Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Действительно, в трехмерном случае получаем следуеощее выражение: иГ;= !(3 — 4ч)]пебц — г,,г,! г 6»г], (5.135) — ! 7 — вч которое, как можно видеть, отшшается постоянным слагаемым от ныражения (5.56) для фундаментальных перемещений. Это Горио у 244 Стати«э«и«э эо<Ъ«и мэррии уируиити а для двумерного 5.14,2. Центробежнзя нагрузка Ь, =- — Роэтивэеииэврх«, (5.145) Ьг = йыхь (5.146) (5.138) ! в.;+ в,' 8'= Р в в« вэвэ вгвэ вэв! 1 в.'.„'.!- в', — в„в, В'Иээ иээ + Вэ (5.147) В,=)'Р,бг, (5.139) В 81«) (зх (хб)в ) — ба. + 2(! — «! 'ь ээ' дхт (5.149) отличие, однако, не является важным с точки зрения теории, поскольку оно соответствует лишь перемещению тела как целого. Тем не менее при выборе фундаментального решения надо учиты.
вать условие совместности, которое означает, что, когда речь идет об обсуждаемых здесь задачах с объемными силами, следует в уравнение (5.56) подставлять выражение (5.135) для и,"7, В дальнейшем будут введены обозначения В,. н Вэ отдельно для каждого частного случая. Детали различных форм применения теоремы Остроградского — Гаусса можно найти в статье !37!. Подстановка выражения (5.!25) в формулу (5.126) дает Вэ =- 1 (бэь ии — 2 1, б!и. «!) Ьэ э)!1, (5.136) 1 где, как легко видеть, можно легко выполнить преобразование к гравитационному внтегралу. 5.14.1.
Гравитационные нагрузки На тело с постоянной плотностью р, находящееся в поле постоянных гравитационных сил, действует постоянная объемная сила с компонентами Ь1 = рйр (5.137) При подстановке этого выражения в формулу (5,136) получаем граничный интеграл ! В! Ьэ ) (б11, и 07«, ! пи«(Г ( -.«) г который можно записать короче; причем в трехмерном случае 1 Г 1 Р! —.- з и ( Ьэпиг и — 2(! Ьиг ипэ~, (5,140) а для плоского деформированного состояния (двумерного случая) Р, =- — ! ~2)п — — 1~ (Ь,пэг, и — 2 Ьиг, ииэ)). (5.141) Кроме того, для напряжений во внутренних точках имеем аэ; = ) и;,ир«Вà — ~ р,".1«и«3Г , ') Зиэ(Г, (5.142) г г г где для трехмерного случая 1 г 1 5«1= — и г (Ь,«1;;Ьр.;)+ — ~тбб(п„,г,тЬ,» „.
— Ь и )-- 1 — — (Ь г, (п,г,! э птг э) э- (1 — 2«) (Ь,п; 1. Ьрп;))1~, (5,143) «эб = — (2птг,,„(Ь«г,1 4- Ьэг, !) + 1 — («6!!(2п г,иЬ,г„+ (1 — 2 !и — ) Ь по)— 1 1 — Ь„г т(п г! 1-птэб+, ' (1 — 2!п — ) (Ь о, —;Ьтп!))), (5 144) Рассмотрим тело, вращающееся с угловой скоростью в, ° Если ось вращения проходит через начало координат, та задача эквивалентна задаче с заданными объемными силами где е,ㄠ— абсолютно антисимметричный теизор третьего ранга.
Выражение (5.145) можно зацнсать короче: гДе У«1 можно пРедставить в матричной форме илн иэ1:= Р(6ыв в„— вэв!) Подставляя выражение (5.146) в формулу (5.136), получим В, =- и1и ) х! (б!и, — -2-7 — — --б),„и~ Н(). (5.148) Это выражение эквивалентно следующему: Стаппшггкиг гааапи шгории упругогпш Глшга 5 24а Приведенные выше выражения можно продифференцировать и получить напряжения во внутренних точках, В этом случае используется закон Гука в форме (5.127) и окончательное выражение представляет собой сумму выражения (5.142) и велячины В;,.
= ~ Я Тг(Г - — ~)гмТ лил г(Г . 26-(-Я-сгТг(бп, (5!68) где для трехмерных задач — (иаг, — — Зг,;г,г) ) и,г О+к, щл), (5.169) гг 4я (! — т) гк 1 "' 'и 1 ! .. 2т и для двумерных задач Отметим, что все представленные в этом разделе выражения для плоского деформированного состояния будут справедлззы и для плоского напряженного состояния, если о заменить на ч, а а заменить на а Наконец, для тех объемных сил, которые не рассматривалась в этом разделе, всегда можно использовать внутренние ячейки для интегрирования Описывающие геометрию функции, а также интерполнруюшие функции, относящиеся к таким ячеикам, были представлены в гл.
3, а формулы для численного интегрирования можно без труда установить. Здесь оказывается выгоднее использовать полуаналитическую схему, в которой для интегрирования применяешься полярная система координат г, ЧЧ О. В этой процедуре благодаря самой природе фундаментального решения Кальвина совсем не сложно выполнить интегрирование по г и устранить сиигулярности. Интегрирование по углам ~р и О можно выполнить численным путем, но так кзк при этом сннгулярность отсутствует, то можно брать меньшее число точек интегрирования. Описание этой процедуры дано в гл. 6, где обсуждается нагружение, обусловленное нестацпонэрным температурным по. лен.
5.15. Осесимметричные задачи В риде технических приложений инженеры сталкиваются с необходимостшо исследовать напряжения в трехмерных течах, геометрия и характер нагрузки которых являются осесиммет- рнчными. (.юда относятся задачи для нагруженных внутренним давлением сосудов, некоторых видов трубопроводов, вращающихся дис.
ков и различного типа контейнеров, и здесь вполне естественно использовать более точные и эффективные процедуры решения, в которых учитывается особая симметрия задачи. Начав с фундаментального решения для трехмерной области, всегда можно с помощью соответствующего п1и р'кг м~($, х) =.— Т'(5) Р(5) ма($, х) Т(х), (5.171) где мк получается из выражения (5.55) при х, = г соз гр, хк = = г з)п ~р, х, = г; Т вЂ” матрица преобразования координат, матрица Р используется для представления перелещеняй м*, соответствующих единичным нагрузкам с новым направлением. Эти матрицы имеют внд ~ соз гр з1п гр 0 ~ з1п гр соз ш 0 0 0 1 (5.172) (ГОЗЧ . З1вгр) ' 0 01 Р= 0 (созм 6 МпйГ' 0 .
(5,173) 0 0 ! преобразования координат ныразить хг фундаментальные перемещения в полярной системе координат г, Чг, г; опРеделЯемые фоРмУлой (5.55) пере- р . озт. 1( а хр г и самещенпя можно выразить через стоки «оорлипаг. единичные сосредоточенные нагрузки, приложенные в точке $ параллельно базовым векторам ам еа и нш н получить перемещения в точке х в цилиндрической сйстеме координат (рис. 5.37), а именно; 25! йдб Стотоееские задави теории дярааости Выражение (5.171) можно теперь проинтегрировать и полъчить искомое осесимметричное фундаментальное решение (кольцевые нагрузки) а виде ек и,'уД, х) = — ~ й);Я, х)арф), с, )=г, Чу, г, (5.174) о где !рнс, 5.38) перемещения и,*, ие зависят от чг. Рнс.
З.ЗВ. Кольцевые нагрузки (а — радиальная; и — касатезьная; а — осевая). Перемещения г (х) па произвольном круговом кольце с цевтром на оси можно выразить с помощью фуикцпй Лежандра нулевого порядка и их первых производных 139, 40): и,', =, ~(3 — 4о)Я+!м(у) -г- —,,! 1, ирг = О, У» дй,.суа1 ш '(! — )О)гг. ! 2 (Е„,!21 у, х дО„,) Шгд(1--,)ир~. ~ 2 Ь~ Д У дт ! ив, = ие, = О, иее =- — О+о!я(у). еги О !грг (5.175) х ! О+!гз (т) ( г ) дΠ— сгя и,', = +(у — — ) !Вк'(1 — и!Срасгг ! 2 ', и г "т хь дО-сгя 1 и,'я=О, и,',—.. (3 - 4о)6 !га(у) — " - !Вк*(! я) С ~/д, ~ ду где испольэуюшя следующие обозначения: )с = г(5), г = а(х), Л = г(й), 2.—..
с — а, г = г(х), у = 1 — , '[ук+ ()7 — г)Я)!(2Иг). (5,176) Кроме того, функции Лежандра Яь!гз и Я .пя н их производные в выражениях (5.175) можно выразить через полные эллиптические интегралы первого н второго рода; Я~.!гз(У) =- уйК(ш) — — „Е(т), д = — ~К(гг!) . —, Е (ш)~, 2 дрьгуя Ь Г т (5.177) дО- !гя(т) 6 !р(у) =-йк(ш), „=,, Е(„), где К (ш) и Е (гп) — соответственно полные эллиптические интегралы первого и второго ряда, ш н й — соответственно параметр и модуль эллиптического интеграла т = 2/(1 + у), й = ьф и.
(5.178) Напряжения для этого случая можно получить, используя соот- ношения для перемещений в цилиндрической системе координат днв 20е Ги, дя, ! — е днах а =6 —, а = — ( — '+ — '+ — — ). Щ т=! — 2о(, дг о да )' (5.179) Подставляя в (5.179) выражения (5.175), получим фундамен- тальные напряжения, от этих напряжений можно затем перейти к уснлням на границе Г (х), используя единичный вектор внешней нормали, что дает : ==". 1 — — '"( — "' — ": )1"-- (,Ш д,) -1-6! — "+ — ) п„р, = рек = О, дг дг/ р,„= 6~(+е — — ео~)п,-ь д" п,1, Р,', = — ~(1 — ч) — *' -1- т( гт+ — **)~ и, + 6( — *'+ — „") и„ Статичесние задачи теории упругости 253 Гнала 4 р,'и = О, р,', =- ! '[(1 — ч) -~-ч( + д, )1Л, -[ (5. 180) Здесь при дифференцировании фундаментальных перемещений можно воспользоваться следующими соотношениями [41]: к!К(т] Е(л!) (1--т) К (т) бЕ[кн1 Е(т)- -К (лй бт 2т(1--т) ' бт 2ли Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
