Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 32
Текст из файла (страница 32)
обусловленный симметрией теизора С„м принцип взаимности 1 а, нар г(й =- 1 е,апта г(й, (5А4) получим ) а,'и,, наг(й,— ' ) Ьаи;г(й— — ~ Рамат)à — ~ Рипа г(Г ,'- ~ иаРаг(Г ! ~ ииР» ИГ 15А5) г, г, г, !' 1(оскольку объемные силы являютсп известными функциями, второй интеграл в левой части уравнения 15А5) не будет давать дополинтельиых иевавестиых. Однако первы й интеграл содержит неизвестные перемещения в области й, граничные же инте.
гралы в правой части уравнения содержат в качестве неизвестных только перемещения и усилия на внешней поверхноспг тела. В соответствии с идеей метода граничных элементов необходимо исключить интеграл по области (первьш интеграл в левой части уравнения), задав поле весовых функций, которые удовлетворяют уравнению равновесия в области й. В соответствии с формулой (5.30) напряжения можно представить в форме (5 А2! 5 йт.!. Тождество Сомпльяны В данной кинге представление о невязках ц нх минимизации используется для того, чтобы стали более попятными твпы используемой аппрокстгмтацггн и чтобы метод граничных элементов распространить на случай нелинейных задач. Однако при использовании граничных интегральных уравнений в статических задачах теории упругости обычно начвиают с задания тождества Сомяльяпы.
Это тождество можно получить нз соотношений взаимности (5.44) следуюцгим образом. ,а Рис. 5.2. Трехмерное тело с объ- емом й п граннней Г. Рис. 5 3. Обобгненнаи абаасть среды Й*+ Г*, ааилгочанщан н саби тело Р + Г с тена жс т пру го ми саойстначи. п,ае,"., г(й = ) есип,'и г)й, [6.46) Отметим, что здесь предполагается существование решения для п)а, удовлетворяющего разрешающему уравнению, и, кроме того, считается, жо действительное решение удовлетворяет уравнениям равновесия. Такое предположение справедливо для прн.
Рассмотрим тело, занимающее область й —, Г, где à — граница, й — внутренняя область (рис. 5.2), и находящееся в состоянии равновесия при действии некоторых заданных нагрузок н при заданных перемещениях. Для этого состояния здесь введена система обозначений ам, ем, им р,, Ьь Возьмем далее область йа с границей Г* (она может быть и бесконечной), которая содержит в себе рассматриваемое тело й -1- Г (рис. 5.3). Как и прежде, предполагается, что эта новая область находится в состоянии равновесия, которое характеризуется величинами и,',, е,*ь и,*, рт н заданными объемными силами Ьг", о которых будет сказано ниже.
Если упругие характеристики в обоих случаях остаются одинаковыми, то интеграл взаимности (5.44) получается как следствие простой симметрии введенных теизоров, а именно: »об !.сага 3 Сосассссссеосссе гадача теории «ар«гасам Данное равенство соответствует второй теореме Веттп о взаимности работ. Видно, что первое слагаемое левой части этого равенства рбвио (с обратным знаком) апа.топшнотсу слагаечопу в»авие- нии (6.45), а именно; ( исо,пес(1» — .-- ) Ьеис. с!1», сг и (5.48) Такич образом, уравнения (5.47) и (5.45) ~ов~адают, если вьшолнясотся граничные условия.
Уравнение (5.47) можно преобразовать, пола~ая, что компоненты объемных сил Ье соответствуют положителы ы т ьиым единачным «ей с внасосредоточенным нагрузкам, прнложепссыги в точке й 1»* правлении каждого из трех взаимно ортогональных единичных векторов ес, что дает (5 49) Ьс == сх (в, х) еб где Л (С, х) — дельта-функцигс Днрака; й.-- особая точка; х ~- Ес (»" — точка простряистна.
Напомним, чго дельта-ф с ьта-функция Дирака обладает следующими свойствами: Л (ь~, х) -- О при „- ~х Л (к, х) =- со при "; —.= х, (5 50) ~ д (х) Л (ш х) с«(? (х) = а (р В соотнетствин с этим, если й ( 1», первый я ег,. ф р у й ' цтеграл в срормуле (о 47) можно представить в виде ~ Ь)и с(с? — ис (к)с,. (5 51) блпжеппых решении, носко.п ку папряскенное состояние внутри села оудет описываться кочбппацпеп рспсснпй для внеишеп области (обозначаемой звездочкой), которая по определению находится в состоянии равновесия. Отметим, по при использовании полиять указанные метода взвешенных неаязок не требуется выполнять условия.
пелью полу сить уравишшя равновесия в интегралах по ссбъсму возьмем по частям испегралы в равенстве (5.46), в рез лътате чего ссолучссгс ! Ь»ссо с?1»,' ! ргие сйр — ! Ьсеис с?1» -' ~ рс,иг с!Г, 15 47) !' а Кроме того, если прикладываемые в точке сосредоточенные нагрузки считать незавнсямымя, то для перемещеная н напряжения со звездочками можно написать и,* .= иге ($, х) ес, р,* = рс, ($, х) ео (5.52) где и,*! (5, х) и рс! (Я, х) представляют собой перемещения и напряжения, возникающие в точке х в «-м направлении и соответствующие еднпнчпой сосредоточенной нагрузке, действующей в с-и направлении (направлении единичного вектора е;) и приложенной в точке ш Из сказанного следует, что уравнение (5.47) можно перепи.
сать для каждой из трех компонент перемещения в точке 5 в виде и, (3) =-. ~ и,', (3, х) р, (х) с?Г (х)— г ( р (е с)и, (х) Л'(х) 1 ~ и7;(Ц, х) Ь, (х) с(Г(х). (5.53) г г Уравнение (5 53) известно как тождество Сомильяпы для перемещений 181 и было получено нм как взаимное с сингулярным решением уравнения 1-1авье би,' о, + —,и„* г;+ Л (оь, х) е,.—. О.
(5.54) Решен!«я этого уравнения называются фундиментильными ресиениями. Уравнение (5.53) было получено иным способом — путем рассмотреиня взвешенных невязок 19, 101. Подобная процедура обладает тем достоинством, что носит более общий характер и позволяет в дальнейшем распространить подход на более сложные дифференциальные т равнения.
5.3. Фундаментальные решения Следуя определению фундачеспального решения, введенного в предыдущем раздаче (сч. уравнение (5.54)), здесь будут получены другие сингулярные решения уравнения Йавье применительно к рассматриваемой области По 1- Ге (ряс. 5.3). В первоч пз рассчатрнваеных классов 1»' -- бесконечная упругая среда и соотвегстееино Г* — бесконечная граница. Этот случай соответствует полученному Кельвпном 11! фундаментальному решению.
Тогда соответствующие выражения для фундаменталс.ных перемешений [сч. выражение (5 52)) имеют вид 19, 101 и', Л, х) - — — — —,— И3- 4т1бо 1 г,«,,1 13.,65) !пап — зш 208 для трехмерного случая и и))($, х) =- „„, [(3 — 4«) 1п(г) бгг-- г,,г, !) (5.56) для двумерных задач в случае плоского деформированного со- стояния. Для напряжений на границе имеем р))($, х) == и [[(1 — 2«) ба —, [)г,г;! '!' чаи(! -«) гч ! ' ' Эл — (1 — 2«)(г, лл, — г, гл!)~, !5.57) где сл =- 2, 1; 6 — -- 3, 2 соответственно для трехмернык задач и задач плоского деформированного состояния. Здесь =- г (5, х)— расстояние между точкой л„к которой прикладывается нагаузка, и некоторой точкой х пространства, производные этой функции берутся по координатам точки х, а именно: г = (г,г,)' ", г; — —.
х, (х) — х; ф, г,, — дг)дхг (х) =- ггг'г. !5.56) Деформации е,'и в произвольной точке 4, обусловленные единич- ной сосредоточенной нагрузкой, приложенной в точке 5 и направ- ленной вдоль г-й оси, имеют вид в,ы($, х) =- [(1 — 2«)(г, лб„г-г,,б„)— .-! 8ии (! - — «) агп — г,бз, - [- [)г, лг, гг, „], (5.59) а для напряжений можно написать а)лг Я, х) = „[(1 — 2«)(г лбг; !-г,,б,л — г, гбы)+ — ! и -! [)г, гг, гг, л). (5.60) Приведенные выражения для плоского деформированного состоя- ния будут справедливы и для плоского напряженного состояния, если «заменить ца в = лд(1 + «). Для того чтобы показать некоторые особенности такого фун- даментального решения, а также сделать более ясным последую- щее изложение, рассмотрим переход от трехмерной задачи к за- даче о плоском деформированном состоянии. Сразу отметим, что в трехмерных задачах перемещения и!) стремятся к нулю прн г — «- аа.
В двумерных задачах это ие так, поскольку и,"! — — аа при г- «а из-за присутствия логарифмической функции в выра- жении (5.56). Такое поведение в двумерном случае не представ- ляет собой чего-либо неожиданного, Например, с физической точки зрения можно рассмотреть случай палубескаиечного стержня, координата которого х изменяется от х (Л) =- О до х (В) -л. оа. Предполагая, что конец В жестко закреплен, и Сгл«мп пгппг пылали глг«рлл упруюглы содержащей интегралы вида ! 1 — „,-) г)г, - — 2! ) г=[г; , 'г)с, зг ., (г,'.! г')«- гт (5.66) Из приведенных выше соотношений можно легко получить выражение (5.56).
Отметим, что перемещенвя равны нулю в точках х (зависящих от направления действия нагрузки). Второй класс фундаментальных решении относится к задачам для палупространства, В этом случае область Кальвина разбивается бесконечной горизонтальной плоскостью Г и нижння часть этой области обозначается о л -1- Г*. Таким образом, теперь рассматривается палубесконечная среда с плоским участком Г', 5 65 прикладывая в точке Л осевую нагрузку в положительном направлении, получим в стержне постоянные лафар«!анни. Тогда после интегрирования найдем, что и (Л) — «аа. С другой стороны, если перемещение в точке Л отсчитывать от некоторой точки С, которая ваходится на конечном расстоянии от точки Л, го пере.
мещение а (Л) будет конечным, а и (С) — О и и (В) -л- -«а. Этот простой пример ясно показывает физическую природу выражении (5.56) н может быть использован для обънснення перехода от трехмерной зада~и к двумерной путем интегрирования по координате хп (5). Итак, рассмотрим следующее выражение для перемещений в трехмерном случае: й,")(э, х) — и,'! — й;, =. — ! . [(3--4«)6„( — — — )-! '' ')1, (561) где перемещения и,', определяются выражением (5.55); и,';=..
=. и,"; (л, х) — перел«ещеиия и некоторой точке х, лежащей на перпевдикуляре к 1-му направлению действия силы, проходящем через точку ',. Кроме того, имеем хз(х) .= хз(х), г = г(5, х) =(гз-)-1)'~. (5 62, 563) Выражение (5.61) можно использовать для нахождения фундаментальных решений для двумерного случая с помощью формулы [и,*!(5, х))п„.„—— [ й))(5, х)с(хз(5), 1, ) -- 1, 2, (5.64) Граю а 210 Раааа заалзза аз за и з зааразз уаруахы л 211 представляемым поверхностью ? Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
