Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3.23. Первый четырехугольный элемент содержит девять узлов, т. е. один узел в центре и восемь по границе, второй четырехугольный элемент имеет шестнадцать узлов, в том числе четыре внутренних. Этн элементы получаются разложением одномерных ннтерполирующих функций в ряд по степеням Ч, н Ч,. Рассмотрим, на- 7 О О э 3 Рнс. 323 Лагранжевы четыре«угольные элементы: а — квадратичный лагран. жев элслюнт, 9 узлов; 6 — кубический лагранжев элемент, 16 узлов. пример, квадратичный одномерный элемент, для которого используется представление (3.! 6): и(т),) -- '/,Ч, (т), — 1) иа 1 (1 — т)2) из+ 2/зЧ! (1+ т)!) из, (3,41) Если тепеРь Разложить фУнкции иа, и, и иа по кооРдинате Чз то получим и (Ч!, Чз) — '/аЧ! (Ч! — 1) Чз (Чз — 1) и, + а/з (1 — Ч!) Чз (Чз — !) из+ +'/,Ч, (1+ Ч,) Чз(чз-. 1) из+ + /зЧ! (Ч! 1) (1 Чз) иа + (1 Ч!) (1 Чз) из + (3.42) + /зЧ! (! + Ч!) (! Ч2) из+ /аЧ! (Ч! 1) Ч2Х Х(1 + Чз) ит + !/э (1 — Ч!) Чз(1 + Чз) из+ /аЧ! (1 + Ч!) Чз(1 + Чг) из.
При использовании кубического элемента, показанного на рис. 3.23, б, функции можно представлять в виде одномерного кубического полинома (3.22) как по переменной Ч„ так и Ч,. Лагранжевы элементы редко используются при исследованиях методом конечных элементов, где обычно внутренние узлы сгущаются и ранее рассмотренные четырехугольные элементы оказываются более эффективными. В методе граничных элементов, напротив, применение лагранжевых элементов может оказаться необходимым, поскольку дополнительные условия, налагаемые внутренними узлами, иногда существенно улучшают результаты, как это имеет место в случае разрывных элементов, обсуждающихся в равд. 3 б. 3.4.4.
Треугольные элементы К простейшим относится треугольный элемент, показанный на рис. 3.24. В этом элементе задается линейное изменение функции и можно использовать косоугольную систему координат (Ч,, т),), изменяющихся от 0 до 1 вдоль пары сторон элемента , г~г (рис. 3.24). !! /О,!) Радиус-вектор точки принад- 1О,О) 11,О) лежащей треугольнику, имеет вид ч! Г = Х ! + Х /+ Х /О = Хзй + уэ ! +ха / + хзй + 1гЧ!аэ! + 12Ч282, (3.43) « Рнс.
3.24. Простейший треугольный эле- /у ' мент. «! 148 Интеунолиуунниие»)»уннции 149 где х) — Х» Х1 — 1' 1 1 1 аз ав 21 121 21 23 е = — '' 1+:"У+ — '' й. 1, (3.44) Отсюда для радиус-вектора г получаем и = Й ) (хс 4~) чс 1 (х| - хс~) чг) 1 р + (хг + (хг — «32) Ч! + (хг — «32) Чг) У'+ (3.45) + («з + (хз — «з) Ч! + («з — «з) Чг) й.
Сравнивая выражения (3.43) и (3.45), найдем х| = тих| + Ч2х| + (1 — Ч| — «12) х!, Х2 — Ч|Х2 + Ч2Х2 + (! — Ч| — Ч2) Хгв, (3.46) 'хз = Ч!хз+ Чгхз+ (! — Ч! — Чг) 4. Далее целесообразно ввести величину Чз = 1 — Ч| — Ча — новую, но не независимую координату. Прн этом Ч| + Ча + Чв = 1. В итоге приходим к системе вида х!1 х2, х|з Ч, Хг г лг Чз ХЗ «3 «3 (3.47) Поскольку координата Чв не является независимой, первые два уравнения этой системы можно представить в форме «11 = — (2А31+ Ь|х| + а!хг), «12 = —,4 (2 А, + Ь2Х| + агХ2) 1 3 Тогда с учетом представления Ч, = 1 — Ч, — Ча находим Чз = — (2Аз+ Ьзх|+ азх,).
(3.49) (ЗА8) Коэффициенты в правых частях уравнений (3.48) и (3.49) равны ас = ха| — х(, Ьс = хг — хаг, 2Ас = хсхг — хс~хг, (3.50) где с = — 1, 2, 3; 1 = 2, 3, 1; й = 3, 1, 2. Величина А равна А = 1/а (Ь,а, — Ь,а,) (3.51) и представляет собой площадь проекции элемента на плоскость Х1ХЗ Далее преобразование выполняется так же, как и прежде. Целесообразность использования Ч, в качестве зависимой переменной связана с тем, что при этом получается простое выражение для интерполирующих функций; следует, однако, быть внимательным и не принять ее за независимую переменную. Линейные выражения для координат и функции и имеют вид з и = и1Ч1+изЧз+ из«1з = К исфс, (3.52) г з «с х! = х!Ч! + Х|«12+ хс«)в = ~ х!фс.
С=| Отметим, что для интерполирующих функций выполняется равенство |Р; = Чс. Однородные треугольные координаты имеют еще одно преимущество. Оно состоит в том, что интегралы от слагаемых, содержащих полиномы, можно вычислять, используя простую формулу ) С а С| 11 И ~ Ч|Чгчз с(А = (1 . ), 2А (3.53) С помощью этой формулы можно значительно упростить алгебраические преобразования, когда не требуется выполнять численного интегрирования. 3.4.5.
Треугольные элементы высокого порядка В следующей модели треугольного элемента функция представляется в виде полного полинома второго порядка с одним из узлов, расположенных в середине стороны треугольника (рис.3.25). Модель удовлетворяет условию внутриэлементной совместимости и дает следующее представление для функции и: б и = ~~ «рсис, (3.54) С=| где ф| = Ч| (2Ч вЂ” 1) фа = Ча (2Ча — 1). (3.55) фз = Чз (2Чв 1)» Ч|в = 4Ч!Ча» |рз = 4ЧаЧв. |рв = 4ЧЗЧ| Функции могут быть представлены и в форме полных кубических полнномов. Каждое представление будет содержать по десять Инлпрпвлщцющвг фупкцаа Глава 3 т)х = 1'г/)г, Чя = 17г/)/, (3.58) (3.56) (и, ди/дт),, ди/дЧг) ) Ьиес(11.
(3.57) у г а Ф Рнс. 3.23. Квэдрятнчный влемент. Рнс. 3.26. Кубнческне элементы. параметров, Для того чтобы удовлетворить условию внутриэлементной совместности для функции на каждой стороне элемента (являющейся кубической кривой), требуется ввести четыре узла. Одним из вариантов является использование в качестве узлов угловых и двух внутренних точек на каждой нз сторон (рис. 3.26,а), где в качестве неизвестных узловых значений используются компоненты функций и и д.
Дополнительный узел, расположенный внутри элемента, необходим для того, чтобы полипом был полным, в противном случае, когда полинам неполный, его свойства могут существенно различаться для разных направлений, что нежелательно. Внутренний узел удобно поместить в центр тяжести элемента. Можно также попытаться использовать в расчетах лишь угловые узлы (рис.
3.26, б). Поскольку для удовлетворения внутриэлементной совместности необходимы четыре величины, здесь придется использовать совокупность значений функции и ее производных в качестве неизвестных узловых величин: Как и ранее, здесь требуется вводить дополнительную неизвест- ную величину, не связанную с границей элемента, т. е. значение функции и в центре тяжести и,. 3.5.
Трехмерные элементы в форме ячеек Трехмерные элементы в форме ячеек могут быть полезны для представления тех частей тела, где требуется выполнять интегрирование по объему, т. е, вычислять интегралы вида 3ги элементы аналогичны тем, что используются в методе конеч- ных элементов и хорошо известны из литературы. Простейшими из них являются четырехгранник и куб (рис.
3.2?). 3 Уч 2 ту У~/У 0 б Рнс. 3.27. Трехмерные элементы первого порядке в форме ячеек: а — чегырехгрэнннк; б — куб. 3.5.1. Четырехгранник Безразмерные однородные координаты можно ввести так же, как и для рассмотренных выше треугольных элементов (рис. 3.27), а именно Чг = 1 г/) ю Че = )ген где )/; — объемы показанных на рисунке частей н )/ — объем четырехгранника. Функцию, допустим Ь, можно записать в виде Ь = ЬтЧг + ЬгЧг + ЬгЧг + Ь4Ч4, (3.59) где Ь, — значения функции Ь в узлах, а в качестве интерполирующих функций взяты просто Чь Четырехгранник с узлами, расположенными в центре ребер (рис.
3.28, а), также можно легко описать, причем здесь интерполирующие функции можно получить из функций, использовавшихся для треугольника (см. выражения (3.55)). 3.5.2. Куб Простейший тип элемента в форме куба (когда куб недефор рован и координаты безразмерные) показан на рис. 3.2?, б. Можно также задать квадратичный закон изменения функций на сторонах куба (рис. 3 28, б).
в 1 б 2 й // Ряс. 3.23. Трехмерные элементы второго порядка в форме ячеек' а — четырехгренннк; б — куб. 153 Инпеарполлрцклнпа с)жнкипп 152 Главы 3 Рис 3.30. Геометрия неравномерно нагретого полого цилиндра. Внутренний радиус йх †.. — 30 мм, внешний радиус )сх =- 80 мм, внутренняя температура Т, =. !00 'С, внешняя температура Т, = 0'С, длина цилиндра Е = 50 мм. Используются элементы квадратичного типа, разрывные с интерполирующими полиномами Лежандра. лы поверхность ! Рис. 3.31. Дискретное представление полого цилиндра с разрывными элементами: и — )/В часть Ннлвндра; б — )-Я варнант (3 элемента, йу степеней свободы); в— е-й вариант (в элементов, 4в степеней свободин г — 3-й варнант()а элементов, М4 степенн свободы); д — 4.й вариант(аа элементов, ЗС4 степени свободы).
поверхность 2 Иоверхностьо сть ( поверхность 2 П, Интерполирующие функции для этик и других трехмерных элементов в форме ячеек приведены в книге Коннора и Бреббия (1]. 3.6. Разрывные граничные элементы Одно из наиболее интересных свойств граничных элементов состоит в том, что базисные функции, используемые для аппроксимации функции и, могут быть постоянными внутри элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
