Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если поле таково, что работа не зависит от пути, т. е. Ю имеет одно и го же значение для любых соединяющих точки $ и х двух путей, которые можно непрерывно деформировать один в другой, то это поле называется консервативным. Полагая точку с фиксированной, а точку х переменной, рассмотрим интеграл (2.1) как функцию х. Такая х скалярная функция х, и (х) = ~ Рй' (2,2) л называется потенциалом поля Г. Если поле гравитационное, то к ! потенциал является ньютоновским. Рис. 2Л. Расположение точки Ньютоновский потенциал при данисточника 5 и произвольной точки простракстаа х. ном определении порождается двумя частицами с массами т, и т,, помещенными в точках $ (неподвижной) и х (переменной), и имеет вид и(х) = ) бтата 11 ( — ) г(г = От!та — + сопз1, (2 З) 1 ч 1 в где 6 — постоянная тяготения, à — расстояние между точками 9 их: Г (5, х) = ( (х, ($) — х, (х) )з + !х, (9) — х, (х) 1' + + (хз (Е) — хз (х) )" Р", (2.4) где х; — координаты рассл!атриваемой точки.
Силы притяжения такого же характера, что и обусловленные тяготением, действуют между электрическими зарядами, а также между полюсами магнитов. В этой работе для общности будут в дальнейшем рассматриваться, как правило, источники, а не массы и, кроме того, предполагается, что единичный простой источник, помещенный в точку 5 пространства (рис. 2.1), создает в точке с координатой х ньютоновский потенциал 1/г 1$, х). (2.5) Этот потенциал является непрерывной бесконечно дифференцируемой функцией всюду, кроме точки '., в которой помещен источник.
Аналогично при дискретном расположении простых источников с интенсивностью о,, о,, ..., о,, помещенных в точках соответственно $а, $з, ..., $„,, в точке х имеем ньютоновский потенциал вида ( ) = ~ ($~),(й „) (2.6) л=! Этот потенциал также является непрерывной и сколь угодно большое число раз дифференцируемой функцией от х, определенной всюду, кроме случая, когда координаты точки х совпадают с координатами точек $„. Г Рассмотрим теперь непрерывно распределенные по области ьл простые источники сплотностью р (рис.
2.2). Потенциал, соответствующий этому силовому полю,, обсказать о является объемным потенциалом, получаемым с помощью интегрн- раннпа Г рования и (х) = ) Р (9) †„1 !(И ($). (2.7) Рис. 2.9. Я Этот объемный потенциал является непрерывной, сколь угодно большое число раз дифференцируемой функцией, определенной во всех точках свободного пространства, т. е. лежащих вне рассматриваемой области ьл. Когда точка х лежит в области ь), интеграл (2.7) содержит особенность. Однако если плотность р является ограниченной функцией в области ьл, то потенциал и (х) существует во всех точках х Е ьа, непрерывен и дифференцируем всюду 131.
Сказанное равносильно тому, что производную первого порядка функции и можно получить путем дифференцирования под знаком интеграла Однако ограниченности р недостаточно для аналогичного представления производных более высокого порядка. Для этого необходимо припять, что плотность р ($) должна удовлетворять условию Гельдера ~ р Я) — р (х) ) ~ АГ ($, х)", где А и а — произвольные положительные постоянные. Главеч е Задачи теории иогиеициихи (2.1 1) Используя тождество — р(й) = — [р($) — р(х)] д д и взяв производную выражения (2.10), найдем (2.12) Второй интеграл в правой части выражения (2.13) можно проин- тегрировать по частям, вновь применяя теорему Остроградского— Гаусса: + ] [р ($) — р (х)] — х ( — >) ) пе ($) е[Г ($) + что в итоге дает г + ] [РФ Р (х)] дхч (х (г(х х) ) ечьа ©' (2'15) я дхче (х) гЯ, х) Для того чтобы получить частные производные функции второго порядка, можно начать с интегрирования по частям выражения (2.8).
Тогда с учетом теоремы Остроградского — Гаусса имеем дх. (х) = ~ Р Й) г(й х) ~ей) е(ГЙ) + 1 дх. (ь) г(хч ч) ееы(й). (2.10) При этом учитываем, что д 1 д 1 дхе (х) г(й, х) дх; (й) г(й, х) ' Далее, складывая три производные второго порядка (т. е.
выражение (2.15), записанное для 1 = 1, 2, 3), получим представление оператора Лапласа от функции ья т)хи (х) = р (х) ~ д„(~- ( ( х. ) е(Г $) ]- + ~ [р $) — р (х)] у~ ( — „) е(ь1 ($). (2 16) а Во втором интеграле, стоящем в правой части выражения (2.16), область ь) можно разбить на две части, одна из которых ограничена малой сферой радиуса е, Г окружающей точку х, другая— остальная часть области Ы, обозначенная ь)ги Поскольку точка х является внешней по отношению ч' к области ь)а и функция 1/» яв- обаасчь яе ляется гармонической (что будет показано ниже), то оператор Лапласа ог этой функции равен нулю в области ьеа.
Интеграл по области, ограниченной сферой, также х, сгремится к нулю при е-~-0, по- Ряс. 2.3. скольку функция р ($) удовлетворяет условию Гельдерав каждой точке х. Таким образом, остается определить поверхностный интеграл (рис. 2.3). Вновь рассмотрим расположенную в окрестности точки х бесконечно малую сферу радиуса е с поверхностью Гчи Стоящий в правой части выражения (2.16) интеграл по этой поверхности ранен — ( ~ х )е(Г(й)= — —, ~е(Г = — 4п. (2.17) гч ге Так как в области, заключенной между границами Г, и Г, отсутствуют источники, ньютоновское поле является соленоидальиым, т. е.
погок из этой области равен нулю ~ — '( — ')бг,+ ~ — '( — ') )г=о. ех г Здесь нормаль является внешней для границы Г и внутренней для границы Г,. Подставляя в уравнение (2.18) равенство (2.17) и учитывая изменение направления нормали по границе Г„ получим — ( ) НГ$) = — 4~. (2.19) г Задачи теорыа лая)еацааеа 63 Подставляя (2.19) в уравнение (2.15), находим 1та и (х) = — 4пр (х).
(2.20) Значения потенциала и (х) можно выразить через его характери- стики на поверхности. Наиболее важными для последующего изложеяня будут следующие два способа задания поверхностных характеристик. Один из них связан с непрерывным распределением на поверхности Г простых источников с поверхностной плотно- стью и. При этом величина и (х) равна и(х) = ~п($) „йГ ф (2.21) г и называется потенциалом простого слоя., Рассмотрим теперь расположенные на малом расстоянии й ($, $') друг от друга две поверхности Г($) и Г ($') с распреде- ленными источннкамн, равными соответственно и ($) и и ($').
Эти источники распределены таким образом, что для элементов соответствующей площади можно написать и (5) й Г(й) = — п(й') е( Г(с'). (2.22) Тогда потенциал, обусловленный этими двумя слоями, равен и (х) = ) о (й) , йГ ($) + ~ и К') , (, „ йГ (й') = г г = )(о(е)))й х ( й х 5' Г ( х ( ' х) ])((Г(еь). (2.23) г При й — ь О и и-)- со положим и)) — )2 равномерно на поверхности.
Учитывая, что предел выражения, стоящего в квадратных скоб- ках в правой части равенства (2.23), равен 1 Г ! 1 !1 д / ! . ~ Ь Я, Ц') ( е (Ц. е) е Я', л) ) ) дл (~) хе (й л) ) ' потенциал можно написать в виде и (х) = ) )2(й) д„ ) ( ( х ) е(Г (й), (2.25) г Это и есть второй способ задания потенциала — с помощью двух бесконечно близких простых слоев противоположных знаков. Данное представление называется потенциалом двойного слоя. Функция )ь называется поверхностной плотностью или моментом двойного слоя. Потенциалы (2.21) и (2.25) являются непрерывными функциями от х, сколь угодно болыпое число раз дифференцируемые всюду, кроме х Е Г, поскольку подынтегральные функции в этих вы- ражениях содержат особенности Для того чтобы исследовать поведение этих поверхностных потенциалов вблизи особенностей, разобьем (раничную поверхность Г на два участка: один из них представляет собой бесконечно малый круг, касающийся поверхности в точке х (поверхность предполагается такой, что через каждую ее точку можно провести только одну касательную поверхность), другой участок — вся остальная поверхность, где нет особенностей, если х ~ $.
() — 2 ) 1 (в,)' ее(2)е 1,е) ' ее())), (2.22) ' в(г-г, г, и(х) =!пп ~ ~ )2(й) — „( ( ) йГф+ ' в(г-г е + 1еа) —,„'„, (,„',) )ее(2) ). г, (2.27) Ряс 2.4. Геометрия предельного перехода к значениям на поверхности потеяцяала двойного слоя в трехмерном пространстве В соответствии с рис. 2.4, а точка х, первоначально расположенная внутри области ье, движется вдоль нормали к поверхности Г, пока не достигнет поверхности Г. Круг с центром в х имеет радиус в и обозначается Г„ остальная часть поверхности обозначается à — Г,. Точка х сначала располагается на расстоянии ).
от поверхности, причем ~) ) (( в и ) ( О, если х первоначально располагается вне области ье, и )ь ) О, если х располагается внутри области ье. Тогда интегралы в выражениях (2.21) и (2,25) можно разбить на составляющие вида Глава Х Очевидно, что интегралы но поверхности à — 1; являются непрерывными для каждой точки х, проходящей по поверхности, поэтому в пределе будут опять получаться выражения (2.21) и (2.25). Интеграл по поверхности Г, в выражении (2.26) содержит слабую особенность и также непрерывен в каждой принадлежа- щей поверхности точке при условпи, что плотность о является ограниченной функцией всюду на поверхности Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
