Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 41
Текст из файла (страница 41)
выражения (5.191) — (5.195)), Риццо и Шиппн ]54) рассмотрели задачу о круговом ортотропном кольце, жестко закрепленном на внешней границе и нагруженном равномерно распределенным по внутренней границе сдвигающим напряжением ро(рис. 5.41). При дискретном представлении использовалось по 48 постоянных граничных элементов одинаковой длины на внешней и внутренней границах кольца; характеристики материала (фанерв) были следующими 157]: 1 18,10-е ме/Н з„= 237,!О-е !ие/Н з„= — 0,852.10 " ме/Н В, = 20,3 1О в м*/Н.
Задача решалась для нескольких значений отношений г,/га (рис. 5А1), при этом внутренний радиус оставался постоянным. На рис. 5.42 приведено распределение кольцевых напряжений на внутреннем контуре для г,/г, —.— О, 3/7 и 3/4. Первый случай, как можно видеть, приближенно соответствует бесконечной пластине с круговым отверстием и имеет аналитическое решение !57]. Как видно нз табл.
5.3, для этого предельного случая полученные решения хорошо соответствуют аналитическим. Глава 6 Грнничеле елененнш е еадачак длл неунрутх тел Применение метода граничных элементов в задачах для неупругих тел 6.1. Введение Хотя о применении интегралъных уравнений в теории упругости было известно уже с 1960-х гг., только в последнее десятилетие появились первые работы, в которых рассматривались задачи для материалов с нелинейным поведением. Первая публикация на зту тему, появившаяси в 1971 г,, принадлежит Сведлоу .
и Крузе [1). Встатье рассмотрены полученные ранее первым автором определяющие соотношения для упрочияюшегося упругопластического материала, обобщенные на случай пластического течении сжимаемого аиизотропного материала; там же была дана модифицированная форма тождества Сомильяиы, включающая скорости пластических деформаций. Кроме того, ватой работевпервыебыло написано граничное интегральное уравнение для прямой формулировки метода граничных элементов применительно к трехмерным задачам, но там отсутствовали примеры и ие были получены интегральные выражения для внутренних напряжений, Авторы, однако, доказали существование интеграла по области, который учитывал влияние пластических деформаций.
В !973 г. была опубликована работа Риккарделлы [3], где были использованы условие текучести Мизеса (при изотропном упрочненин) для двумерных задач и кусочно-постоянное представление для пластических деформаций. В работе [31 не представлено явное выражение в интегральной форме для напряжений во внутренних точках, поскольку ее автор обнаружил сингуляриость интеграла для пластических деформацнй.
Автор преодолел зту трудность, взяв аналитически интеграл в слагаемом с пластической деформацией, после чего им была получены производные также в явной форме. Прямым следствием такого подхода было то, что при этом нельзя было исполъзовать какие-либо ингерполирующие функции, кроме постоянных. С помощью довольно громоздкого, но ясного способа были решены некоторые примеры, и автор сделал вывод, что полученные результаты являются хотя и ие полностью успешными, но обнадеживающими. Работа 13) сыграла большую роль не только потому, что была первой работой такого рода, ио также в потому, что заложила основы численного подхода для многих последуюших работ. Например, тзм было впервые дано представление о линейных граизчных элементах вместе с аналитическими выражениями для свободного члена. Кроме того, полученные в работе в явной форме интегралы для слагаемого с пластическими деформациями были до последнего времени едниственнымп корректными выражениями, которые можно было использовать.
В то же время Менделсон [2] представил и обсудил различные интегральные формулировки для задач с упругопластическим поведением чатеризла, а именно непрямую, прямую и прямую бигармоиическую формулировку, названную им полупрямым подходом. Были представлены частные решения некоторых задач для упругопластических материалов, включая тривиальное, записанное в явной форме выражение для аадачи о кручении кругового вала, и некоторые ранние результаты, отиосяшиеся к задаче чистого изгиба балки с нздрезом. Г!оследняя была решена с помощью тзк называемой полупрямой формулировки. В отличие от работ [1, 3) в работе [2] была представлена прямая формулировка, включая интегральное выражение для внутренних напряжений (в двух- и трехмерных задачах), Однако, как обнаружилось позже, зти выражения былз неверными из-зэ способа, которьш рассматривалось слагаемое, учитывающее пластические деформации.
В 1975 г.Менделсоном и Алберсом 14] было дано развитие работы [2), В их статье опубликованы результаты численного исследования задачи кручения стержня квадратного поперечного сечения в рамках прямой формулировки (вводилась функция искажения плоской формы поперечного сечения) и деформациоиной теорзн пластичности. Рассматривались случаи идеальной пластичности и деформационного упрочиения; сопоставление полученных результатов с решением методом конечных разностей указало на большие возможности такого подхода.
В статье воспроизводились некоторые дополнительные результаты для упоминавшейся ранее задачи о балке. Однако наряду с решением в явной форме, полученным с помощью полупрямой формулировки, была сделана попытка применить прямую формулировку с неубедительными результатамн. Спустя два года Мукерджи (б] опубликовал работу теоретического хзрактера, где детально рассматривается сведение трехмерной прямой формулировки метода граничных элементов к слу. чаю плоского деформированного состояния. В этой работе были частично уточнены уравнения, представленные в статьях [2, 4), и предложены модифицированные варианты ядер для интегралов с пластическими деформациями. Эти модификации целиком основывались на предположении о несжимаемостн материала при пластических деформациях и, следовательно, не могли быть справедливы для задач теории пластичности, где могло возникать объемное расширение (пластические потенциалы типа Дракера— (* Грани«нне влеменнен в задам«е дл«нврнругил еаел Глвла б 26! Пратера или Мора — Кулона).
В работе 116] также обсуждалось применение этой формулировки для получения решений в явной форме для некоторых простых задач. Еще в 1977 г. Шадонере [!1] «шпользовал прямую формулировку метода граничных элементов для исследования вязкопластической пластины с надрезом. В этой работе нспользованыоригинальные определяющие уравнения, а полученные результаты были подтверждены экспериментально. Представленные там интегральные уравнения основывались на учете вязкопластическнх деформация в форме «начальных напряжений», а при численной реализации использовались линейные граничные элементы и постоянные прямоугольные ячейки при интегрировании нелинейного слагаемого.
Стоит упомянуть, что здесь следовало бы использовать процедуру Рнкарделлы прн получении внутренних напряжений, поскольку соответствующие интегральные выражения, представленные в статье [1!], были некорректны. В следующем году основной вклад был сделан за счет получения формулировки метода граничных элементов для задачи о иеупругом поведении материала. В статье Би [6] приводятся соображения по поводу получения производной сингулярного иш теграла для слагаемого, учнтыва«ощего неупругие свойства материала (первоначально это было сделано С. Г. Михлиным [!7]). В работе [6] обсуждены интегральные соотношения для трехмерного случая н указано на существование свободною члена в интегральномм выражении для внутренних напряжений, о котором не говорилось ни в одной из предшествующих публикаций.
Однако его довольно сложно рассчитать численно, поскольку соответствующий интеграл по области (для неупругой составля«ошей) требуется находить в смысле главного значения. Тем не менее в этой работе впервые написано корректное интегральное соотношение. Результаты работы [6] побудили Мукерджи н Кумара [!01 воспользоваться описанной выше процедудой Риккарделлы. В этой статье ими было рассмотрено неупругое, зависящее от времени поведение материала в задачах о плоском напряженном состоянии со степенным законом ползучести, а также с недавно опубликованными определяющими соотношениями Харта (для металлов).
Использованная ими процедура была основана на схеме типа предиктор — корректор при интегрировании по времени с кусочно. постоянными по области интерполирующими функциями как для неизвестных на границе, так и для неупругих деформаций, В 1979 г. Теплее и Бреббия [7] привели полную формулировку метода граничных элементов для трех- и двумерных задач теории пластичности. Онн дали корректные выражения для внутренннх напряжений, включая соответствующие производные пространственных сингулярных интегралов. При этом основное внимание было уделено численному решению интегральных уравнении; была предложена простая.
процедура для нахождения главных значений интегралов от пластических деформаций и приведены соответствующие свободные члены. Эта процедура основана на применении однородного поля пластических деформаций для представленных в дискретной форме граничных интегралов и может быть прнменена также н для внутренних ячеек высокого порядка. В работе [7] не было дано каких-либо инженерных приложений, однако в ней впервые была показана возможность корректного использования представлений высокого порядка для неупругих деформаций.
Известно, что в 1970-е гг. развернулась широкая дискуссия по поводу корректности формулировок метода граничных элементов. Тем ие менее уже в начале нынешнего десятилетия уровень вычислительной техники позволял решать многие практические задачи, используя более изощренные численные методы. Например, еще в !980 г. Теллес и Бреббня применили прямую формулировку метода граничных элементов для решення некоторык двумерных задач для упругопластических деформаций (плоское напряженное нлн плоское деформированное состояния).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
