Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 47
Текст из файла (страница 47)
6.6, заменив соответствующим выражением коэффициент Пуассона. Для того чтобы точно вычислить скорости изменения напряжений во внутренних точках, следует взять соответствующие комбинации производных выражения (6.103) и получить скорости полных деформаций, а затем подставить их в формулу (6.46). Отметим, что в силу несингулярного характера дополнительных тензоров производные интегралов, содержащих скорости аеупругих деформаций, приводят к тем жс спнгулярносгям, что и получаемые при использовании только решения Кельвина, Так, для плоского деформированного состояния имеем уравнение а > = ~ и„'.лрл с>Г -- ) р рйлсГ >; ~ и ыйн Ы+ >' г + ~ а„л>ем й(7,'-(ц(ег>), (бло7) й где интеграл, содержащий неупругие деформации, понимается в смысле главного значения, а (ц — свободный член — такой же, как и в случае с решением Кельвина, а именно: (ц — 4 1 (2е» + (1-- 4н)е»бц).
(6.108) ~ р,>нй„йГ = е(> ~ дцг>й(7 +7>>(йьс>). г. (бл и) Более того, можно доказать, что из условия существования главного значения интеграла (см. выражение (6.78)) следует равенство (6.112) а7>е>йа = О, 10нрщкннр. Кроме того, следует иметь в виду соотношения с с а'>и = ацы — нас> бы, (6ЛО0) с дяж где производные берутся относительно точки приложения нагрузки, а выражения для ис>л и р»л приведены в работе 142).
Интересной особенностью задач длл полуплоскости является то, что если з исследуемой задаче внсшнлс напряжения обращаются в нуль (р„= — 0) на некоторой части границы à — Г', то цапряжевия в точках, распатоженных на этой частя границы, можно вычислять так, Рам в.10. ненерруженнае тело е Фар. как если бы оли были вну- ме пенупнленхРе прн яехннном поле постоянных нннстнчесннх хефармепнз. тренними. Для того чтобы формулу (6.107) можно было применять в подобных случаях, необходимо лишь видоизменить выражения для )ц, с тем чтобы учесть предельный случай х, (й) .—.— О.
Это выражение можно без труда получить следующим образом ПЗ): возьмем ненагруженное тело в форме полуцплиндра радиуса р, плоский участок границы которою совладает с полуплоскостью (рис. 6.10). Если не учитывать обьсмные напряжения, то прп задании поля постоянных пластических деформаций зн> в теле будут возникать только псрсме>ценил; внутренние напряжения и усилия на поверхности будут оставаться равными нулю. Применение выражения (6.107) для представления напряжений на оси к полуцилиндра непосредственно дает Г-- д 990 Граассчанс меаеааш е эадачас дла аеааркисх тес 291 из которого получаем связь )е, (йаее) = ~ рсгайа НГ, (б.нз) г.
где соответствующие перемещения на границе (без учета перемещений тела как целого) можно найти из соотношения (7): Иа = Р (згет — чааааби) ир (6.114) Здесьчпт — направляющие косинусы внешней нормали к криволинейной границе, Далее из формулы (6.113) получаются выражения для (ы при х, ($) - О, а именно: )са = Ги = О, )аз — — (ею — еап). (6.115) Для формулировки с начальнымн напряжениями используется точно такая же процедура, и выражение, эквивалентное (6.107), принимает вид йи = ~ ичыра йà — ~ р!мйь йГ + г г + ~ и(габагЯ + ) аиаейаае с(И )-йеи(аае), (6.116) где зечае получаем из соотношения (6.!10), куда вместо атас подставляется ечае: — — (2аааг !- (1 — 4т) аееби) при хс $) ) О, (6.117) (ам — ан) при хч(5) =О. (бд !В) Задачи для плоского напряженного состояния можно решать, используя выражения (6.107) и (6.116), если, как это делалось ранее, использовать модифицированный коэффициент Пуассона, положить 07!ее = пегас и вместо выРаженна (6.108) взЯть — — (2ее! ! веебм).
(6. 119) 4 (! — т) Отметим, что выражении (6.115), (б.!!7) и (6.1!8) остаются беа иамеиений. 6.8. Дискретное представление пространства Дискретное представление пространства для приведенных выше уравнений показана здесь на примере двумерных задач. Предполагается, что граница тела представляется с помощью поверхностных элементов (гл. 5), а при интегрированяи по ча- ( .а с, й ,'- ~ ре,й,йГ = ~ иечр;с(Г !. ) агыеыс(1), 16.120) г г и куда в случае задач для полупласксстн вносятся соответствующие изменения. При дискретном представлении области определения для уравнения (6.120) декартовы координаты х точек, принадлежащих ячейке ()л можно представить в виде х = чех", (6.121) где Ч' — иитерполнрующие функции, х"' — координаты некоторых характерных точек, определяющих геометрию ячейки.
Предполагается, что скорости иеупругих деформаций внутри ячейки можно интерполнровать с помощью выражения е'Оч = Фв' (6.!22) где Ф обозначают ннтерпслирующие функции, а" " — скорости иеупругих дефорьщцнй в точках с определенным номером (эквивалентной узловым точкам в двумерных конечных элементах). При У граничных элементах и М внутренних ячейках дискретная форма уравнения (б 120) для граничного узла $е такова: с(йе)и(йе)+Е(~р'Ф'йГ') и"=- 1 ч)г ( ~ и*Ф'а(Г) ра 1 ~ Ц и'Ф'с(Ы) в"' ".
(6.128) Эта форма применима и для внутренних точек $а (прв с =!). Для общности интегралы по ячейкам удобнее вычислять, используя подходящую численную квадратурную схему, напри!Ос стям внутренней области, где ожидается возникновение неупрупчх деформаций, используются внутренние ячейки. Слагаемое, учитывзчощее влияние объемных напряжений, здесь для простоты отбрасывается, но н учет его не составляет труда. Дискретное представление прп вычислении граничных интегралов, подробно обсужденное в равд.
5.8, могкно использовать п для данной задачи. Поэтоиу внимание будет уделяться пространственным интегралам, входящим в неупругие слагаемые. Полезно начать с формулировки с иачачьиыми деформацнямн, где испачьзуется предположение о иесжимаемасти. Поэтому сосредоточим внимание на уравнении Гремим>ие элемента э зада!ах длл аеуаруэие ли! 2>вз Глава 6 мер для треугольных ячеек можно применять формулу интегри- рования Хаммера 6 ( и"Ф' е(() —.= ) ] а ]г ща (>>'Ф")>,. (6.124) и у —.! где К вЂ” число точек интегрирования, ю„- соответствующий ве- совой коэффициент, ] л'] — якобиан преобразования системы ко- ординат, позволяющего представлять янтерпоаируюшне функции с помощью системы однородныь координат >1,, >1,.
Отметим, что эти интегралы содержат интегрируемые особенности, когда сии- гулярныи узел а, лежит в ячейке 11>, Таким образом, в подобных случаях требуется только несколько большее внп.лаиие. Используя уравнения (6.123) для всех граничных узлов, получим следукицее матричное соотношение: и() = йР + д)е, (6. 125) где матрицы Н н й аналогичны тем, что были получены для упру- гого материала, а матрице В соответствует и>щеграл„содержащий неупругие деформации, Вычисление скоростей изменения напряжений во внутренних точках выполняется аналогичным образом, При этом выражение, эквивалентное (6.120), имеет вид и>1 — -- ) и>дурье(à — ~ р>>лиа НГ 1- ~ о>!у>еа! е(() + 1>;(зу>)> (6.126) г г и где для задач о полуплоскости следует ввести, как и ранее, со- ответствующие изменения. Приведем также дискретную форму уравнения (6.126) для точки о(й!) = ~ ( ~и Ф йГ1Р" >=! 1,гт и и — ( ~ ра Ф' е]Г] и", ~ ( ) оа Ф'Ю1 а'" Г с (ч!) аа Д!).
>=! >,г> у=>>я! (6.127) Как и ранее, при интегрировании по ячейкам можно испачьзовать схемы численного интегрирования. Однако в этом случае некоторые интегралы следует понимать то чько в смысле главного значения, если особая то>ка '„лежит в ячейке Я!. Здесь следует указать на предложенную Теллесом н Г>реббия (7] процедуру общего характера, которая дает непрямой способ вычнслеиня главных значений интегралов для некоторых видов интерполирующих функций и форм ячеек, Эта процедура основана на введении поля постоянных неупругих деформаций в представленные в дискретной форме интегральные уравнения.
Для упрощения, но вместе с тем без потери общности при демонстрации данной пропедуры будут использованы треугольные ячейки. Рассмотрим часть облаем! (), в которой все смежные ячейки подходят к особон точке й, (рнс. 6.11). При задании поля постоянных неупругих деформаций з;1 на рп>скретиом аналоге свободного от внешних напряжений тела (рнс. 6.11) внутренние напряжения и их значения на границе будут равны нули>. Следовательно, дискретную форму уравнения (6.126) можно использовать для представления равных нулю напряжений во внутренней точке а!. В результате получаем ~и ( ~ и*Ф'йГ]в' "-1 с (й!)и'= ~ ( ~ 7>' Ф" иГ) и", (6.128) ;=->,и, 1-! )г > где М вЂ” уменьшенное число ячеек, >7 — число фиктивных граничных элементов Г>, заменяющих противолежащие точке стороны ячеек (отметим, что в общем случзе М ~ Д>).
Кроме того, для плоского деформироаааного и для плоского напряженного состояний соответственно имеем (7) й, = (8>>.— чеа>6>>)цхи й! = е>]Ах>, (6.129, 6.130) где Ах> — разность координат произвольной точки х> и рассматривземой точки $!. Легко проверить, что если выбрать функции или формулы, описывающие форму ячейки, полностью незавнсимыаш, то для каждой ячейки будет необходимо вычислять три главных значения интегралов для каждой компоненты напряжения (т.
с. слагаемые в уравнении (6.127), содержащие множители е!'! ($!)), Счедовательно, по. скольку перемещения и" вычисляются аналитически, эю! главные значения раа В->!. учлетах з"у"Раи. и свободный член с' (й ) получаются аай ап>эа>», гхе зсе сиежиие жения (6.128) трек независимых систем постоянных неупругих деформаций в виде зеад = Ьиб, е',, =.1 — бы, и >>' в,';=бмб,>. Следует отметить, что прн численном решении эту процедуру можно применять одновременно по всем ячейкам, т, е, после вычисления интегралов по ячейке в данный момент времени подпрограмма, которая вычисляет граничные интегралы, вызывается для интегрирования по противолежащей стороне ячейки, Соответ- Глааа З Гра ажяеее ыеяеяаье е казачек дел я упруже мел ствующие оперецип проводятся до конца, и полная система интегралов становится прг,годной для объединения в законченную форму, включающую не только главные значения, но также и частп, с!ответствующие слагаемым с величинами с'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
