Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 36
Текст из файла (страница 36)
С этой целью можно найти предел интегральных выражений (5.68) нлн (5.80), когда точка приложения нагрузки движется к границе. Однако подоб. ная процедура, по-видимому, пе ггриведет к точным результатам (за исключением случая свободной от напряжений поверхности, когда используется фундаментальное решение для полупро- странства), и, более того, оиа дает сии"> гулярные граничные интегралы, которые хт можно вычислять только в смысле главного значения (19, 2!!.
Менее громоздкий подход состоит в восстановлении части у, компонент тензора папряжеяий путем представления усилий в локальной системе координат и получения соотношений между дег[юрмациямн и перемещениями в направлении касательной к границе [22, 23). Эта процедура не требует интегрирования н приводится ниже. Возьмем трехмерный граничный элемент общего вида с локальной системой декартовых координат, две осн которой касательны к поверхности элемента (рис. 5.!2), С учетом выражения (5.94) для узловых перемещений в локальной системе координат получим Гепопиытигге опдоии п>еорио улругвспю Для двумерных задач процедура аналогичяа, различие состоит лишь в том.
что требуется найти только компоненту деформации, тогда можно записать (рис. 5.13) ег, -- г)йг»дх>, (5.1 13) и окончательные выражения для плоского деформпрованного состоянвя примут вид аы — (1(1 - т) (таях,'- 26еы), агх =- Рт, ам — Рю (5.114) В случае плоского напряженного состояния и следует заменить ца т. Рис. 5.14. К представлению о двойаых уолах для линейных элементов. Рис. 5.13.
Двумерный граничный елеыеит общего авда и локальная система иоордииат, сеяааииая е точкой, в которой исследуется иапряжеииое состояние. 5.12. Разрывы в напряжениях, возникающих на поверхностм Для того чтобы адекватно описать разрывы напряжений на границе, можно воспользоваться представлением о двойных точках. Например, в случае двумерных задач вводится представление о двух граничных уалах с одинаковыми координатами, между которыын не помещается какой-либо граничный элемент [16, 24, 25) (рис, 5.14, а).
В этой процедуре связь между элементзми определяется так, как показано на рнс. 5.14, б. Тогда разрывы напряжений можно представить, задав раза>очные значения напряжений в узлах 1 н )г. Здесь следует отметить, что, поскольку перемен>ения в обоих узлах одинаковы, в каждом направлении имеются две допустимые комбинации задаваемых граничных условии: 1) в узлах 1 и й задшстся напряжения; 2) в узле [ задаются напряжения, а в узле й -- перемещения (или наоборот).
Единственным ограничением здесь является случай, когда оба узла имеют компоненты перемещений с одинаковым направлением, ваданные в качестве граничного условия. Это приводит к сингулярной матрице А (подобная возможность привела бы к нарушению условия непрерывности перемещений). Тем не менее этот специальный случай (рнс. 5 15) обычно ассоциируется с задачей об угловой точке (отметим, что на гладких частях границы з Сшаюичгшне задаем шеарнн упоугогеш Глпеа о згенее эпемент зпннао е о Рнс.
5.16, Внутрепггне грз. пвцм подоблзстсй (а — трн подоблзстн (с углами); б— рвзрывные элементы). Рнс. Ьп5, Дзоднгй узел в угловой точке с звдвннымн перемегценнямн. Рнс. 5.17. К решенно задач с угловыми точ- квмн. 2,8 "ы бнечс могут также встретиться другие комбинации).
Поэтому здесь можно воспользоваться процедурой, оп1шанной в работе (25): поскольку внешняя нормаль к границе претерпевает разрыв, предположение о единственности тензора напряжений и инвариантности следа теизора деформаций в двойном узле (т. е. сумма „г~ з„„+ ез„+ в„нвляется инвари- антом) приводит к двум допол- 1 нительным уравнениям, которые можно использовать для устранения сингулярности матрицы А.
Трехмерные задачи можно исследовать, используя те же методы. Поскольку идея введения узлов с одинаковыми координао тами может потребовать задания более двух узлов в одной и той же точке в трехмерном случае, вклад , '-Л' каждого элемента в общую матр ицу 6 можно выдел ить в левую л часть так, чтобы в каждом узле Рнс. 5п8, двскретное представ- было толькотРинензвестных(261.
пенне сфернческо2 полосой с по- Математически это эквивалентно мощью грзннчных злеыентов введению не только двойных, но (шесть элементов: двз дн" цзлгш и тройных и т. д. узлов и не падре .1- четыре длн полостн; 28 уз. лов). зздзчз решалось дзв следу- вы1пает действительный размер юшвх знзченнз пзрзметров (1 = окончательной матрицы А. =0,254 м, ш = 0,127 м, о= Во многих случаях, напри- Х Ю Н)мв, ч .= О,З). 68,95 мпз, е = 1,248 х мер когда объединяются не- сколько подпбластей (рис. 5.16), любой пз описанных вьппе подходои может оказаться слишком громоздким прн численной реализации. При этом преимущество использования разрывных элементов является еще более заметным, поскольку полностью устраняется проблема угловых точек.
Такой подход можно использовать для произвольного вида углов (рис. 5.15), и в данном случае обычно получаются достаточно точные результаты. Подход состоит в использовании двух узлов ддя угла, близких, но не совпадающих с углом !9). Это расстояние может быть сколь угодно малым (равным нулю для двойного узла), единственным ограничением являетси случай, когда для соединения двух узлов используется слишком малый элемент (рис. 5.17). Одаако такие элементы не 2,8 ' О О,т Од О,з О,з 1.О ог » Рнс. 5 19.
Концепт рпцн» озпрнменна в сферической полостн(неч — смене 8 д . о)11 — (шсш)М) сплошная лнннн взнгз нз рзботы Пе~ерсонз1точки соответствуют четодзм грзннчнык элементов. требуются на практике, как это показано для двойных узлов, но некоторые программы (см., например, работу (9)) все еще гшяользуют такой подход. В этих случаях следует соблюдать осторожность, с тем чтобы длина е не стала слишком малой. \ Пример 5.1. В качестве примера применения описанного выше подхода рассмотрим задачу о конпентрации напряжения в сферической полости (пример взят из работы Крузе (271).
На начальном этапе своего исследования Крузе воспользовался уравнением, аналогичным (5.53). Прп дискретном представлении поверхности рассматриваемой в задаче области (рнс. 5.18) он чог бы выбрать четырехугольный криволинейный поверхностный элемент. (Треугольные элементы, показанные па рис. 5,18, являются вырождеапымп и имеют по существу ту же форму.) Лля того чтобы описать кривизну поверхности, Крузе использовал квадратичные функции цри задании расположения элементов на поверхности, и поскольку функции, пнтерполирующие поверхности элемента, также были квадратичными, ю применяемая им формулировка имела изопараметрическую форму (гл.
3). Учет симметрии задачи поэполнл представгпь поверхность с помощью всего шести элементов. Представленные на рис. 5.!9 зависимости концентрации на. пряжения от параметров геометрии полости показывают хорошее 230 Г«аэа 5 Статичткие задачи пмарии улрдеости 2М ха навар«иос«ь О х,= О) (грант гргщн«е («'х' 1) Пзеео«чос«ь д («,= О, г„ ас«м« Ееылвщ л Осуши«а . Оа овая повар )с ь «г о узлавь ° точен огщаяг г о« «рая иа чеуеергь дггьы элемеига е уллавь е щч и.згсгоуг ча чохов«у длищ згече «а ".-срач« -)е иим 1,О (,ва в (,ОО, О' 20' ба В х, Вч ива«араме«рееве«ие згемеь«м ла щра «е «пеши и Рис.
5 20. Дискретное гредс«авлеипе с по щщыа граничных элементов в аадаче о круговой «оещиие Перел«суры задачи:ш = 0.127 м, Г:= 0,254 м. Рпс. 5.21. Изменение перел(ещеннй и во внутренней круговой грещине в зависн. моста ог расстояния Л до фронта трещины Пплощяая линия соогветс«вусу «очному ре(пенлщ; пири«оные — рещенщо методам грзянчпых элс «еи«ав Парв««ехРы задачи: 5=.. 25,4 мм, а = 68,95 МГ!а, Е --2,07 !Оп И«мл «. 0 Э ) — уззаьыегочкв, агсгаещнеоткре» е че«вергьдли мале е гз ( вв«р л В ° . еек 2 у«заеме гочни, гсгозщие ве че«верхе длним злеиевга (лняаалма з ков): 3 -- узлвме гоч «, гегоя (щ в оло яиу дл ль«элем н «( яо««и Ф зм а: ч — уал»ь ха ви, гсхешцне ев иалевняу длин зле м (.
«1 1 « »а. соответствие между опубликованными результатами, на этом же рисунке приведены результаты, полученные с помощью более простых линейных граничных элементов. Пример 5.2. Крузе (27( рассмотрел также задачу о распространении трещины, исследован напряжения в окрестности кру- говой трещины с по. 1,16 мощью квадратичных грл- ничных элементов. На рнс. 1,62 5.20 покааано дискретное представление с помощью 1,26 граничных элементов чет- верти полуцилиндра с вну- 1,21 тренней и поверхностной трещинами. Четверть полуцилиндра здесь рассма- 1,26 тривается в силу симмет- рии задачи. „1,16 На рис. 5.21 приводятся результаты для круговой трещины, полученные в численных расчетах, для Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
