Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Задавая на границе Г условие и = О, получим ЕУ (Б)и (Б Х) + О (Б ) ие ($ Х) = Рнс. 2.31. Геометрия полубеско- = О на границе Г. (2 14Ц печной области. Возьмем в качестве примера уравнение Лапласа для двумерной области, тогда из условия (2.141) следует равенство и Я) !п —, + и ($') ! и —,, = О, 1, ! (2.142) что дает и ($) — и ($'). (2.143) Отметим, что для точек х, лежащих на границе Г (рис.
2.31), имеем г =— г'. Поскольку по определению фундаментальное решение эквивалентно потенциалу поля, образованного единичными источниБсами, фундаментальное решение для полубесконечной области с равным нулю потенциалом на границе имеет вид (2.144) иа(О, х) = — 1п— 2п г Задачи теории потенциала Глава 2 106 Таблица 2,5 Рентенне но мета ду граничных оле- ненков Аналнтнчееное реглвнне или — о (й) (11г) + о (й') (1/г') = О, 1О 25 50 !00 0,810 1, 102 1,322 1,543 0,8! 0 1,102 1,322 1,543 (2.1462 0 (2.1472 2.12, Трехмерные задачи 1а с ер 18 Если граничное условие на границе Г собтветствует равенству нулю нормальной компоненты потока„ т.
е. о($)д*($, х)+о(й') «е($', х) = О, х ~ Г, (2.146) то в результате~~получаем н (й) ам о ($') и фундаментальным решением задачи будет функция и (й, х)1= — 1и (ГГ ), (2.148) Тем же способом можно получать фундаментальные решение н других задач для областей с параллельными границами, а также трехмерных задач. Пример 2.10. В этом примере рассматривается стационарная задача теплопереноса в полубесконечной среде, в которой расположены две параллельные цилиндрические полости равных диаметров (рис. 2.32).
Температура на границе Г равна нулю, температура на бесконечности также равна нулю, и на поверхностях цилиндрических полостей заданы постоянные температуры. Если глубина с( расположения цилиндрических полостей значительно превышает их радиус а, то эту задачу можно рассмотреть как приближенное представление имеющей большое практическое значение задачи о двух электрических кабелях с одинаковым напряжением, помещенных в грунт параллельно его поверхности. В данной же задаче интерес представляет олределение внешнего теплового сопротивления каждого кабеля. Тепловое сопротивление гл, отнесенное к единице расстояния между поверхностью Г с температурой с и поверхностью Г с нулевой температурой для среды„ имеющей теплопроводность й, равно о= —,1в !твг] '. ! г ! В табл.
2.6 представлены резуль- таты расчетов безразмерного пара- Рис. 2.32. К аадаче тсплопереноса в полубесконечиой области с двумя одинаковымга круговымии отверстиями. метра ЙЙ, полученные для нескольких значений отношения с(/а и единичного значения температуры с на поверхности цилиндрической полости. Были рассмотрены два случая, когда кабели соприкасаются (т. е.
Ь = О) и когда они расположены на расстоянии, равном их диаметру (Ь = а), Эти результаты были получены при разбиении поверхности одного из цилиндров на 32 элемента с учетом симметрии относительно оси х,. В таблице приведены также результаты приближенного аналитического решения [33), откуда видно хорошее соответствие обоих решений. Решение уравнения (2.69) для трехмерных задач можно попытаться получить, следуя по существу тем же путем, который обсуждался в разд. 2.4 для двумерных задач.
Границу Г, теперь уже двумерную поверхность, можно описать с помощью плоских нли криволинейных треугольников или четырехугольников (гл, 3), причем потенциалы и нормальные производные на этой границе можно считать кусочно-постоянными, линейными, квадратичными к т. и, Интерполирующие функции принимаются теми же самыми, что и используемые при исследовании двумерных задач методом конечных элементов. Ниже будут подробно описаны процедуры, необходимые для численных расчетов и использующие простые элементы, а именно плоские треугольные элементы с постоянными значениями потенциала и его нормальной производной. Результаты численных расчетов приводятся в колце данного раздела и показывают эффективность упомянутых процедур, Так же как и в двумерном случае, не представляет дополнительных трудностей распростра- Задачи амории погагнциаэа 109 Г аг 103 г[Г = [ У [с[!)! !)з)„(2.150) где якобиан [.г [ равен удвоенной площади треугольника (дальнейшие подробности приведены в гл.
3). Единичный нормальный вектор, необходимый для определения функции да, можно получить, рассмотрев векторное произведение векторов (2 — 1) и (3 — 1) (рис. 2.33). в уравнении (2.149) определяются ! 2 (!до] 2!*0 (3,1,3) Рнс. 2.33. Внутренние треугольные координаты. Интегральные слагаемые выражениями ! Г! — т!э [т'эг — !г~ [[ [ е'(ч!эъ~эч г! о о зг! — ч [гэг-~Л[[ [ "!ч!эъ~э .
г! о о (2.151) В тех случаях, когда г-й узел не принадлежит элементу с границей Гт, эти интегралы определяются численно по квадратурной схеме Хаммера [34!. Так, внедиагональные коэффициенты матриц гд и 6, входящих в уравнение (2.81), находятся в виде сумм к к А.и гга '-", гзь где А! и г(з! относятся к )-му элементу, причем А! — его площадь, !)з> — длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости нить подход на случай более высокого порядка ннтерполирующих функций (гл. 3). Функции и и !) полагаются постоянными внутри каждого элемента и равными их узловым значениям в центре тяжести элемента (рис.
2.33). Если границу Г разбить иа ) ячеек, уравнение (2.69) принимает форму и и чае г [ [т'эг[ э= 2;[ [ эг)тэ (з.!ээ! /=!(г! ! /=! [гу Преобразование глобальной декартовой системы координат элемента з(Г граничной поверхности к внутренней системе ко! (до!) д ординат в случае треугольного элемента приводит к выраже- нию Решекке по методу граккчкик элементов Акаакткческое ревекке элемента. Коэффициенты На/ равны 1/2 для постоянных элеи!ентов. Коэффициенты (/!/, содержащие интегрируемые сингулярностп, можно вычислить аналитически, перейдя к полярной системе координат (рис. 2.34) о, я,(о! о,+о.
я.(о! ан я.(о! аы=~ [ ЯбВ+ [ )' Я)В+ [ )' и [9. о о э, о в,+о, о Из этого выражения находим 3 гт(! ) 1 ! !2 Ив!+ аз),'2) 3 ( гез !я (азэ2) 1 )„гя 60,+аз)/2) гз! гп (гсз/2) + 1 ) !ь [(Оз+а!)/21 ~ гз, гд (сс,!2) Пример 2,11. Здесь мы впервые рассмотрим трехмерный случай, э«эт э ээ ° - ! — — ч — ! пературы в кубике с ребрами Рнс. 2.34. Геометрнческне предединичнои длины и с условиями ставленнн, используемые прн анатипа Дирихле (рис. 2.35) лнтнческом интегрированна. и=! при ха=+05; и=О при ха=~05; и=2 при х,= — 05; и=О при ха=~05.
В силу симметрии относительно плоскостей х,х, и х,х, здесь рассматривается только четверть кубика, заданного в условии задачи. Рассматривались две различные схемы разбиения, более удачная из которых показана на рис. 2.35, б. Найденные значения темпертуры для некоторых внутренних точек представлены в табл, 2.6, где также приведены результаты известного аналитического решения [7). Таблица 2.6. Распределенне температуры вдоль осн х! Задачи теории потенциала Гатова 2 110 Решечне но методу грокнчныл енементов Ак«лнтн- ческое рсшенне «, «ч А =Л — 0,25 0,00 0,00 0,25 0,25 0,25 0,25 7,387 4,827 3,745 2,816 2,6!2 2,000 1,050 0,00 0,00 0,50 0,00 0,25 0,50 0,75 7,282 4,840 3,843 2,843 2,658 2,073 1,144 0,00 0,00 0,50 0,00 0,25 0,50 0,75 7,259 4,837 3,843 2,844 2,658 2,089 1,!80 Решение по методу граничных олементое точное решенне Ас= !б 9,727 6,569 4,922 3,281 1,640 0,984 0,098 0,010 9,676 6, 505 4,899 3,274 1,639 0,983 0,098 0,0!О 1,0 1,5 2,0 3,0 6,0 10,0 !00,0 !000,0 10,000 6,667 5,000 3,333 1,667 1,000 0,100 0,010 Рнс.
2 35 Кубик с грапямн еднннчной длины: а — геометрия; б — хема равбне ння на ячейки Пример 2.12. Этот пример относится к распределению температуры в прямоугольном параллелепипеде, для которого заданы следующие смешанные граничные условия (рис. 2.36): и=10 при х,= — 0,5; диудп + 5и = О при хх = +0,5; ди/дп+ 5и 0 при хв = ~1; дади + 5и = 0 при х, = ~1. Как и в предыдущей задаче„здесь используется симметрия относительно плоскостей х,х, и х,х,. На рис. 2.36 представлена наиболее удачная для данной задачи схема разбиения на ячейки (48 ячеек).
В табл. 2.7 даны результаты численного решения, Рнс. 2.36. Прямоугольный параллелепнпед; а — геометрня, б — схема равбнення на ячейка. Таблица 2.7 Значепня температуры во внутренннх точках полученные для некоторых точек, а также данные аналитического решения (7). Пример 2,13. Рассмотрим теперь задачу о помещенной в бесконечное пространство сферической полости единичного радиуса, на поверхности которой задан постоянный по величине радиальный поток с интенсивностью 10 Дж/(мт с).
Точное решение этой задачи имеет простой вид и = 10/гс, откуда видно, что решение ведет себя как О Я ') при )ч'-+. оо и что условие Гаусса (2.139) не выполняется. С учетом симметрии задачи требуется рассмотреть только восьмую часть поверхности полости. Найденные значения средней температуры поверхности и температур в отдельных точках, принадлежащих области ьл, представлены в табл. 2.8, где даны также результаты точного решения.
Медленная сходимость численного решения на поверхности полости и вблизи нее обусловлена тем, что для геометрического представления сферической поверхности используются плоские элементы. Таблица 2 8 Температура в точках бесконечной области Задачи теории потенциала Глава 2 113 !12 2.13. Осесииметричные задачи В разд. 2,2 обращалось внимание на то, что фундаментальное решение для двумерного уравнения Лапласа (логарифмический потенциал) можно получить, проинтегрировав решение для трехмерного случая (ньютоновский потенциал) с распределенным по линии источником в точке 5. Ту же идею можно использовать для того, чтобы получить фундаментальное решение уравнения Лапласа для осесимметричиой области, что эквивалентно рассмотрению случая с распределенным по кольцу источником.
Предполагая, что граничные условия обладают осевой симметрией (соответственно должны быть осеснмметричными и все относящиеся к этой области функции), уравнение (2.69) можно записать в цилиндрической системе координат 1с, О, 2 в виде аовь[ 1~ !еме, ееео~атегюо г = )а(х) ) ие(й, х)с(О(х) )с(х)с[Г(х),' в (2.154) поскольку где па = 2Ы(а + Ь), а = Яя (с) + )с~ (х)+ + ! Я а) — 2 (х) [Я, Ь = 2К ($) Я (х). (2.158) Рис. 2 37. Контур образующей тела вращения н область, ограниченная этим контуром и осью вращения. с[Г (х„х„х,) = ЫО йг (17, 2). (2.155) Отметим, что à — образующая граничной поверхности, получаемая при пересечении поверхности Г с полуплоскостью 1с 2+ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
