Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рнс, 5.34. Задача о гледком ютемпе: о — р счет ея сгс» Π— п»иеиеиие конг» ге«го ншряпсини под»пи* грщпщн, «р ч перов. Тринадцать граничных узлов располагались вдоль рассматриваемой части границы в соответствии с фориулой у = 5,5 (1 — а))щ, где у — кеордгшата узла с номером а.
Дополнительные данные были получены для четырех внутренних точек (рис. 5.34, а). Отметим, что симметрия учитывалась с помошшо процесса прямой конденсации с автоматическим интегрированием по отражеш!ым элементам, не требующим какого- либо дискретного представления оси симметрии. Контактные напряжения на представленной в дискретном виде границе на рис. 5.34, б сравниваются с аналитическим решением 1321. За исключением некоторого возмчщення в усилиях на очень малснькоч элементе, который граничит с узлом 13, сннгулярность на крае штаьша не должна, по-видимому, искажать результаты.
Сказанное подтверждается и точностью результатов расчета для внутренних точек (табл. 5.2). Пример 5Л. Здесь нсследуется полубесконечная пластина с круговым отверстием, расположенным вблизи прямолинейной границы 1!4!. Задача рассматривается для двух случаев нагружения: единичного нормального давления, действующего по поверхности отверстия, и растягнвагощего напряжения б„, направленного параллельно прямолинейному кран!. Для указанных обоих случаев напряжение о„, возникающее на свободной от нагрузки границе, сопоставляется с результатами аналитического решения Джщйрр! 1331 и Миндлина 134!.
таблица 5.2. Заннча о гладком штампе. Решения для ннутреиннх точек 'гздес» и — о — р ншг» ис. ду и«оден и»е ч ниеи ере еще и «еде п.и» «р ещсне ипи Сттпссчткие отдачи тчерин влррнтопи 240 20! ь 'о '% й о 2 О 0,0 СО 2,0 у/г 5.14. Объемные силы Расстояние между центром отверстия и прямолинейной поверхностью сравнительно невелико и составляет 1,34 радиуса отверстия. При решении методом граничных элементов дискретное представление необходимо применять только для поверхности отверстия, причем вследствие симметрии задачи здесь рассматривалась лишь половина этой поверхности.
Результаты для первого случая нагружения (рис. 5.35) относились к нескольким расположенным на прямолинейной границе Рнс 5.36. Круговое шверстне вблнзн прямалннейной греннцы, негруженнае рзвномерным внутренним давлением. Нвпрнжевне ив направлено вдоль свобод. ной от нагрузки прямолинейной греннцы точкам (рассматривавшимся кзк внутренние); для представления полукруга той же площади использовалось 24 граничных элемента. Второй случай нагружепия был исследован с помощью простого наложения решений; напряжения рю равные скалярному произведению растягнвающего напряжения и единичной нормали к границе отверстия, прикладывались на круговой границе и соответствующие результаты суммнровалвсь с полем постоянных напряжений ду.
Для иллюстрапии характера сходнмости метода результаты, полученные при использовании 6, 12 и 24 граничных элементов для дискретного представлешэя полукруга, сравиивалнсь с аналитическим решением (рнс. 5.36). Следует упомянуть, гто при увеличении расстояния между отверстием и прямолинейным краем для получения той же точности можно было брать меньшее число элементов. Для первого случая нагружения при г(гг' = 1,81 использование 12 элементов давало погрешность порядка 2,7 % относительно максимального нап яжения, при г(с»' = 1,34 погрешность составила 6,5 % оследние два представленных здесь примера показывают некоторые возможные способы применения методов решения с использованием полуплоскости.
Очевидна, что подобные задачи более эффективно решаются с помощью изложенной процедуры, чем при помощи фундаментального решения Кельвина, для которого требуется вводить элементы на свабюднпй от нагрувкн поверхности. 3 ягс Сач 0 0,0 СО с,б 2,0 у/г ' Рнс. 6.36 Рзспределенне нзпряженнй вблизи кругового отверстия около прямолинейной границы прн действии рзегягнвеюмего непряження аи, приложенного нв бесконечности Нзпряженне ив непрзвлена вдоль свободной от нвгрузкн прпмолннейной грзннцы. С вЂ” нэлнтчческни р , г — Еэ *лу гээ чннч * . э ттс элснтгэ ис у уу н нв 3 — !т эле е , ч — Б эмиеэт* .
Число таких элементов в принципе следует неограниченно увеличивать или по крайней мере выбирать его очень большим для получения достаточно точных решений. В работе 1351, для того чтобы уменьшить шсло элементов, при дискретном представлении свободной от нагрузки поверхности было предложено ввести специальные элемейты, распространяющиеся на бесконечност~, но законность их применения требует дальнейшей проверки. Наиболее точный и наиболее эффективный с вычислительной гочки зрения подход состоят в использования фундаментального решения для полуплоскостн, что исключает необходимость введения какой-либо численной аппроксимации на свободной от напряжений поверхности. Поскольку в ряде практических приложений исследуемых задач объемные силы не равны нулю, приведем здесь также процедуры, которые позволяют оцепить их влияние.
Сразу же видим, что если объемные силы рассматриваются в соответствии с уравнением (5.87) (равд. 5.7), то требуется вычисллть интегралы по области (см. уравнения (5.77) н (5.79)), Очевидно, что это требует при интегрировании разбивать область, для нагорай рассматривается задача, на внутренние ячейки. Сказанное справедливо в общем случае, но ва многих конкретных случаях интеграл по области можно соответствующим образом свести ]18, 36 —.38] к поверхностному интегралу, который можно определять численно тогда же, когда определяются граничные интегралы (равд. 5.7).
Эта процедура может применяться к ряду обычно встречающихсл. объемных сил, таких, как постоянная гравитационная нагрузка (т. е. собственный вес], центробежная нагрузка, обчсловленаая вращением вокруг неподвижной оси, н влияние установившейся температурной нагрузка. Ниже этн три частных случая ешследуются с помощью единой процедуры, предложенной Дансоном 1371: повсюду используется вектор, соответствующий фундаментальному решению Кельвина (для трех- и двумерных областей). Следует атлеетить, что с равным успехом даннал процедура »!ожет применяться н с фундаментальными решениями для полупространства. Обозначим через 6,"; тензор, который связан с фундаментальным решевпем ие; (формулы (5.55) и (5 56) равд. 5.3) следующим соотношением: ие! = 67 .
ы — — 61», »1, ! 2(! — ! (5. 125) где точна так же, как иец можно рассматривать как три (в трехмерном случае), так и два (в двумерном случае) вектора перемещения, каждый из которых соответствует е-му направлению единичной нагрузки; 6]! можно рассматривать как три или два вектора, каждый нз которых соответствует 1-му направлению действия единичной нагрузки. Для того чтобы упростить это представление, интеграл (5.77) от объемных сил напишем в виде Ве =- 1 е»7!Ь е)Г].
(5.126) Кроме того, можно учесть влияние температурных деформация, представив в соответствующей форне (см. выражение (5.34)) аж и подставив его в уравнение (5.41), что дает (5.!27! нли ам = а'» — 26- — аТб,», !4» ! — ч (5.128) Стпмппеиепе ппдпеп еле»реп рррр»ее»ее г.!е а — коэффициент линейного температурного расширения, Т -- разность температур.
Подставляя выражения (5.128) в уравнение (5.41), придем к двул! интегралам вида — ] аые» Ю == — ] а,'»и!» »ГГ) + 26 а ~ Тбегпеге)(1, (5.129) а и где первый интеграл в правой части соответствует первому интегралу в левых частях соотношений (5.43) н (5.44), а последний интеграл в уравнении (5.129) остается неизменным. Поэта»еу считая, что каждая приложенная в точке нагрузка действует независимо, к правым частям выражений (5.53) н (5.77) следует добавить следующий интеграл: Ве —.- 26 —,' ' а ~ ее»»Т6!» е(11, е! который можно записать в форме ! -!-ч Ве = 26 ! 2 а1 и), Те)»е Выражение (5.131) справедливо для трехмерных задач н двумер- ных задач о плоском деформированном состоявии.
Длл случая плоского напряженнога состояния следует, как и прежде, вместо ч подставить ч, а коэффициент а заменить на а===а а 1+» !+ч !+2» ' (5.132) Для того чтобы преобразовать интегралы по области (5.126) я (5.!31) в граничные интегралы, введем упомянутый выше тензор. Тогда полу~им для трехмерных задач бц == 8 а ебц, ! (5.133) а для двумерных задач— бц = зяа ее Гп — бц, ! ! (5. 134) е (5. 131) Относительно двумерного случал здесь следует сделать важное замечание. Тогда как длл трехмерных задач при подстановке выражения (5,133) в тензор (5.125) получаются точные формулы дли фундаментальных перемещений, присутствующих в уравнении (5.55), длл трехмерных задач эта не так.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
