Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Отсюда следует, что если рассматриваемые оси выораны так, что совпадают с главными осами напряженного состояния, то 1 , = о, + пз + пз /з = — (п,п, 1 озпз -'" озс'з), 1з — и, о, сг„(5. 11) где оо о, и пз — глапцз!е напряжения. Во чпогпх случаях бывает удобно расщепить гепзор напри. жеипй па две части, одна пз которых называется сферическим тензороч напряжений, другая — девиатороч напряжений плп девиаторным тспзором напряжений.
Сферический тензор напряжений Ьз, связан с главными напряжениями соошюшеннех! ! ! аз!= з и Ь,—: з !Ьм, (5.12) а компоненты девиаториого тснзора напряжений определяются выраи<еннязи! (5. 16) х =- 2 (1.,/3)!' яп а, которая приводит к уравнению 2 (1.,'3)ьз 14 яп' а — 3 з1п а] ==,'„. (5. 17) Выражение в квадратных скобках равно — яп Зи; таким образом, имеем яп Зи —. — (Хз/2) (3/уз)нз. (5.1 8) Полагая, что первое решение получается, когда угол Зи располагается в диапазоне ~л/2 (т. е.
— л/6 а а зс л/6), два других решения уравнения (5.18) находим нз условия пернодичяости тригопочетряческих функций яп Их -1- 2пл). Это дает трп радличных корня уравнения (5.14): Зз = 2 (1з/3)пз яп сзз, (5 19) где пРи Зз > 5, ) Зз имеем а, = сз -1- 2л!3, а, = — и и аз 4л!3.
Отметим, что главные напряжения можно найти пз простого соотношенпя ! о„=. 5„.). з оз, (5.20) 5, . о„— Ьа -. о,! — —, 1,Ьм. ! 3 (5.13) Главные направления напряжений девиаторного тензора совпадают с направлениями тензора напряжений, и, как правило, легче бывает вычислять главные девнаторные напряжения 5„, чем напряженпя пз. Если Х обозначает одно из главных девнаторных напряжений, то вместо уравнения (5.9) могкно записать ьз — Хь — ! =О, (5. 14) где ум уз и 1, — скалярные инварианты девиаторных напряжений, аналогичные тем, что определяются выражениями (5.10), в которых вместо оз! подставлены Ззз! 1! —... 0 1, = д Зы5./ !з =- — ЗабгзЗы (5.16) ! ! Уравнение (5.14) просто решается с помощью следующей подстановкц 13, 61: 201 Стаж«лесям ««дал« ~«гор««у«ругааии 200 Г««ва д Креме того, параметр а ( — пгб ж а < и 6] 1акже является пннарнантом напряженного состояния, который можно использовать вместо Уз прн определенна напряженного состояния в точке.
Этн соотношения являются основополагающпмн для задач о неупругом поаеденнн матернала. Прн силовом воздейстанн тело изменяет свою первоначальную конфнгурацню. Еслн через х; обозначить начальные юлорд1лнаты принадлежащей телу точки Р, а через х, ь и, — пол«жеане той же точки после деформнрованпя тела, то и; назовем котпшнептами перемещеш1я, завнсяшкмн от коордвнат х,. Еслп первые пронзводпые переме1ценнй настолько малы, что нх квадратами п пронзведеннямн частных пронзводных от перемещепнй и, молкпо пренебрегь, то деформацпн можно представить в форме тензора малых деформаций Коши Ец = — (иц > .', «1,;).
1 15.21) В общем случае малый элемент тела в процессе деформнровання нзменяет форму, перемещается н поворачнвается. Рассмотрнм точку Р' с коордннатамн х; -1 г(хь расположенную вблнзн точки Р. Перемещенне точкн Р' относнтельно точкн Р прн деформнрованни равно (5.22) Пи, =- лыс(Х1, что можно представить в форме 1 1 Л(и; = — (К,, —, и1,,] Г(Х1 — — (Пг,, -- иь,) Г(Х1 (5.23) нлн г(гй = ем г)хт — атц с(хг, (5.211 где юц — тензор поворотов поля прн бесконечно малых перемешеннях: ! ШЦ = — 2 (Ц1,; — ЛШ1). (5.25) Из данных соотношеннй вндно, что, хотя перемещенне однозначно определяет тензор деформацнн, обратная задача вахожденнн переыещення с помощью тензора деформаннй не нвляется простой.
В первом случае деформацнн связаны с отнаснтельнымн перемещепнякн, тогда как перемецення включают а себя двпженне тела нак целого, которое не влияет на деформацнн. Реп1енне этой задачн можно тем не менее сделать едннственныч, задав двнженне тела как целого (т. е. задав перемещения и повороты) в некоторой точке тела.
Более трудной задачей оказывается ~ахожденне с помощью выраження (5.21) перемещений но нзвестпыч деформациям. здесь получается система шести дпфференц~1альных ец л~-';ельц зм,л — зл,ж=б. (5.26) Это равенство является необходимым н достаточным условием того, что компоненты деформапнн однозначно определяют перемещення для односвязных областей. Для многосвязных областей это условие является веобходнмым, но в общем случае недостаточным.
Следует отметать. что все представляемые до снх пор соотношення не завнселн от свойств материала, поэтому онн могут применяться как прн упругом, так н неупругом (см. гл. 6) поведении матерпалов. Для нзотропного упругого матернала, в котором постоянна температ>ра, закон Гука, связывающнй напряження н деформацпп, можно написать в анде 20« 0,1= 26ац+ 1, еллбц (5.27) нлк в обратной форме 1 а,г = — ( 0,1 — — пл«6,1), (5.28) где т — коэффициент Пуассона, С вЂ” модуль упругостн прн сдвнге. Модуль упругости прн сдвнге связан с модулем Юнга Е н коэффнцнентом Пуассона ч соотношением 6 — Е/(2 (! ! т)1.
(5.29) Соотношенне (5.2?] можно запнсать в более компактном пнде 0,1 =- Сцл~ели (5.30) где Сил — пзогропнып тензор упругих постоянных четвертого порядка, равный С,.1«, — — — бцбли 1 С(быбт, ', 606,«). 20ю 2. 15.3 1) Соотношення (5,3), (5.2!) н (5.27) представляют собой снстему 15 уравнений для 6 напряжений, 6 деформацнй и 3 перемещенпй. Иногда подставляют выраженне (5.21) в формулу (5,27), с тем чтобы выразнть напряженна через градненты перемещеннй, а затем результат подставнть в уравнение (5.3) н в итоге получать трн уравненпя второго порндка в частных производных отпоснтельно трех компонент перемещекня. В результате этих уравненнй для трех нензвестных функцнй иц следовательно, можно ожидать, что получнть решення невозможно, пока не будут заданы дополннтельные >словня. Этн условня дают уравнення совместностн.
которые приводятся в учебниках по теорнн упругости: Гвввв З 202 Сивввввивлив,лвьввв влпрвв Мврвввжи (5.32) и, = и; на части Г, границы. (5.38) а';/ — — 2С( — г ) е'р е'а = иТбы, (5.35) рл =- п1а,"л. (5АО) (5.36) операций получается хорошо известное уравнение Навье, которое можно представить в форме бил,лл 1 2. ил ы Ь. о 6 Это уравнение особенно удобно в том случае, когда на границе задаю~си условия для перемещений. Используя, как и прежде, соотношения (5.21) и (5 27), но, подставив их в данном случае в выражение (5.5), записанное дзя точех, ленлащих на границе, получим граничные условия для напрян<енигл гав — и, лп, .-С(иь; л-и;;) и,= рь где п; — компоненты единичного вектора, нормального к границе тела. Интересно отметить, что, поскольку здесь условие равновесия (5.32) выражено через перемещения.
не воапикает необходимости в уравнениях совместности деформаций. Перемещения находятся из регпепия урапнешлй Навьс я должны удовлетворять граничным условиям, 1)осле того как для каждой точки найдены компоненты перемещений ио из выражения (5.21) определяются дефорчапнн, а затем с помощью закона 1 ука вычпслшотсн напра.
жсш! я. 5.!.1. Начальные напряжения илн начальныс деформация Для некоторых задач в описанных выше формулировках возможно учесть влияние, например, температур, начальных напряжений или деформаций. Если влияние нагрева учесть в форне начальных напряжений, то получим 20 в аб = 2бе„+ еллй, — а,", а"„— а„=. Сбл.е„, а... (5.34) где напрянления аы теперь представляют собой сумму упругих напряжений а;, и температурных компонент а„ч Для температурно-нзотропного материала напряжения а'„ определнются выражениями где х — коэффициент лпнсшкого температурного расшллреппя, à — рззяость темперзлур.
5.2. Фундаментальное интегральное соотношение Для гого чтобы внести ясность в дальнейшее изложение, сделаелв одао предварительное замечание; во всей кнкге псполь. зуется представление о регулярной области, приведенное в книге Келлога (7). Для конкретности укажем, что здесь всегда расслштрпваются только регулярные области, огранпченныс регулярными поверхностями (не обязательно гладкими всюду), которые могут иметь углы н края.
Распространение этого представления на бесконечные н нолубескоиечные области обсуждается в следующем разделе. Следуя тем же соображениям, которые приводились в предыдущих главах, можно зависать модифицированное уравнение ие. тода взвешенных невязок, в которое войдут уравнение равновесяя (5.3) и граничные условия. Условия для напряжений (пли естественные граничные условия (5.5)) имеют вид р, .-- алп, = р, на части Га границы, (5.37) где и, — впешнян нормаль; р; — напряжения, заданные на ча.
стн Г, гранины. К другому типу относятся граничные условия, выражаемые через компоненты заданных перемегцений, 1!усть Г, — часть границы, на которой заданы перемещения, ~огда имеем Заллстллм, что полной внешней границей тела явлнется Г = Г, -1- + Гв, Разделение границы Г на две части следует в оввлвать так, лто в физической точке можно реализовать два типа граничных условий в различных направлениях или даже их комбинацию, что имеет место в случае упругих опор. В соответствии с методом взвешенных нсвязок можно записать ) (авл, 2+Ьл)илбГ) — ) (рл — рл)илг(Г-, ) (ил — ил)рлв(Г, (5.39) и г„ г, где и", н р„' — перемещения я напряжения, соответствующие полю весовых значений, а именно: Г!редполагастся, что соотношения (5.21) между деформациями и перемещениями, а также закона Гука (5.27) применяются как длн аппроксимирующих, так и весовых функций.
Г:титнггииггг палит иаорггг упругости Гати б 204 Первое слагаемое правой части уравнения (5.31)) чожио проинтегрировать по частям, что дает — ) п,ае,"а г(й ,'— ~ Ьаи! 4(й -- — ~ рагин о(Г— и я г. ~ р„п, *г(Г -', ~ (йа — па) рт, г(Г, г', г', (5А1) ож — — С4г,пеп. Подставив это выражение в уравнение [5.41), найдем — ~ Сгаггегге,"а г(й (- ~ Ьгпа г(й я г! а =- -- ~ раца г(à — ~ раааа г(Г+ ~ (ии — и,) р; 41Г. г, г, г, (5А3) Вновь интегрируя по частям первое слагаемое правой части уравнения (5.43) и учитывая соотношения закона Гука, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
