Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е, имеет место равенство Ч'Ь = О. Если найти функцию пв, такую, что Члов = ие, то можно записать вторую формулу Грина (31 в виде ~(ЬЧЯое — оеЧЯЬ) г(й = ~ (Ь вЂ” — пе — ) о(Гь (2.111) (2.ПЗ) Пример 2.4. Уравнение движения однородной несжимаемой вязкой жидкости при установившемся одиоосном течении (в направлении оси х,) имеет вид (27) (а) где р — коэффициент вязкости жидкости, др/дх, = 6 — градиент давления (постоянная величина), и — составляющая вектора скорости в направлении оси х,. Это уравнение можно переписать в виде (б) Чои = — О/)л.
откуда следует ~ Ьп'е(И ~ (Ь дл — ое дл ) ееГ' (2.112) и г Одна из таких функций пе приведена в (26) в виде "= й(1п-,'+ 1) тогда, как легко убедиться, имеем Чвп' = —,— (г —,) = — 1п — = ие. 1 д г ди ч 1 1 (2.114) Отметим, что в качестве специального случая можно получить сосредоточенные источники, помещенные во внутренней точке 1. В этом случае функция Ь принимает вид Ь = ()ейе, (2.116) где ль! — дельта-функция Дирака. Уравнение (2.106) можно обобщить на случай нескольких таких источников, что дает ела, + ~ п4г'с(Г+ ~ Ьи' лИ+ ~ Яеи!' = ~ ди' л(Г. (2.116) г Я г Эти сосредоточенные источники очень удобно использовать, поскольку при этом не требуется каких-либо специальных приемов интегрирования. Гмва 2 9! додави пиории пошсмцмааа Табашца 2.2 Решевке урав- ыеввя Лапласа '1 Решсвкс ураа- ксвкя Пувс- сова '! Точвсе рсшавыс Искомме Фувкцкк Точка 0,350 0,351 А (1,50; 0) — 0,600 — 0,604 — 0,597 ди/дхг дм/дха 0,0 0,0 0,0 0,569 0,563 — 0,240 — 0,240 ди/дхс ди/дхв В (0,60; 0,45) 0,720 0,713 0,641 0,634 0,0 0,720 0,0 0,720 0,0 0,722 ди/дхг ди/дхв С(0; 0,45) (г) 2.8.
Подобласти Рис. 2.21. Геометрия и рвзбиеиие иы элементы длы трубы эллиптического попе- речного сечении. Для трубы эллиптического поперечного сечения скорость течения жидкости распределена по закону (рис. 2.21) (в) где а н д — полуоси эллипса. Взяв в качестве исходных данных О/р = 2, а = 2, д = 1, дли рассматриваемой задачи получим уравнение н граничные условия и = О иа границе Г.
Решение приведенного выше уравнения Пуассона можно представить в виде суммы двух функций и = и, + и„ (е) где и, .=- †(х1 + хе)(2 — частное решение исходного уравнения, е ив — Решение, УдовлетвоРЯющее УРавнению Рвиа = О и гРаничному условию и, = — и, на границе Г. с] Испольвусгсв восемь алемеыгов прв раабыеыкв чсчверпс грвквцм. В табл.
2.2 приведены значения скорости и и ее производных ди/дх, и ди/дхв (последние нужны для определения касательных напряжений сх,„и т...,), найденные как приближенным методом, так и из точного решейия. Сначала при решении было использовано представление (е) и получено решение уравнения Лапласа. Затем задача решалась для уравнения Пуассона (г), а область разбивалась на 12 ячеек и использовалась схема Хаммера численного интегрирования [34].
Разбиение области на более мелкие ячейки или применение более совершенных схем численного интегрирования не привело к заметному уточнению решения. Благодаря двойной симметрии задачи потребовалось рассмотреть лишь четверть поперечного сечения. Если задача решается для области, которая обладает кусочной однородностью, то описанные выше процедуры можно применять к каждой однородной подобласти, поскольку они отделены друг от друга.
Окончательная система уравнений для всей области получается объединением в одну систему уравнений вида Задачи теории аотенциааа 92 (/2 Н' Нт — 6~2 0 Гч (2.117) Для подобласти Йа имеем (2.!19) (2 81) для каждой из подобластей и условий совместности и равновесия на границах между подобластями [21[.
Для того чтобы более деталыю проиллюстрировать сказанное, ~2ассмотрим область !2, состоящую из двух подобластей !1 и 112 (рис. 2 22). Для подобласти !12 введем обозначения: (/2, 92 — значение потенциалов и потоков (е/2 = й,дп/дп) в узлах внешней границы Г', 222 е22 Нт, ~у — значение потенциалов и потоков в узлах внутренней границы - Г, со стороны подобласти Иа. Рис.
2.22. Граиичиые элементы дла области, состоящей иа двух однородных под- областеи. Для подобласти 22 используя обозначения: а/а, 92 — значение потенциалов и потоков (2/2 = йади/дл) в узлах внешней границы Г', 2 2 Уы Ят — значение потенциалов и потоков в узлах внутренней границы Г, со стороны подобласти Ж Систему уравнений (2.81) для области Йт можно записать в виде !Н Нт) 2 = !6 62~1 2 ° (2.118) Условия совместности и равновесия на внутренней границе Гт между подобластями 212 и Йа таковы: Уравнения (2.1! 7) — (2.! 19) можно объединить в одну систему вида или еще компактнее НИ = 69. (2.121) Эта система уравнений формально аналогична системе (2.8!), за исключением того, что здесь матрицы Н и 6 являются ленточными. Полагая выполненными граничные условия задачи и учитывая, что потенциалы и потоки на внутренней границе рассматриваются как неизвестные функции, систему (2.120) можно преобразовать к виду (2 122) й' В соответствии с заданными граничными условиями подматрицы соответствующие участкам Г, и Гэ границы, можно менять местами.
Отметим, что матрица окончательной системы (2.122) также является ленточной Детальное пояснение реализации на ЭВМ описанной выше процедуры, включая и результаты численных решений, можно найти в работах [21, 28, 29[. Пример 2.5. В этом примере исследуется водонепроницаемая плотина со шпунтовыми сваями, установленными в водопропицаемый грунт с водонепроницаемым пластом в основании.
Предполагается, что справа и слева заданы условия непроницаемости, а в узлах, контактирующих с водой, задаются граничные условия потенциального типа. Коэффициент проницаемости грунта равен 0,03048 м/мин, ширина плотины в основании составляет 79 м Эта задача была решена аналитически Лэмбом и Уитменом [30[ и численно с помощью методов граничных и конечных элементов— Чангом [29 ). Способ дискретизации показан на рис. 2.23, и как можно видеть при использодвании подхода, основанного на методе граничных элементов, область была разбита на три подобласти в связи с наличием шпунтовых свай.
На рис. 2.24 представлено распределение высоты напора, полученное тремя методами. Там же приводятся полученные методом граничных элементов линии равных потенциалов и скоростей в некоторых внутренних точках. Глаоа 2 е» » х » Ф 3- »а и а». х г а О 3 "Е г аи х и Х ». и 63 33 а 3- » $ 3 а е г а Я а оъ С С С иъ 6 5 х м 33 о, 3 х 33 и и $ оч а Р и'ини1еии инн -ЕЕЕНао Е Ебееои ЕЫЕЗЧВ Задачи 3аеории поо3енциааа ДС х ' еееичя и о.
й и о о х о х 5 еи Задачи амории потенциала 2.9. Ортотропия и аиизотропия Предположим теперь, что среда, применительно к которой рассматривается задача, является ортотропной (рис. 2.25), Разрешающее уравнение в осях координат, связанных с направлением ортотропии, можно записать для двумерного случая в виде (2.123) а ду' - 'ду] где йа — характеристики среды в направлении 1-й оси ортотропии. Фундаментальным решением этого уравнения является функция [21] и и*($, х) =,, 1п, (2 124) где г($, х) =~ — [у,($) — у,(х)]'+ УУ У1 + — [у, ($) — ув (х)]в ) .
(2.125) Г Применяя к уравнению (2.!23) теорему Остроградского — Гаусса, получим е'ч'~ да + ад / а =Ий 4-;.+А.4- „)-. (2.126) где лги и пу, — направляющие косинусы внешней нормали к границе Г (рис. 2.25). Выражение (в круглых скобках), стоящее в правой части„представляет собой направленный по нормали к границе поток у. Аналогично можно написать Рис. 2.95. Ортотропная среда уд и уе†направления орта тропин. ду,(к) Далее задачу можно решать так же, как зто делалось для изотропной среды, т. е. разрешающее уравнение (2,126) и граничные условия преобразуются в граничное интегральное уравнение, аналогичное уравнению (2.69).
В случае полностью анизотропной среды для двумерных задач разрешающее уравнение принимает вид где коэффициенты й» характеризуют свойства среды. Это урав- нение имеет следующее фундаментальное решение [31]: ма(4, )= „,!п (2.129) ]ум]'/а е(с «) ' где ] /ем ] — определитель матрицы коэффициентов, характеризу- ющих свойства среды, г(9, х) = ( — [х, (9) — ха (х)]'+ —, [х,($) — х,(х)][х,(9) — х,(х)]+ + — „[к, ($) — х, (х)]' ~ (2.130) Поток, нормальный к границе, в этом случае равен (/ен дк + /е'в д» ) пан+(й,в д + ива д ) пкн. (2.131) ди ди ди ди к1 Аналогично получаем дин ($, к) дин Я, к) Далее задачу можно решать аналогично тому, как это было сделано ранее.
Пример 2.6. Рассмотрим случай течения грунтовых вод под плотиной с двумя различными ортотропнымн слоями грунта в ос- новании. Коэффициенты проницаемости нижнего слоя равны й, = = 0,25 10 ' м/с н йа = 0,075.10 ' и/с, направление наибольшей проницаемости верхнего слоя составляет 45' к горизонту, значе- ния коэффициентов проницаемости этого слоя равны й, = 4,0 Х Х 10 ' м/с, йа = 1,0.10 ' м/с.
Плотина поддерживает уровень воды 20 м иа верхнем бьефе и имеет уровень 5 м на нижнем бьефе, На рис. 2.26 представлены распределение давления по основа- нию плотины, линии равных потенциалов, значения скоростей течения в различных точках основания плотины. Эти результаты были получены с использованием 74 постоянных граничных эле- ментов. Пример 2.7. Для того чтобы проверить влияние анизотропип на распределение температуры, Чанг и др. [31] рассмотрели круговой цилиндр с эксцентрично расположенной круговой поло- стью, на внешней и внутренней границах которого заданы посто- янные равномерно распределенные температуры.
Результаты, полученные методом граничных элементов, пред- ставлены па рис. 2.27. Интересно отметить, что наиболее сущест- венное влияние на характер анизотропи~ оказывает значение дис- 4 Бреббнн К. н ар. 98 Гаева О х еи н'иеоэаи х и о й о и о о В о ©ч И о и еи о о х р й Ю Ф ж и 1 3 о, М Задачи теории лотенииала х х з х х. 2' Я й Задачи теории потенциала 101 Глава 2 100 Ряс. 2.28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
