Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 37
Текст из файла (страница 37)
5.22. Зависимость коэффициента ннгенсивяосги напряжений для палукру- гавой трещины от угла а в плоскости х,, хе, агсчягываемого от асн х,. внутренней трещины дано сравнение результатов при лвнейном и квадратичном элементах, Представление с помощью квадратичной функции точнее описывает перемещения в теле. Светлыми кружками на рис. 5,21 показаны узлы, отстоящие от края трещины на одну четверть длины элемента, когда трещину охватывают два ряда элементов. На рис. 5.22 показана зависимость коэффициента интенсивности напряжения в поверхностной трещине от переме)цений при раскрытии трещины (см.
работу Крузе и Мейера (28(), Эти результаты сравниваются с результатамк, полученными в той же работе с испольаованием лииейяых элементов; видно, что модель с линейным законом изменения величин позволяет с достатою)ой точностью определять интенсивность напряжения. 233 Статичеслие подачи теории улрулкпт Глава б 232 : мге -т — — 0 "2 к мпв ке Рне. 5.23. Соелнненве двух толстоетен. нмх ннлннпров. ы ом, мгв ер 0,5 0 е ' * е 5 Не ер ет Пример 5.3.
Встречаются задачи, в которых исследуется (см., например, работу (291) концентрация напряжений в месте пере. сечения двух толстостенных цилиндров. На рис. 5.23 и 5 24 по- к, кв ~ Рнс. 5.24. Геометрия соединения. Рнс. 5.25. Днекрекмое предстввленне Рнс. 5.25. Знпчення рпстягнввютнх соединение. напряжений аее н аев (ат = аев) в вмбрввных точках. казан частный случай соединения таких цилиндров. В силу симметрии задачи требуется рассмотреть лишь восьмую часть соединения.
Для дискретного представления задачи использовалось 76 постоянных треугольных граничных элементов типа показанных на рнс. 5.25; напряжения определялнсь в пяти точках соединения (рнс. 5.24). На рнс. 5.26 показано изменение нормальных напряжений, направлекегеых по оси х (или х,), в соответствии с выбранными точками. 5.13. Двумерные задачи теории упругости Остановимся подробнее на применении уравнений статической упругости к двумерным задачам. Фундамекетальное решение разрешающего уравиення аув,г Р 5(5, х)ет = О, 1'= 1, 2; ь= 1, 2 (5.115) для плоского дефорвперованного состояния имеет вид (см.
выра- жения (5.56) и (5.57)): и*е = (3 — 4т)!п — бм (- е', ег, в1, ! ! Вяб(1- ч) ( г р„*= ) — '((1 — 2т) бт ( 2г,,г, е] — (5.116) 4п (1 — т) к (дп - - (1 — 2т) (г,,лв — г, вле)), здесь»(в и и,"и — соответственно напряженна н перемещения в й-м направлении при действии единичной силы в 1-м направлении. Величины»,'в и и,'в можно записать в матричной форме Рч —. (»',к»';.1, и* = (" ,'„'1. (5.)Г7) Введем также векторные представления соответственно для перемещений, напряжений на границе и объемных напряжений: Р == ( (, Ь =- ('Ь (.
(5.118) Исходное уравнение можно записать в матричной форме, аналогичной уравнению (5.93) для трехмерной задачи теории упругости: си -,'— ~ Рвик(à —.- ) ив» т(е ) ~ и*Ь т(69 [5.119) г г и Остальные матричные операции аналогичны описанным в равд. 5.8 для трехмерного случая, раалнчие состоит лишь в том, что здесь граничные интегралы являются контурными, а слагаемые с объемнымп силами получаются с помощью интегрирования по площади, а не по объему.
Если перемеецения н напряжения найдены па всей поверхности, то перемещения и напряжения в произвольной внутренней точке 255 254 С~пап~пчппппп задачи тпорча у ругогп4а можно найти по формулам для перемещений, записанных в век- торном илн теизориом виде: и == ~ ичр 7(à — ) р'и г(Г+ ~ ивб г(11, г 1' Я (5.120) и. = ~ 17,"1Р17(à — ~ р,*;аг ВГ+ ~ м;,514(П, г г а а также для напряжений (см. формулу (5.68): 0,1(5) = ( я,1врлг(Г-- ~ р17вмпг(Г 1- ~101ввв М1, (5.121) г г й (5.124) где и71в и Р,'пв определяются выражениями (5.69) н (5.70). Как и прежде, интегралы можно вычислять либо методами численного интегрирования, либо для очень простых случаев— аналитически.
Отметим, что при переходе от плоского деформированного состояния к плоскому напряженному состоянию вместо коэффи- циента Пуассона следует использовать величину й = т/(1 + т). (5.122) Полученные выше выражения справедливы лишь в случае не- ограниченного пространства, если же рассматривается задача для полуплоскости, то следует использовать фундаментальное решение для свободной от напряжений границы П4), приведенное в приложении Б. Было обнаружено 1101, что среди различного типа элементов, которые можно применять при численном решении дискретного аналога интегрального уравнения, линейные элементы дают при- емлемую точность, не требуя значительных усилий с точки зрения численной реализации, В дальнейшем будет подробно рассмо- трено применение этого элемента при численных исследованиях, геометрия которого представляется прямой линней (рис. 5.21).
Для данного элемента якобнан (3.24) равен ) 6 ( =- 1!2, а ин- терполирующие функции (3.3) равны 1 1 Фг = 2 (1 — 7)) Фз= 2 (1+ Ч). (5.123) В результате приходим к двухэлементным матрицам И н й по- рядка (2м4) вида 1 ! й= (й),й),) = —, ) (Ф,Р* Фчр')бц, — 7 1 К = (К,'1К) ) =- —, ) (Ф,и' Фви") бц -1 Эти интегралы обычно вычисляются численно с помощью формул численного интегрирования Гаусса для всех элементов, за исклю. чением тех, что содержат сингулярный узел.
Как было обнаружено, для получения приемлемых результатов в большинстве случаев достаточно взять четыре точки в формуле Гаусса. В специальном случае, когда в элементе имеется сингулярный узел, сложную подматрнцу в матрице й можно получить, рассмотрев перемещения тела как целого, а остальная часть находится и т.
Рмо. 5.22. Лвпеввыв злвмвнт о ввутрввввя каорхвпзгаа Ч. Рва. 5.25.!'еомотрвв злхпчп о грощвво: 1Р = 2В, а=- В, Н = 1.2В, В = 05В, П' = 2,5В, Нп = 0.55В. и Л 1 4547 З 3 Фронт премппм Рва. 5.20. Дискретное првдсгавлввме в звлвчв о трещине с помощью грввпчвыл злемовгов.
по схемам численного интегрирования. В магрице д имеются интегрируемые сицгулярности, для которых можно использовать специальные формулы численного интегрированяя (тнпа логарифмической формулы в приложении А) либо проводить вычисления аналитически в случае линейных и постояаных элементов, Пример 5.4. Задача распространения трещин в двумерной постановке (рис. 5.28) исследовалась в статье ИО). На рис.
5.29 я 5.30 показаны применяемые в этой задаче способы дискретного представления. Здесь использовались кубические граничные эле- 237 Стппичегкие задана вцорип упругости Гапка б 233 кт кт менты, усилия прикладывались в 12-м узле в указанном на рис. 5.30 направлении. Длл различных образцов коэффициент интенсивности напряжения находился путем вычисления интеграла Райса по контуру и' (рис.
5.29), экспериментальные результаты сравнивались с результатами решения по методам конечных и граничных элементов. Как видно из табл. 5.1, соответствие между этими результатами зуя фундаментальное — -- — решение, которое соответствовало упругому деформированию плос- О т, кой, свободной ат усиЧрспт твтщпнм лий трещины.
Футтда- ментальнае решение бы- рис. В.за, дискретное представление гвтпедече ла получено с помощью о трещине с помощью конечных элементов, слажнага отображения. При такам подходе наличие трещин учнтываетсл автоматнчесни и не требуется модельного представления для геометрии поверхности трещины. Однако этот метод можно применять только в двумерных задачах. Пример 5.5. Лиепа 122] исследовал случай растяжения резиновой полосы, армированной стальными тросами, при плоском деформированном состоянии (рис. 5.31). Он использовал кубические элементы и даа способа дискретного представления: в одном граница разбивалась иа 9 сегментан, в другом —. на 18 сегментов (рнс.
5.32). В силу симметрии задачи рассматривалась только область АВСРЕ (рис. 5.31). Для упрощения трос считался абсо- Таблица бхл Относительные значении ковффнннентов интенсивности мвприжеиия днн ввдвчн о распространении трещины лютно жестким. Предполагалась, что в направлении х, деформация саставляча 1,667.10 '.
Модуль упругости при растяжении брался равным 2 1О' Н!мт, длл коэффициента Пуассона задавалось два значения: 0,45 и 0,5. При в = 0,45 напряжения ам, вычисленные с помощью двух способов дискретного Т представления, практиче- н ски неразличимы (рис.
с 5,33, а). Светлые кружки а на рисунке соответствуют грубому способу дискретного представления, -3 и этим сплошная линия — более рнс 3.3~ Гюметрин полосы из ренины. точному предстаВлению с ермнровенноя стальными тросами. помощью 18 элементов. При ч = 0,5 (рис. 5.33, б) это различие было большим, достигая 5 е4 максималыюго напряженил.
Однако для перемещений различие и в этом случае очень мало. Отметим, что метод конечных элементов в форме метода перемещений неприменим при т = 0,5. рис. 3.32. Способы дискретного прсдстпвдевн» при исс.чедовении меюдом конеч. ных вдемснтовг о — грубае разбиение (3 сегментов); б — уточненное рвзбнение (Ш сегментоп). Пример 5.6. Данный пример относится к задаче о нагруженин плоским жестким штампом П41. Штамп счнтаетсн идеально гладким.
Перемещения плоского штампа предполагаются заданными. При решении методам граничных элементов использовалось дискретное представление половины поверхности контакта с помощью двенадцати линейных граничных элементов разных раз- Ггаеа 5 Сшашггчесхие згдачи пмории упругости 7,0 1,5 1,6 чй О 16 Дгдр 5 и ! о,х ~о-5 нг»а т ч. М год рсщ и«я х 5ОЧ п.е — 0,724 — 0,826 - -1,824 — 0,908 — 89,28 — 113. 16 0,0 — 77,69 — 133,92 — 330.
64 О,Π— !51.87 О,О 107,93 0.0 †.3,14 0,0 — 1,2!Π— 2 038 — 0,234 14 !Б !6 17 Метод грпиич- нмх глсмен- тон 5 реи,ч»,» 17 — 89,27 114,43 0,0 — 77,67 0,0 — 133,91 — 1,208 — 326,47 — 2,038 0,0 — 0,234 — 152,00 О,О 110,50 0,0 — 3,35 — 0,735 — 0,842 - - 1,841 — 0,917 14 16 16 17 Точное рщоенне и г ЭО' Эг5' П' !! 5' О' ЭС' 61,5' М 21,5' 5' Д Угон В д тще а О 6 Рис 5 33. Иоыеиение иепРЯщепнЯ о г нг конт! Ре ЛЗ !а — »' —: О 45; б — г' .. О 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
