г, и = 0 на участке Г, границы, д = — соз 6 на участке Г, границы, О ареббня К.
я др. Инглвргголаруннцш функции 131 Глава г 130 1' дз = 0 иа участке Г, границы; Метод граничных элементе» Г, Рнс. 3.3. К задаче о течении надземных вод вокруг туннеля, где с( — глубина реки, 0 — угол, измеряемый от вертикали (рис. 3.3). По предположению поверхность Г, является свободно проницаемой частью поверхности туннеля, поверхность Гз представляет собою непроницаемую часть поверхности туннеля, на которой задается условие отсутствия протекания. Отметим, что для точки на бесконечности выполняется условие и = г( — х,. Задачу можно переформулировать, выделив решение на бесконечности. Давление подземных вод разобьем на две части: и = и, + и„ (б) где решение и, = в( — х, удовлетворяет условию на бесконечности.
Отсюда следует, что решение и, стремится к нулю на бесконечности и, кРоме того, Рзиз = О. Таким обРазом, задача сводитсЯ к нахождению функции и,. Граничными условиями для решения и будут из = 0 на границе Г; из = — в( + а — г, соз 0 на участке Г, границы; (в) где г, — радиус туннеля, а — расстояние от центра туннеля до дна реки. Численные результаты были получены для значений параметров с( =- 60, а = 30, г, =- 3,5 и 0 = Зп/4. При решении методом граничных элементов используется фундаментальное решение для полубесконечной области, рассмотренное в разд, 2.11, поэтому здесь не требуется представлять в дискетной форме границу Г. Более того, благодаря симметрии рассматриваемой в задаче области относительно оси х, требуется рассматривать лишь половину поверхности туннеля.
Полученные прп решении значения функции ие в некоторых граничных точках для трех различных способов дискретного представления с помощью линейных граничных элементов представ- Рнс. Зль Сетка конечных элементов в задаче о течении подземных вод вокруг туннеля. лены в табл. 3.1, где для сравнения приведены результаты решения методом конечных элементов (2), полученного при разбиении всей полубесконечной области на 152 треугольных конечных элемента и несколько бесконечных элементов (рис. ЗА). Расхождение между обоими решениями обусловлено использованием грубой Таблица ЗИ. Распределение значений функции — а, на поверхности туннеля Гнала 3 132 Интерд(олирующас (7(рнкцаи 133 «, (3.16) Решение по мето- ду граничныи аламаитоа Аналитическое решение 0,781 0,585 0,416 0,267 О, 130 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,781 0,585 0,4! 6 0,267 О,! 30 ) !6)-1-!«е)-) Решение по мста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
