Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Уравнение (2.175) нелинейное, поскольку й = й (и), и, для того чтобы решить его с помощью граничных элементов, необхо- димо выделить слагаемое, характеризующее источник и содержа- щее все нелинейности, н применить для нахождения решения рекуррентную процедуру того или иного вида.
Такие подходы применяются с использованием разбиения области на ячейки, как это сделано в разд. 2.7. Иной, более красивый и эффективный путь решения задачи состоит в использовании преобразования Кирхгофа, сводящего нелинейную задачу к линейной [45 — 47). (2.180) Граничные условия третьею типа имеют вид дф/да+ й(К ',(ф) — и/Д = О (2.185» и являются нелинейными, К ' — обратное преобразование Кирх- гофа (2.186» К ' (ф) = . В данном подходе вводится новая функция ф (и), градиент кото- рой имеет вид рф = (дф/дп) чи. (2.178) Сравнивая правые части уравнений (2,178) и (2.175), можно за- писать для функции ф йф/ди = й (и), (2.
179) или в интегральной форме ч ф = К (и) = )г й (и) ди. и~ Это выражение представляет собой преобразование Кнрхгофа„ где и, — произвольная исходная величина. Из соотношений (2.178) и (2.179) следует дф/дх, = й ди/дх,, 1 = 1, 2, 3. (2. 181)' Уравнение (2.175) теперь можно представить в виде 1~'ф + Ь = О. (2.182» Таким образом, уравнение (2.1?5) сведено к уравнению Пуассона для изотропной однородной среды, записанное относительно функ- ции !р..'ешеине для случая постоянной проводимости теперь можно получить, э~ ленив и иа ф.
Задачи будут оставаться линейными при условии, чае граничные условия являются либо существен- ными (иа учасэке Г,), либо естественными (на участке Г,). Если используются граничные условь смешанного типа, т. е. условия задаются иа участке границы Г, процедура преобразования Кирхгофа вводит нелинейность. Условия на участках Г, и Г, границы для уравнения (2.182» имеют вид ф = ф на участке Гт границы, дф/дп = д на участке Гз границы. Эти условия связаны с исходными соотношениями ф = ф = ~ й ди на участке Г, границы, дф/дц = йди/дп = 4 на участке Г, гранишя. (2.184» 120 Задачи лыарии лоотенииала Глава 2 120 г, (2.188) (2.189) а потенциал "принимает вид и = по + — ' 1п 4-,",-+ 1), (2.190) м ь0 0 -10 о 50 х 400 350 Л и С и Координата точки иа гранино 000 а в с и л коардииото тачки иа гроииие Рис.
2А!. Распределение температуры ио периметру в линейной задаче (() = = О). Рис. 2.42. Разность между температу- рами для нелинейной (() Ф О) и линей- ной (Р = О) задач. Преобразование исходных соотношений в граничное интегральное уравнение теперь уже не представляет особых трудностей. Результируьощее уравнение ие будет содержать интегралов по области, кроме тех, что обусловлены членом, содержащим источник Ь, и его можно записать в виде с($)ф(й)+ ~ ф(к)е)*(й, к)о(Г(к)+ ~ЙК '[ф(к)) х г,+г.+го ь х 'и, ьвгь*ь= ! еь*ь 'ьт, *ьвг[*ьч-)ьь*ь 'ьт, ьваь*ь.~ г,+г, + ) йи)ио ($, к) е(Г (к). (2.187) Это уравнение можно представить в дискретном виде обычным способом.
При наличии граничных условий смешанною типа система уравнений будет нелинейной и решать ее следует с помощью итераций. Ниже представлены различные зависимости проводимости от аотенциала, используемые в задачах электродинамики. 1. Элспоненциальная зависимость. В этом случае й = й, ехр (р (и + иауиа), где ие, р и й постоянные, характеризующие материал. Тогда ьполучаем и ф = ф = ~ йо ехр ~() — "„"'~ т(и = йо,йрь' ехр [() — ""' ~ — й~'ф, и, Отметим, что выражения (2.189) и (2.190) справедливы всегда, т. е.
при 5 ( О, Р ) О, и — ио ) О, и — иа ( О. 2. Стпепенная зависимость. Здесь используется следующее представление: = (!+~ — ",. )' (2.191) где и — заданное число. Применение преобразования .,'(2.180) в этом случае дает при этом потенциал,в произвольной кт ;=ма,-а) точке будет описываться функцией с г — — (2. 193) Е ви с Для случая линейной функции,т. е. и му при и = ! имеем д,, дк," к, (2 194) Рис.
2.40. Граничные условия ио (1, 28тР '11ьа ао и схема РазбиеииЯ гРанниы иы Па ь н 1 + й ) н ' алементы дди ивалратиой об- (2.195) Эти выражения справедливы при любых знаках Р и и — ио„ если выполняется условие я (и) ) О. Пример 2.16. Беляцки и Новак (46) исследовали двумерное стационарное температурное поле в квадратной области (рис. 2.40). Предполагалось, что коэффициент теплопроводностк зависит линейно от температуры, а именно а = "о (1 + Рм). где й, = 1. Задача решалась при различных значениях коэффициента р.
Границы к, = 0 и к, = 0 считались изолированными, на границе кт = 1 была задана температура и = 300 К, на границе к, = 1 предполагалось, что происходит конвективный тепло- обмен с жидкостью, температура которой равна и) — — 500 К. Коэффициент теплопередачи предполагался постоянный и равный 6 = 10 Вт/(мо.К). На рис. 2.41 и 2.42 представлено распределение температурьг по периметру квадрата для конкретных значений )). Погрешность 500 50 122 Гаева 2 4т. е. разность между значениями, полученными на двух последу- ющих шагах расчета! порядка величины 10 ' была достигнута ва 5 — 10 шагов. Глава 3 Интерполирующие функции 2.15.1. Нелинейные граничные условия Предположим, что нелинейность обусловлена тепловым излучением на участке Г, границы.
В этом случае условие (2.177) следует заменить на условие вида ч)=й(и~ — и) — пв(и' — ив) на участке Г, гранины, (2.196) 000 где а — постоянная Стефана— Больцмана, е — зависящая от температуры относительная излуча- 400 тельная способность между участка ком Г, границы н излучающей средой, температура которой равна 0 0 и а и„й — зависящий от температуры каораннвгв точки на гранкае коэффициент теплопередачи. хвнс. 2ЛЗ. Температура по нери- Введение в соответствии с меметру квадрата е нвауаеннем тепла тодом взвешенных невязок услопо краю ВС. вия (2.!96) в разрешающее уравне- ние приводит к появлению определяемого условием излучения нелинейного вклада в соответ<твующее уравнение от участка Ге границы. Пример 2.17.
Следующий пример с нелинейными граничными условиями также приведен в работе (46), где задача решалась с помощью итерационной процедуры. Была рассмотрена та же квадратная область, что и в примере 2.16, в предположении о постоянном значении коэффициента теплопроводности й, = 1 Вт((м К) и р =- О. На границе х, = 1 тепло передается за счет как конвективного теплообмена с жидкостью, имеющей температуру иг — — 500 К, так и за счет излучения поверхности с температурой и, = 500 К. Коэффициент тепло- передачи считался постоянным и равным й = 10 Вт/(ме К), относительная излучательная способность е = — 1, постоянная Стефана †Больцма равна и = 5,667.10 ' Вт((ме.
К). Остальные граничные условия были такими же, как и в предыдущем примере. Результаты расчетов, представленные на рис. 2.43, были получены методом Рунге — Кутта — Гилла четвертого порядка с автоматическим выбором шага. Отметим, что метод простых итераций в данной задаче не обеспечивал сходимости. 3.1. Введение В гл. 2 функции и и д полагались постоянными на каждоан из элементов. В общем случае, однако, фуннции и и д могут изменяться, например, по линейному или квадратичному закону. Кроме того, степени соответствующих полиномов не обязательно- должны быть одинаковыми: иногда может оказаться более удобным задать степень полинома для функции и на единицу меньшей, чем для функции д, поскольку д является производной потенциала. Обычно функции и и д проще задавать так, чтобы они имели одинаковую степень полинома, в противном случае вычис-- лительные процедуры становятся более сложными.
В данной главе сначала обсуждаются способы построения элементов с линейным изменением функций и и д (т. е. линейных элементов) применительно к двумерным задачам. Затем перейдем к элементам квадратичным и более высокого порядка, применяя их к двумерным задачам. Если рассматривается трехмерное тело, то граничные элементы составляют часть внешней поверхности тела и обычно бывают двух типов; четырехугольные и треугольные. Для того чтобы описать эти элементы, необходимо перейти от глобальной трехмерной системы координат к двумерной системе, связанной с поверхностью тела. В этой главе представлены различные типы элементов, а также соответствующие законы преобразования.
Здесь также обсуждаются трехмерные элементы в форме ячеек. напоминающие классические конечные элементы. Зтн элементы могут оказаться полезными для представления тех частей тела, где требуется интегрировать по объему тела (например„ для членов уравнений, обусловленных учетом различного вида. объемных сил). В заключение описывается методика использования разрывных элементов. Метод граничных элементов допускает использование элементов, для которых не требуется выполнять условие совместности для потенциалов. Простейшим из них является ранее рассмотренный постоянный элемент, полное же семейство разрывных граничных элементов описывается в данной.
главе. Иппллуполиууюл)ие 4/4унлц44« 124 !25 где с)и) + ~ и)1*4(Г = ~ 4/ие НГ г г где и1 июли у 4)=-1 Рис. 3.1. Лииейиый элемент с;и) + (Н„Н„...Нп,) — (б,„б„... б, ) (3.6) (3.2) с,и, + ~ Йцит — — ~~ бц4/1 1 1 (3.7) (3.8) где 3.2. Линейные элементы для двумерных задач Рассмотрим случай линейного изменения функций и и )1, причем узлы здесь будут располагаться на стыке двух прямолинейных элементов, аналогичных показанным на рис. 2.8, и.
Уравнение (2.69) теперь можно записать в виде млн в дисиретиой форме с,и, + ~ ~ и)/е 4(Г =,~, '~ 4/ие ЙГ. (3.1) 1=1 г /=1 Г Отметим, что коэффициент 1/2 при и) здесь заменен на неизвес)'- ный коэффициент с,. Так сделано потому, что иоэффициент се равен 1/2 лищь для гладкой границы, Определение иоэффициентов с! уже об. «юл«9 суждалось в равд. 2А, но, как будет помазано ниже, нет необходимости Я знать их явные выражения, чтоупрощает формулировку задачи. Интегралы в уравнении (3.1) теперь оказываются более трудными для вычислений, чем рассмотренные в равд. 2.6, поскольку функции и и 4/ изменяются линейно по длине элемента (рис. 3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
