Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Функции и,'а удовлетворяют условию Гельдера [40, 41 ! в точке 5 ) и/о (х) — й/а($) ) ~ Аг", (6.76) где А и и — постоянные. Очевидно, что первые два слагаемых в правой части равенства (6.74) сходятся, а для последнего слагаемого требуется, чтобы выполнялось равенство аа 1 Чг *. Дар=О (6.76) о что в свою очередь обеспечивается свойствами функции Ч'~нг . На этом доказательство заканчивается и выражение (6.73) можно вновь записать в прямоугольной системе координат д — — 1 д П!ай(л — йга(я) ) Егмр, г/Г дУг 1 да/и (6.77) г( где первый интеграл следует понимать в смысле главного значения, Г( — окружность единичного радиуса с центром в точке приложения нагруаки, г, — производная радиус-вектора г по координатам, причем г, — — — дйдх .
Следует отметгщь, что аналогичным образом можно найти производную от интеграла с объемными силами. В этом случае благодаря слабой сннгуляриости функций и,*; свободный член (соответствующий интегралу по контуру Гг) стремится к нулю прн е -г- О, Выражение (6.77) справедливо также и в случае трехмерных задач, при этом Г; представляет собой сферу едивичного радиуса. В обоих случаях интегралы по поверхности Г( можно вычислить в явном виде и подставить в выражение (6.67). Кроме того, поскольку функции о/ы и е/ы имеют особенность одного порядка, то такой же прием применяется и при формулировке с начальными Грананниг глгненаы а ааданах дла нголруг х тгл 6.6. Альтернативные г)юрмулнровки метода граничных элементов В этом разделе обсуждаются различные формулировки, использующие фундаментальные решения Кельвина.
6.6.1. Начальная деформация На основе формулировки с начальнымн деформациями для трехмерных неупругнх тел получаем сг/й/ — — ) и /р; г/à — ) у//й/ г/Г + ~ и;;б, г(ьг+ ) и о,з/а гЮ. (6 78) г г Я и Это выражение предеолагается справедливым для произвольного положения точки приложения нагрузки (как внутренней, так и граничной точек) при условии, что коэффициенты сы и второй граничный интеграл в правой части считаются, вообще говоря, известными в результате применения данного подхода к задаче для упругой среды.
При таком предположении скорости изменения напряжений во внутренних точках можно найти с помощью выражений (6.41) и (6.45) Нроиаводная выражения (6.78) прп с,/ = бп равна . ) гон/г Р йГ ~ ди'/ йт г/Г ) 'ап б,г/й -,' 'г и 1''".)г' в,'-, г((У вЂ” й";а ) о/мг. йГ. дхаг й г; (6.79) Здесь четвертый интеграл в правой части понимается в смысле ~лавного значения, а последний интеграл берется по поверхности сферы единичного радиуса с центром в особой точке. Отметим, по производные берутся относительно точки приложения нагрузки; как и прежде, это обозначает явное дифференцирование йо переменной, индекс которой стоит после запятой н которая соответствует точке наблюдения. Теперь можно вычислить последний интеграл в выражении (6.79): ига ) о,'ггг.
„г/à —. ((8 —. 10э) е;и — (1 — бэ) еибгл). 13 0 а) (6.80) деформапиямн. В следующем разделе представлена полная система разрешающих уравнений для двух- и трехмерных вадач (задача Кельвина). 284 Граничнне влемвнлвн в вадачан длл нвунрргал нмл Глава д Выражения для компонент новых тензоров, соответствующих фундаментальным решением, и необходимые для дальнейшего изменения читатель может найти в конце этого раздела. Приведенные выше соотношения вместе с выражениями (6.41) н (6.45) позволяют определить внутренние напряжения 80 = ~и(~лРнв)Г .
) Рвлинв)Г. ~ввввлблвЯ,' .'- ) оцнвэчлвв)4) — 18 ((7 5ч)е;; ) (1 с 5ч)эп60). (6.81) где последние два слагаемых характеризуют влияние иеупругих деформаций. В случае плоского деформированного состояния используется авалогичиая процедура, единственное отличие которой состоит в том, что интегралы от скоростей изменения цеупругнх деформаций следует вычислять с учетом работы пвэеэ,;э, соответствующей деформации в направлении оси х,.
Ее влияние легко учесть с помощью ряда таких специфических допущений, как предположение о несжимаемости материала при неупругих деформациях (что приемлемо для материала, проявляющего свойства ползучести, а также для пластического материала) или предположение о чисто температурном характере деформаций, в результате чего получаем ~ввнв = — ) пвгР~ е)à — ) Рвви; в(Г - ) нввб; в)(2 -, ') о ввэгл в)() (6 82) г г и где (см. равд. 6.3) 2чдвнв, в вчвв = о)и 1-4, '' при а -О, (6.83) пви ' о!нв 4 (4 ф прп Кю '— гы — иТбм. (6.84) Здесь вх — коэффициент температурного расширения, Т вЂ” скорость измерения температуры. Соответствующие скорости изменения напряжений во внутренних точках имеют вид и,'; = ( и„'врв в(Г -- ( РГвнив е)Г )- ( и,"„бв е(() -;— г г вв ~ 6'внвэлг Ю ) )О (элв), (6.85) где последний интеграл берется в смысле главного значения, и если е = О, то получаем 0 двчн, = овча, —, (4чг вг, 464, — 2ч6064,), — (2зв ' (1 — 4ч) зввб;2).
0 4 (1 — ч) Для чисто температурных деформаций имеем 0 д~;.лв = о;,и, -- 4, (2чг, вг, вбл~ — чбыбн,), 2п (1 — ч) Р (6.87) При плоском напряженном состоянии также можно использовать выражения (6.82) и (6.85), если в этих выражениях положить оелв = отав и д,"14, =- ов,и, коэффициент Пуассона т заменить нану в выражениях для компонент тензора, а свободный член взять в виде — — — (2э,' -, йпбп). 0 °, .а в " 4 (! — Ч) (6.88) 6 6 2 Начэльное напряжение Зля того чтобы обсудить формулировку с начальным напряжением, рассмотрим только интеграл в правой части выражения (7.68), содержшций скорость пластической деформации.
Из выражений (5.59) и (5.60) имеем ) о4а,з'';н 0(2 = ) Сгв„э,'пэ)л е)(), (6.89) о и а из формулы (5.3!) получаем (6.90) Кроме того, известно, что Снчаэ';л = и'„, (6.91) где и,', определяется из выражения (6.47), в результате чего имеем следующее равенство: ~ о,'чнэ,'в в2(2 =. )Г а,'ввд",* в(42. (6.92) и а Отсюда видно, что уравнение для случая с начальным напряжением эквивалентно случаю с начальными деформациями.
Аналогичное равенство для задач о плоском деформированном состоянии принимает форму )' д;'лвевчн в)() =- ~ е1вво(л в((). (6,93) 287 288 Глам 6 (6.99) оц — ( и,'/АрабГ г Интегрируя по частям, получим (6.9В) В обоих случаях напряжения во внутренних точках можно найти с помощью выражений оц =- ) ие А/!А е/Г . ~ р;"1Айв е/Г '- ) и,'/Абай!1 г г и )/ в~/А/ЬА1 е/(2 ъь Ы// (ЬАГ), 16.94) где интеграл, содержащий начальные напряжения, понимается в смысле главного значения, а свободный член имеет вид соответ- ственно для трехмерного случая и двумерного случая с плоским деформированным состоянием: рй/ = -,, !(7 5ч) о,"7; (! 5в) йцб//), (6,95) ! Ыц — — 8 ! — — !2йц '- !! — 4т)оцб,/). (6.96) Следует отметить, что в случае плоского деформированного состояния прп вычислении интегралов, содержащих начальные напряжения, не требуется ни знаняя обусловленной деформацией в направлении оси х, добавки к общей работе, ни введения специальных предположений относательно деформаций зц.
Это связано с тем, что в данной задаче е*,в1 =- О, а влияние деформация ВГГ уже учтено в выражениях для компонент тензора оц, В заключение можно написать аналогичные выражения для задачи о плоском напряженном состоянии, заменив в выражениях для плоского деформированного состояния коэффициент Пуассона ч на тц 6.6.3. Фиктивные поверхностные и объемные напра!кения Последний интеграл в выражения (6.7В) можно выразить через функции и,'ц следующим образом; оГА1Г/А1/- .
г! ц(и//, х /цл 1) иц,б„)еул1Ж. (6.97) г/ ораз/Ае/А) -= ) и//20(зе/Апх ! ~ з/1л.\ //Г и г Грамеение влеагвлае в вадавах для хеуариеах мел Подставляя интеграл (6.9В) в выражения (6.76), найдем сци/ =- ~ и7;р /1!Г -- ) р//и; 1!Г,' ) и)/Ь/Ж), г г и где 6/ п /)/ определяются соответственно выражениями (6.52) и (6. 53). Далее перейдем к формулировке для неупругнх сред, где скорости изменения поверхностных и объемных напряжений являются фиктивными (завпсящими от неупругих деформаций), а перемещения являются действительными.
При исиользонании выражения (6.99) следует о~давать себе отчет в том, что хотя оно выглядит так же, как и в случае упругой среды, тем не менее внутренние напряжения следует вычислять с учетом выражений (6.4!) и (6,45), что дает ' ,р//Айве/Г ~ и!/АЬАсй2 Сцвв;г (6.!00) г и Другим отличием этой формулировки от двух предыдущих является то, что здесь требуется вычислять производные по пространственным координатам от неупругих деформаций (см. выражение (6.52)). С точки зрения численной реализации это можно рассматривать как недостаток [поскольку используется интерполирование с помощью постояпньж функций), но тем не менее эта процедура вполне допустима при использовании метода граничных элементов для неупругих сред.
И наконец, приведем выражения для компонент новых тензоров, соответствующих фундамеятальным решениям, которые встречались в данном разделе: 1/1/А/ и (6(1 — 2т) (ь/г Аг 1 -, 'ь„,г, 1Г, /) -,'- 2ап !! — в) Г" + бч (6цг,;г, А '- Ь/Аг, 1г, /, Ь;Аг, /г,; -9 Ь/Гг, гч А)— — куг, м г,лг (! — 2ч) (Ьмбц ' Ь/Абц) (1 — 4т) Ь;/Ьы) (6.10!) ее А, = — ((1 — 2ч) (Ьмб1/ .
!. б/Аби 1 им (! — х) гз . Ь./ЬА1 ! 66/г АУ Г) -(- бв (Ь11Г /Г А Г Ь/Аг, 1Г 1 — Ь г /г — '. Ь/!У Гг А) — рбх/г, Гг,1 ()уг. Г. /Г,лг.1) (6.!02! где для трехмерных задач н плоского деформированного состояния имеем соответственно и = 2 и 1, 6 = 3 и 2, у =- 5 и 4.
Гя К-д Гранинныг сссягнпы с сад>мах дяя нсупругня тг.> 6.7. Формулировки задач для полуплоскости При распространении формулировки, основанной на применении метода граничных элементов к упругой полуплоскостн, будем следовать процедуре, основанной на использовании решения Кельвнна. Если рассматривать неупругие деформации несжимаемых материалов, то исходным соотно>пением формулировки с начальными дсформациялш будет сцй> =- ~ и;'>р>йà —. ~ рс й> йГ ч- ~ и7>д>й(7, ~ а же>сг Ю, (6 103) г г. р и где дополнительная чзсть тензора, на который умножаются скорости неупругих деформаций для задач о плоском деформированном состоянии, имеет вид а',:г, — а>ы — та» б>ю (6.104) а для задач о плоском напряженном состоянии б>ы = а>ы.
(6.105) Равенство (6.105) справедливо для произвольной точки приложения нагрузки при условии, что коэффициенты сц и интеграл на границе Г' имеют смысл, указанный в гл. 5. Путем соответствующей модификации интеграла, содержащего скорости неупругих деформаций, уравнение с иачальньии напряжениями без условия несжимаемости неупругих деформаций сци, — ~ и,'>р> йà — ~ р!>й> йГ -, '~ и;>Ь> й() + ~ э)гсо>л й(7, (6 106) г г и можно получить также и для плоского деформированного состояния, а к задаче о плоском напряженном состоянии можно прийти, как уже говорилось в разя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
