Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 33
Текст из файла (страница 33)
!1редполагается, что это ниж л...'з -,'':.>.,з;ЫХ'. ' нее полупространствосодержит :О'.' Ф:; область зл -р Г, а плоскость Я *,,'.'..';"с'-,.'„* ' х, = 6 берется в качегтве гра.".,'.л пичной поверхяости Г, которая в данном слу ше считается свободной ог напряжеияй (раг. 5.4). Распределение напряжений, обусловленных девствием соРлла. 5З 4. Тгаа, ЗЗапялюжаа ОбЛаетЬ доточениых нагрузок. прим -1- г и аачащевнае а пал!заскачет- с!зе оточ ваа ауаазузаазза л, -: О ложениых внут(зи изогропиой полуплоскости, было дано й!еланом (11). Решение эквивалентной трехмерной задачп (рпс.
5.5) было дано Миндлнном !12), который получил нстолько напряжения, по также и соответствующие им перемещения при действии сосредоточенных нагрузои, приложенных внутри полупросгранстиа, Приззенепис фундаментального решения Мипдлина к граничным элемектам было описано в работе 1!акагума (131, пель данного раздела состоит в представлении в явном виде решшшя задачи Мелана (включая и перемещения) с целью применения этого решения в методе граничных элементов. Лззализируя процедуру, используемую Миндлином 112], »южно видеть, что в явном виде фунзтамснтальное решение чля полупространства ползчается с помощью суммирования !8 ядер деформапни (см. книгу Лява 11]), полученных из решения Кельвняа (по шесть для каж- г — 4 — а- —, дой из трех компонент сззлы).;:„:'З,ьзл' ' " '. Кроме того, первое сингу- ".'зд „', ' с ' — 'ь ~ направлен к я нагрузки оказы- у' "з х— Ваеггя фундамснтальныч ре- х р р. шенпсм Кельвппэ, сооггезсз- ' ' " р, а, вующпм выра:кения л (5.55)-- (5.60) для трехмерного случая.
Все другие ядра содержат координаты мнимой г точки приложения нагрузки л относпгельяо поверхности 1'. "ГО З Оэво таст УДОВЛЕТВ Рите р л „а г зозуаз ауа амаааа адииич ) слОВню ОбРашенпи В из ли,а,;з слзсрахзтазлзаа, з азгпгзак ззззрь па. пагрязьегшй на поверхпоспз зззяалпззалпзз йрз~ — )з~з]=~аз~= !) печупространствзз. Таким образом, за~от класс решений мозкча представить в форме 15.67) ( 1' †. ( )' ' ( )' где обозначения ( ]л я ( ]' относятся соответственно к резпению Кельвина (выражения (5.55) †(5.66) для трех- и двумерных решений] п к дополнительному решению. Чтобы избежать излишних повторений, в дальнейшем будет обсуждаться только дополнительная часть решений. 1!о при этом всегда подразумевается, что полные выражения для фундаментальных решений определяются соотношением типа (5.67).
Г!олная система выражений для перемещений и напряжений в трехмерных случаях приводится в статье Миндлина. Для того чтобы получить фундаментальные решения для плоского деформированного состояния, можно использовать процедуру интегрирования, уже упоминавшуюся в связи с задачей Кельвина, как было показано Теллесом н Бреббня (14], также можно получить в явном виде и фундаментальное решение для полуплоскости. Лополнительные решения для различных случаев прииедены в приложении Б. 5.4. Напряженна во внутренних точках Выражения (5.53) дзют непрерывное распределение перемещений в произвольной точке „" 6 (1, и напряженноесостояние вагой точке можно изучать, дифференцируя ф>нкцни (5.53] по координатам в точке Ьь и получая таким образом тензор деформаций, а затем подставляя найденные вели пзиы в закон Гука. Окончательное выражение имеет вид О„.
!5) = ) п,",л 1», х) р, (х) л(Г (х) — ~ рзза (», х) из, (х) л(Г (х],'- г + ~ и,',л (5, х) Ьз, (х) ИО (г). (5.66) Отметим, что дифференцирование производилось под знаком интеграла. Очевидно, что это допустимо для граничных интегралов, но для слагаемого с объемной силой требуется специальное доказательство. Этот вопрос затрагивается в гл. 6, где обсуждается иеупрутое поведение материала и дано строгое обоснование воз.
ьзожззостзз применения описанной процедуры Гласа Ь 2!2 С» а>тмесмм ииэыи >ааауии иируюсми 2!3 Г!оный теизор, соогветстаьющпй фундамепталыьоиу решен>по Кельвина, можно запасаю н ище и,";е — -- о>';,, !5.69) и г зе р;',ь, =., (() — 1(! — 2с) Ь„г, и ->-> (Ь,ег г;— Ь,иг;)— 2аа (! — е) е' — ьт,,г,г,>,1 г йи(пьг,ьг,„! п,г,,г,,) ', (! - 2с)(])гьег,,г,ь 1 пьбь„' ы,б>и1 (1 -. 4с)л„5,,1, (5.70) где ес =- 2 н 1, () — 3 и 2, у 5 и 4 соответственно для грех. н двумерных зада <. 0>метим, что обозначение г, ' дг,'дх, (х) =- - -дг!дх; (5) было введено ранее.
Выражения для дополнителыьых частей тензора, соответствующего фундаментальному решению для полуплоскости, представлены в работе Теллеса и Вреббия П4]. Решение Ь(индиана получено на основе такого же подхода. 5.5. Граничное интегральное уравнение В предыдущих разделах был дан вывод тождества Сомильяны, но не было указано различие между использованными при этом фундаментальными решениямн. В данном разделе предлагается сначала рассмотреть решение Кельвина и и применить его для решения задач для полупространства, где может выявиться полное преимущество условия обращения в пуль напряжений на гранипе.
Рассматривая сл)чай решения Кель- вина, видим, что тождество Сок!иль»ны не удовлетворяется для получаеееых ре>иен>ьй, если не известны перемещения и иапря>кеиня на ьраннце Г(объемиьье силы всегда ие тра»>ьие, икаьмек>ьак считаются заданными). Поэтому интересно са(крйчесаказ йаиеут>ьь>- исследовать предельную форму выражения с>ма.
(5 53) прн перемещешп! точки Е к границе. 11рсдположим сиа ьа.та, что тело может быть представлено так, как показано на рнс 5.6, прн этом точка е рассматривается кзк внутренняя точка, окруженная сферической по. верхностью радиуса е, тогда выражение (5.
53) можно записать в виде и,. (Э! = ~ и,";(еа, х) Рь(х) дГ(х)— г -г,<-г, — р,", (5, х) и! (х) дГ (х) -ь- ~ ье,'ь (й, х) Ь, (ль с!П (х). (5.72) г — г,+г Рассмотр>ш теперь предел !санс!ого интеграла, влодяиыго в выражение (5.72), при е -е Ц. Первый интеграл можно записать, в виде )пп ~ рт (е, х) и, (х) дГ (х) .= г — г,+г, ="1пп ! р„(5, х)и,(х)дГ(х) +Ив ] р„(', х)п, (г)с!Г!хь, (5.73) е и '-'" г г, где для первого слагаемого правов части этого равенства получаем )пп ~ р((5, л) иь(л) дГ(х) —. !пп ~ р,';(", х) (п,(л) и;(5!]с(Г(х) ,'. е-ив ив г„ ге -]- !пп г! и, (5) ~ р,; (к, х) дГ (х) ~. ге Ясно, что первый интеграл в правой части равенства (5ли4) обра- щается в нуль при выполнении условия непрерывности фьнкпии и; (х).
Второй интеграл в праной части и интеграл в левой части вйражения (5.72) можно поедставить в форме сп(5) --. [Ь„'; 1пп ) Р)ь(5, х) дГ(х) . (5.75) е а —, Возвращаясь вновь к выражению (5.73), вадим, что второй ин- теграл в его правой части может быть взят в с>ьысле главного значения 1!5], которое будет существовать, если функции и, (х) удовлетворяют в точке 5 условию Гельдерн !7! ] и (.т) — ил (й) ! .к В» (5. 76) где В и сс — произвольные положителшьые постоянные.
Остальвые интегралы в выражении 6572) пе содержат сингу. лярностей специального вида н их можно понимать как интегралы в обычном смысле. Поэтому при е-е 0 приходим к следующему уравнен!по: с„(Ь)и![5) ', ~р,'~(й, х)и,(х)дГ(х) .- г == ~ и„"(й х) Р (х) дГ (х) -! 5 и,', (э, х) Ь; (х) Ж) (х) (5 77) где интеграл в левой части понимается в смысле главного зна. ченпя. ! Уравнение (5.77) справедливо как для трех-, тзк и для двумерных задач и представляет собой соотношение, которое дотжно выполняться между перемещениями и напряжениямк иа поверх- 2!з стог!иго!сот оодого мооров Иотжюгто ! 1ооо 3 носи!, а также объемньшп силачи. Пагкольку объемные силы всегда известны, нетрудно видеть, что при заданных граничных условиях это уравнение представляет собой гранпчпое интегральное уравнение относительно значений функпий на границе.
Это важное обстоятельство придает наибольшую привлекательность э~ому уравнению, которое оказывается весьма подходящим для исследования численными методами. Коэффициенты сы [5) определяются пыражениячп (5.75). Если в точке 5 !!ажно провести касательную плоскость, то имеем сы (Д.= =- Ь,г!2; в том глучае, когда этого сделать нельзя, выражен!!я для этих коэффициентов в явной форме были получены в раба. тах (16, 171 для двух- и трех- /~~,ф ,г ! мерНых задач.
Однако для практического использования, как будет показано ниже, коэф- ', .:;Р'' фициенты с; г и соответствующее Г главное значение можно найти косвенным путем, используя рого совпадает с ооосрхоосгью оозг- уравнение (5.77) для нахождебсскоосззого оростраостзо, йия дпижспня тела как лого. Уравнение (5.77) является исходным в методе граничных элементов, где используется фундаментальное решение Кельвина.
Прн рассмотрении решеннй задачи для полупространства было бы интересно начать с пересмотра тождества Сомильяиы, с тем чтобы выявить возможность упрощения этого уравнения, не упомннавотуюся ранее. Если часть границы рассматриваечого тела совпадает с поверхностью полубесконечного прастраястаа Г (рис. 5.7), то интеграл по этой части границы от функций р,', будет тождественно равен нулю, поскольку фундаментальное реше!ше получено для условии, когда напряжения па границе равны пулю. В результате тождество Сомильяны можно переписать в следу!ошей форме (для трех- или двумерных задач): и, (5) —. ) и), (й, х) р, (х) г(Г (х)-- г — ) Р,'7 (5, х) пг(х) с(Г (х) ,'.
~ и,*у (5, к) Ь; (х) !((1(х), (5.78) где Г' — часть границы Г при х, О. Кроче того, уравнение (5,78] чожио без каких-либо дополнительных преобразований применять в том случае, когда точки приложении нагрузки лежат иа поверхности à — Г' полупространства. Действительно, когда с —. 0 (см. рис. 5.5), сннгулярпость, которая прнсутстзует н пер- воч интеграле в правой части выражения (5.78), можно проинтегрировать обычным путем. Более того, если в исследуемой задаче выполняются условия равенства нулю напряжений (рг (х) =- — 0) па некоторой части Г-. Г' границы, то эту слабую сингулярность также можно устранить, рассматривая точки приложения нагрузки, лежащие на этой части границы, как внутренние точки.
Как будет показано в дальнейшем, описанные выше свойства постановок задач для полупространства играют важную роль в методе граничных элементов. Благодаря регулярному характеру дополнительных выражений (см. формулы (Б.1) †(Б.12)) применение соотношения (5,78) для точек приложения нагрузок, лежащих на границе Г', порождает точно такие же сингулярнасти, как и при использовании только решенил Кельвина.
В аезультате получаем следующее уранненпе: си $) и, (5) -(- ) р,*; !'с, х) и, (х) с(Г (х) †. г. =- ~ иБ (сь, х) р;(х)с(Г (х) †,'- ~ иБ Д, х) Ь;(х) !И (х), (5,79) г и в котором стоящий в левой части интеграл понимается в смысле главного значевия, а функции сг, (5) соответствуют только решенн!о Кельвина, являющечуся частью фундаментального решения. Поэтому на гладких поверхностях имеем сы = Ьг,,'2, что отмечается и в работах Пб, 17!. С помощью уравнения (5.79) можно рассмотреть также и специальный случай, когда нагрузка прикладывается на стыке границ Г' п Г. Однако в этом случае предельные соотношения содержат другие выраженпл для функций сы. Это различие не вызывает каких-либо особых трудностей, и соответствующее выражение для гг! можно получить, вспользуя уравнение (5.79) для перемещений тела как пелота. В заключение отметим, что уравнение (5.79) можно в общем случае рассматривать как результат применения уравнения (5.78) для произволъной лежащей на границе à — Г' точки приложения нагрузки, еглп сы —.
5,! Следуя подходу, пзлоксшюму з равд. 5.4, производные функций (5.78) по координатам точки приложенил нагрузки можно подставить в соотношения для закона Гука и получить частный вариант выражений (5.68): аг,(5) =- ~ п,*,.г Д, х) р, (х) с(Г(х) — ~ р,'ы $, х)пг(х) с(Г(х)+ г г. + ~ и,'Ы Д, «) Ь, 1х) Жг (х). (5.80) 2>В Г.заап З Стара>нет>ив алла>>> тгор> и ипрг>го.п>и 217 Отметим, что если в рассматриваемой задаче требуешься удовлетворять условию равенства нулю напряжений (7>в (х) = О) на части à — Г' границы, то напряжения в граничных точках, лежащих на этой части границы, также можно получить с помощью выражезня (5.80).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
