Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В уравнениях, приводившихся до сих пор, присутствовали обьемные силы. В следующелз разделе слагаемое, обусловленное этими силачи, будет для простоты опушено, в детальное рассмотрение его влияния приведено в равд. 5.14. Однако счедует упомянуть, что во многих практических задачах можно избежать включения интеграла по области, воспользовавши ь некоторыми специальными процедурами, например найти частное решение, соответствующее объемным силалз, и как заданное поле напрнженпй наложить его на решение, получаемое методом гранячных элементов, Более интересный подход был предложен Риццо н В!>лип>з 118], которые показали возможность преобразования интеграла от объемных сил в поверхностный интеграл Зтот подход был применен к некоторым самым общим случаям объемнь>х снл, таких, как гравитационные, центробежные, возникающие при вращении вокруг фиксированной осн, а также для решения задачи об установлении температуры.
Единый подход для решения подобных задач (как двумерных, так н трехмерных) представлен в равд. 5.14. 5.6. Бесконечные и пазубескоиечные области Все обсуждавшееся до сих пор в этой главе относилос~ к конечным объемам. В данном разделе будет показано, что полученные ранее выражения (основанные па фуидачентальноч решении Кельвина) могут быть использованы н в случае внешних задач для бесконеч,>ых регулярных областей. Как и прежде будем следовать соображениям, заимствованным из книги Келлога 17].
Таким образом, под регулярной областью подразумевается область, ограниченная регулярной поверхностью (ото>ода и название аогранпчпваюцщя поверлпостьв) и содержащая все досталочпо удилспныс точки. Кроме того, будет показана возможноств распространения злого подхода и на задачи для полубесконечного пространства с полостямн и без них. Поэтому все последующее будет обобщено таким образоч, чтобы включить и такие случаи.
Уравнение (5.77) нельзя применять к бесконечным регулярным областям, пе задавая дополнительных гипотез для используемых фупкцвй. Зт>з гипотезы касаюзся поведения ф»нкцнй на бссконечйо удалепиои поверхности и определяются как условия регулярности. Пл и р — радиус сферы, ограниченной поверхностью Гр с пс>иром в точке ь. Виузрп сферы имеется полость Вз,ззз 1пп ) 17>,'7(и,х) и,(х)- иьг(Е,х) 7>,[х)) [Г(х) =- а г„ = О.
[5.82) Для трехмерных задач имеем (х Е Г ) г!Г (х) —. ] 6 ] г[4> г!О при ! 6 ! =- 0 (р'), >з!з (5, х) —. О (р ), р,"> (Е, к) — -- 0 (р в), (5.83) где символ О ( ) характеризует асимптотическое поведение при р ->- ио. Следовательно, если большинство функций и> (х) и р, (х) ведут себя на бесконечности как р ' и р ', то условия регулярности выполняют- ся. Отметим, что если общая нагрузка, приложенная па границе полости, ие является сачоуравповешенной, то из принципа Сен-Венева 131 следует, что функции и, (л) и р! [л) Г>удут вести себя как фундаментальное решение для сосредоточенной силы. совпадающей по направлению с равнодсйству>ошей нагруз- ки.
В результате получаем и> = 0(Р ') и р> зг) - 0 [р а), а эзо гарантирует, что все слагаемые выра>кения [о.82) <грезятся к пулю независвмо друг от друга. Для двумерных задач соотношения (5.83) прпнимшог внд г[Г(х) = !6]г(лр, ]6] = 0(р), ! О (! п р , '! ), ! .—.. ), "! (" ') = ~ О (1), [5,84) д!> (5, х) =- 0 (р '), Отсюда видно, что для обращения в пуль каждого интеграла по поверхности в выражении (5.82) прп р ->. ии необходимо, как и прежде, выпозненне условий и, (х) — — 0 (Р ') и р (х) =- > Раа 3 3 Сарг>>нивская иа.>вази радилов р с ио.зисгит несколько полостей). Рассмзтрпм для данного тела вие:ппюю задачу (рис. 5.8).
Уравнение (5.?7) для области, ограниченной поверхностями Г и Гр, можно записать в виде с>, (5) и>. $) 1- Г р?; (5, х) и, (х) г[Г (х] -'- / р,*; [и, х) и (х) г! Г [л)— г г 1>>,'>(".. х>д[(л)г[Г(х) — ' ~гг,'>(и «) р,(л)г[Г[г), (581) г г Очевидно, что, если рассматривается предельный случай р— ир, уравненве (5.81) можно записать с помощью лзппь граничных интегралов, если выполняется условие Сепо!и!се!сапе елпаеи теории упругости 219 218 =- О (Р е) 119!. Этот случай, однако, ис соотвстсза1ст позецсип!о иа бесконечности фунаас!ентальн!!го решения Основываясь на тех же соображениях, что и в трехмерном случае, можно подставить вместо и! (х) н р, (х) выражения, соотаетсгвуюцгпе фундаментальному решению двумерной задачи, и проверкой убедитьсп, !то соотношение (5.82) выполияетси. Единственное отли !ие состоит в тол!, что оба слагаемые этого соотиоспеппя не стремятся к пулю независимо арзг ог дру- Г г .Г-Г га, и взаимно уппчтоас)псз!ся прп б й Приведенные рессуждезия содержат сильное условие, что требование регулприйсп! выполняется всегда, если функции и, (х) Рпс 5.9.
Пазусфезе!еслзз попасть И Р, (л) всДУт СЕбЯ пО КРаиией испзхпусз р с пазостью (ааз без ре как фундаментачьиое решение йее). иа оескоиечпостп. Это утверждение будет справедливо и для полубесконечпых тел, где соответствующие условия налагаются фундамеитальиымн решениямн лля полупространсзва и полуплоскости. Сюда же отиосатся и интересный случай, когда нагрузка приложена на части границы Г (рис. 5 9).
а Рас. 5.10. Правило прозедеаяе пппиззп (а — зпеюзпз зздзт, б — ппутрепззп ззхзчз). В заключение отметим, что если условия регулярное!и выполняются, то задачи о полостях во внешней области можно прецстаии!ь в яном впде (см рис. 5.8) для бесконечных ооластсй (решение Кельвина): ге!(5)ссз(9) ~ ) Рс!($, и) ит(х)с(Г(х) = ~ !е(с(9, х) Р,(х)с(Г(г1, (585) г г а для полубесконечных областей, которые могут иметь нагрузки па учасмсе à — Г' гран!щы (рнс. 5.9), уравнение имеет вид сц 15) !! (5) 1- ~ р,'! Я, и) и, (с)!(Г(л) —. ~ и,', (с, х) р, (з) !1Г(л).
(5.86) г г Очевидно, что выводы, содержащиеся в этом разделе, справедливы для тождества Сомильяиы в гарантируют более сильную регулярность функций напряжений во внутренних точках, Отметим, что для внешних задач с полостями интегральные уравнения имеют ту же форму, что и для внутренних задач, отличаясь лишь направлениями нормального вектора и, как показано на рнс. 5.!О. 5.7. Численная реализация В этом разделе будет описана общего вида численная процедура рещеиия граничных задач механики твердого деформнруемого тела Для того !тобы сосредоточить внимание иа главных моментах данного процесса, можно представить единым образом (объемные силы для простоты опускаютсп) различные формы граничного интегрального уравнения, введенные в предыдуцсих раздслаел сц($) и!Я) , '~ р;';(с, х)и, (с)с(Г(х) =- ~ ос!(5, х) рз (х)с(Г(с).
(587) г г Здесь н зависимости от вида используемого фундаментального решения (для бесконечного нлн полубсскоиечного пространства) выбирается соответствующее выражение для сс! ($) и в первом интеграле вводятся замена Г на Г'. Вместо попытки найти решении уравнения (5.87) в явном ваде, что является трудной задачей, решить которую можно лищь для тел простой геометрии н несложных граничных условий, в методе граничных элементов используетси численный подход. Основные этапы этого подхода, составляющие его сущность (см. гл.
2 н работы (19, 201), можно определить следующим образом: а) граница Г разбивается на ряд элементов, на которых перемещения и усилия задаются в форме кусочных интерполирующнх функций между узловыми точками элементов; уравнение (5.87) записывается в дискретной форме для каждой точки 5 границы Г и вычисляются "интегралы (обычно по схемам численного интегрирования) по каждому граничному элементу. В результате получается система У линейных алгебраических уравнений относительно й! напряжений и Ь' перемещений в узлах; в) наласаются граничные условии и соответственно задается Л' узловых величин (иапряжения или перемещение в каждом узле и каждом направлении).
Для нахождения остальных граничных величин стандартными методами решается система Гз' уравнений. Зна !еипя перемещений и напряжений в произвольной внутренней точке можно легко найти по фор зулал! численного пнтегрировпппя, используя соответствующие уравнения (например, уравнения (5.53) п (б,бз2) нлп (5.78) и (5 80)) также в дискретном представлении. Отметим, что неравные нулю объемные силы можно Глана б Галан~несение задала пыопаа упруеосаа 22! учесть с помощью простой схемы численного ннтезрнрования, которая дает в результате некоторую добавку к свободному члену систеыы уравнений и аналогичную добавку к перемещениям н напряжениям во внутренних точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
