Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Это свойство вытекает из применения обратной формулировки (равд. 1.7), при которой любая производная приближенного пред- а Рис. 3.29. Разрывные элементы: а — разрывный квадратичный элемент; о— разрывный кубический элемент. ставления функции легко преобразуется в весовую функцию. При этом возникают разрывы функции и на общей границе элементов, вследствие чего теряется строгое обоснование сходимости итерационных методов. В действительности же постоянный элемент, который можно рассматривать как подобласть (метод коллокаций с элементами), дает хорошие результаты для многих сложных задач и обычно используют именно его вместо более точных элементов.
Это свойство метода граничных элементов, допускающее использование разрывных функций, побудило Деисона (10) построить семейство элементов, для которых приближенное выражение функции задается с помощью полиномов Лагранжа и все узлы располагаются внутри элементов (рис. 3.29). Элементы могут быть изопараметрического типа, поскольку их геометрия определяется только координатами угловых точек (т. е. +1 или — 1). Эти элементы представляют интерес для задач, в которых рассматриваемые неизвестные (функции и или (7) терпят разрыв на границе между элементами.
Сходимость итерационных процедур для этих элементов оказывается во многих случаях более высокой, а дополнительным преимуществом этих элементов является то, что здесь можно легко сочетать элементы различных форм, поскольку не~требуется выполнять условие совместности между элементами, Пример 3.7, На рпс. 3.30 ш)казан полый пплпндр, па внешней н внутренней поверхностях которого заданы значения температуры, рассмотренный Денсоном (1О) с использованием разрывных квадратичных элементов.
На рис. 3 31 представлены четыре ва- 155 Иптперполирующие трупиции 59,0 й ЗЗ,О (3.61) !54 Глава 3 рианта дискретного представления для этого цилиндра,с помощью которых исследуется сходимость метода расчета. Форма элемента и изменение потенциала описывались с помощью полиномов Лагранжа(разд. 3.4), при этом все значения неизвестных узловых величин берутся внутри элемента, а не на границе. Вследствие симметрии необходимо использовать дискретное представление только для 1/8 части цилиндра и не требуется вводить элементы на плоскостях симметрии. Сходнмость решения можно видеть из рис. 3.32, где приведена зависимость найденных значений температуры во внутренней точке, расположенной на срединной поверхности (с радиусом ес = 66 мм), от числа 01,0 0 50 100 150 100 190 ЗОО 150 число степеней овозоли Рис.
3.32. Потенциал полого цилиндра при 1с = 55 мм, степеней свободы. Результаты, полученные для наиболее удобного варианта дискретного представления, прекрасно согласуются с точным решением (погрешность примерно равна 0,13 %). 3.7. Порядок интерполирующих функций Используя криволинейные элементы, следует иметь в виду, что выражение для функции и в криволинейных координатах должно представлять собой полный полипом от х„х, и хо. Таким образом, с помощью узловых значений потенциалов выражение и = 2~~ троне (3.6О) можно представить в форме и = ст + сохе + сзхз + свхв. Если узловые значения потенциалов представить в виде (3.61) и подставить в выражение (3.60), то найдем и хи сР» (ст + сохе + сзхз + сехз).
(3.62) Для того чтобы представление (3.61) можно было использовать на всем элементе, должны выполняться условия 2' ре = 1. (3.63) т и ~' х,срс = хе = ср х,, ~~ х~сре = хе = ер'х,", (3.64) хи хзсус = хз =еР хз. Условию (3.63) удовлетворяет любая интерполирующая функция, но соотношения (3.64) будут выполняться лишь в том случае, когда функция и имеет по крайней мере тот же порядок, что и функции х„х, и х,.
Отметим, что для граничных элементов используются те же ограничения, что и для конечных элементов. Глава 4 Задачи теории теплопроводиости 4.1, Введение В этой главе исследуется приложение метода граничных интегральных уравнений к уравнению теплопроводности 7и(х 1) — + (д )=0 хе а (4.1) с граничными условиями следующего типа: и (х, 1) = й (х, 1), х Е Г„ д (х, 1) = ди (х, $Удп (х) = д (х, 1), х Е Гз. (4.2) Коэффициент й в уравнении (4.1) может принимать различные значения в зависимости от рассматриваемой физической задачи н считается независимым как от координат, так и времени. Поскольку рассматриваемая задача зависит от времени, необходимо задать некоторые начальные условия в момент времени 1 = 1,: и (х, 1) = иа (х, 1о) х Е г1.
(4.3) Задаче, описываемой уравнением (4.1), граничными условиями (4.2) и начальным условием (4,3), можно придать форму интегрального уравнения относительно неизвестной функции и, и для выполнении этого преобразования могут быть использованы различ* ные приемы.
Один из них был предложен в 1970 г. Риццо и Шиппи (11, которые применили прямую формулировку метода граничных элементов в сочетании с преобразованием Лапласа к решению задач неустановившейся теплопроводности. В предположении, что все входящие в задачу функции допускают преобразование Лапласа, граничное интегральное уравнение записывалось и решалось в пространстве изображений для последовательности действительных положительных значений параметра преобразования. Затем применялась численная процедура обратного преобразования для нахождения значений неизвестных в действительном пространстве.
При использовании такого подхода временная зависимость задачи на какой-то период устранялась и вместо исходного уравнения параболического типа решалось более удобное уравнение в частных производных эллиптического типа. Баттерфилд и Томлин [2„ 31 применили непрямую формулировку (с использованием источника), рассмотрев среду с ортотроп- Зидичи тсораа >лсллолреюднос>па ными областями, встречающуюся в механике грунтов.
Решение для неустановившегося случая было получено распределением мгновенных источников в рассматриваемой области в начальный момент времени, с тем чтобы воспроизвести заданное начальное условие, н заданием на внешней и внутренних границах непрерывных функций источников, удовлетворяющих заданным условиям на внешней границе и на границах раздела, Чанг, Канг и Чен (41 использовали зависящие от времени фундаментальные решения в сочетании с прямым методом решения двумерных задач теплопроводности как в изотропной, так и в анизотропной средах, Дискретное представление граничного интегрального уравнения было выполнено с постоянными шагами по пространственным и временной координатам. Аналогичный подход к решению трехмерных задач использовал Шоу [51, который в основном рассмотрел аналитические, а не численные аспекты метода.
Этот прием обсуждался впоследствии Вроубелом и Бреббия (61, исследовавшими возможность включения в рассмотрение интерполирующих функций высокого порядка от пространственных и временной переменных и тем самым рассмотрения более важных с практической точки зрения задач. Они также исследовали численную процедуру для решения неустановившихся осесимметричных задач (71, где из-за сложности получения фундаментального решения потребовалось ввести разложение в ряды н аналитически вычислять интегралы по времени, входящие в граничное интегральное уравнение.
Иной подход, основанный на использовании комбинации методов граничных элементов и конечных разностей при решении не- стационарных задач, был предложен Бреббия и Уокером (81. Здесь производная по времени аппроксимировалась конечными разностями, и для нахождения зависимости решения от времени использовалась шаговая процедура конеяно-разностного типа. Все упомянутые выше численные схемы рассматриваются ниже, где также приведены основные процедуры для их численной реализации применительно к двумерным задачам. Хотя обсуждаются в основном задачи для конечной однородной изотропной среды, рассмотрены также задачи с внутренними источниками, кусочной неоднородностью среды, ортотропией и анизотропией, бесконечными или полубесконечными областями — все это делается точно так же, как и в гл. 2 для задач о потенциале.
Затем кратко обсуждаются трехмерные задачи и несколько более подробно описано приложение к асимметричным случаям. Зависящее от времени фундаментальное решение для осесимметричного случая получается непосредственно из решения для трехмерной задачи, и представлена процедура численного решения уравнения (4.1) для осесимметричной области. !58 Глава 4 Зпопчи тгоаан пиппмупна~1н<кип !зч 4.2. Преобразование Лапласа Введем следующее обозначение преобразования Лапласа для функции и (х, 1), для которой это преобразование допускается (см., например, книгу [91): Ь[и(х, 1)[= У(х, Х) = ~ и(х, 1)е — «44[1, о (4.4) = ~ [Я (х, Е) — Я (х, Х)) У* ($, х, Х) 4[Г (х)— — ~ [У (х, Х) — с/ (х, Л)) Я* $, х, Л)4[Г (х), (4.8) г1 где (1*$, х, )) = дУ'($, х, Х)/дп (х).
Интегрируя оператор Лапласа дважды по частям, получим ~(рУ а, х, )) — — '„' У (а, х,))1У(х,))да(х)+ + — ) и, (х, 1,) У* ($, х, Х) 4[0 (х) = а = — ~ Я (х, Х) У~ $, х, Х) 4[Г (х) + ) У (х, Х) Я' $, х, Х) 4[Г (х). (4.9) и предположим, что параметр преобразования Х вЂ” действительное положительное число. Интегрируя по частям, можно показать, что Ь [ди (х, !)/4[!) = ХУ («„Х) — и, (х, 1,).
(4.5) Уравнение (4.1) после выполнения преобразования принимает вид 74У (х, Х) — — У (х, Х) + — и, (х, !,) = О. (4.6) Граничные условия (4.2) также следует преобразовать в соответствии с формулой (4.4), полагая для простоты, что они не зависят от времени, и получая в результате У(х, Х) = У(х, Х) = и(х, !)/Х, х Е Г„ (4,7) (~(х, Х) = Я (х, Х) = д (х, !)/Х, х Е Г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
