Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Уравнение !6.!27), написанное для всех внутренних точек, имеет впд а =- 6'Р . Н'6 ' (7)' '; С')е", (бл3() где С' — хороню определенная магри!а, предсшвляющая свободнын член (г. е. последнее слагаемое в уравнении (6.127)), 77'— матрица, в которую входит интеграл, содержащий неупругпе деформеш!и.
Матрицы Н' и 6' содержат граннчные интегралы, аналогичные входящим в матрицы Н и С. Отметим, что уравнение (6.131) справедливо только для внутренних точек н, по-видимому, справедливо для точек, принадлежащих свободной от напряжений части à — Г' границы. Поэтому для вычисления скоростей изменения напряжений в граничных узлах следует использовать различные выражения. Зги выражения получаются с помощью соотношений между деформациямн и перемещениями и значений скоростей изменения напряжений в каждом граничном элементе. Онн не требуют янтегрнрования, и их выражения для упругих деформаций были представлены в гл.
5. Таким образом, применяя полностью аналогичную процедуру, можно найти скорости изменения напряжений в граничных узлах относительно локальной системы координат х,, в результате чего для плоского деформированного состояния имеем ап —.- —,, (26згг+уаы) г-26( —,, згг — зг!), (6.132) ам =р,, а„=р„ а для плоского напряженного состояния первое уравнение следует заменись на следующее: — ! 20 ап = = (26вп — там) зг!. ! — к ! — 6 (блзз) Из написанного выше видно, что эти простые выражения можно свести к уравнению вида (6,131), в результате чего становится возможным с помопгью единого подхода вычислять скорости изменения напряжений во всех точках.
Отметим, что после выполнения необходимого преобразования координат (при переходе от локальной к глобальной системе) приведенные выше выражения могут быть объединены в соответствующие глобальные матрицы, в которых вклад смежных элементов в общие граничные узлы будет автоматически осредняться для недвойных узлов. Очевидно, что все сказанное также применимо для уравненнй с начальнымп напряжениями. В этом случае вместо уравнений (6.125) н (6.13!) использукпся уравнения соответственно Н(7 = СР+ Яа", а = 6'Р— Н (7+ (4)'+ Е ) а", (6 134, 6 135) где матрица Е' соответствует свободным членам пе! интегральных уравнений, а матрицы Ц' и 4) — интегралам, содержащим начальные напряжения. Отметим, что главные значення интегралов, входящих в ЗЗ', можно также найти, используя состояние с постоянными начальными напряжениями и действуя при этом в основном аналогично тому, как это было сделано в случае уравнений с начальными деформациями.
Кроме того, скорости изменения напряжения в заданных граничных узлах можно вычислить, используя уравнение (6.135) и следуя ранее описанной процедуре, заменив первое из выражений (6 132) на стедуюгцее ап = — (26еп + там) +, азг — аг!. (6.136! где в случае плоского напряженного состояния коэффгщиент Пуассона т следует заменить на й.
Отметим, что здесь уже не используется условие несжимаемосги при неупругих деформациях. Для того чтобы сделать минимальной погрешность численного решения задач о неупругом поведении тел, вновь вернемся к уравнениям (6.125) и (6.131). В правильно сформулированной задаче необходимо иметь достаточное число фиксированных напряжений и перемещений на границе. Затем неизвестные величины группяруются и уравнения приобретают нид А!» = Р 1- Ра" а = — А')» '-Р'+ 77аз' (6!37 6 138) где !»Я = 1»' 1- С', а влияние заданных величин учитывается векторамн Р и Р'. Умножая уравнение (6.137) на А ', получим )» = Ке -,'- М, (блз9) где К = А гР, М = А гР.
(6 140, 6.141) Подставляя уравнение (6.!39) в соотношение (6.138), найдем а = Вз'+7(Г, (6.142) где В = 77Я вЂ” А'К, Ф= Р' — А'М, (6,143, 6.144) Отметим, что при упругом поведении материала в написанной в скоростях задаче решение задается векторами М н Ф. г. ° б Г)гоиичнзгз змгмеллнг з зодичил для изузрулил лмл Нетрудно видеть, что уравнение (6.142) представляет собой рекуррентное соотношение, связывающее скорости изменения нзпряжений в заданных граничных узлах и внутренних точках с соответствующими неупругими деформациямн и решением для упругого материала.
Кроме того, это уравнение теперь ие зависит от граничного уравнения (6.139) и является хорошим средством решение задач для материалов с нелинейным поведением, которые обсуждаются в гл. 7. 9 Следует отметить, что с точки зрения програмш1рования исходная зтатрица А входит в матрицу В, поэтому при решении системы уравнений соотношение (6.142) строится таким путем, при котором фзитпчески вычисляется лишь матрица В. Таким образом, при численном решении требуется хранить в памяти ЭВМ только матрицы К и В.
Наконец, с помощью аналогичных матричных манипуляций можно преобразовать п уравнения (6.134) и (6.135) с начальными напряжениями. Однако было показано, что в этом случае при решении задач об упругопластическом поведении тел удобнее использовать некоторую модификацию уравнения (6.135), рассмотренную в гл. 7. Уравнения с начальными напряжениями использу1отся также и в гл. 8, где обсуждаются задача вязкопластичности и ползучести.
6.9. Внутренние ячейки Применение граничных элементов и внутренних ячеек можно осуществлять, следуя описанным выше процедурам и используя интерполирующие функции, о которых говорилось в гл. 3, Интегралы по внутренним ячейкам можно вычислять с помощью формул численного интегрирования или в некоторых простых случаях аналитически. В более сложных случаях аналитическое интегрирование становится весьма затруднительным, поэтому численные или комбинированные процедуры представляются единственно возможной альтернативой.
Теллесом н Бреббия (8! была предложена схема полуаналитического интегрирования, которая особенно удобна тогда, когда сингулярные узлы или точки совпадают с одной из точек нчейки. Поэтому схема такого интегрирования будет описана ниже для треугольных ячеек с линейными интерполирующими функциями. Рассмотрим треугольную яченку, показанную на рис.
6.12. Для такой ячейки интерполирующие функции выражаются через однородные координаты Ч, и т)з. а нкобиан) л ) в выражении (6.! 24) равен удвоенной площади треугольника. Кроме того, интерполирующие функции задаются в форме (6.! 45) ф = (зчг лт)з згм! гДе Чз = 1 — т)з — Ч„г — еДиничнаЯ матРица тРетьего поРЯДка. Напомним, что соотношения, связывающие координаты т)„и декартову систему координат х, у, приведены в гл. 3. При вычислении компонент матрицы зл каждая ячейка будет давать вклад с помощью матриц размерности 2х9 вида С( = )) ((азт)„азт)з, азчз!) ~И, (6.!46) где аз= [ 1 а,*п 26;з, ам, ! (6Д47) 81м 2а1зз дмз "' Для иллюстрации представляемой здесь полуаналитической схемы интегрирования рассмотрим случай, когда сингулярный гг Ч ! д )О,О) 11,О) Рис. О.12.
Треугольнзя ячейка с внУтРенней системой кооРДннвт т1ь т1з Рнс. О.13. Полярезз система «сор. лвнзт, связзннзя с особой точкой т Вслнчзнз Я рр) = — 2А/!Ьт соз уч- ит пн е 1, сгм а = дг)дк, Мп Ч = = дг/ду. узел совпадает с одной из точек ячейки. Возьмем типичное выражение с(а ~ ~зт) АЯ (6.148) пз где з(н — а-я подматрица матрицы т2 размерности 2)с 3. Для вычисления интеграла можно ввести полярную систему координат г, Чг, связанную с особой точкой 7, так, как показано на рис. 6 13.
В этой системе координат тензор Кельвина атз, приоб стает вид р Чг зг)г, (6.149) где Чг)зг — — функции, зависящие только от Чг, Тогда выражение (6.!48) запишетсн в форме е, И )Е) г(а цш ) ~ т!щ лг фр от, г 298 Гренгам«г гнгнгюоа е эодолое д,ы нг«аг«ругон «ого 299 Геооо б где Ча — интеРцолнРУющаа фУнкциЯ в системе кооРДинат г, «Р: Ч = «)а+ 4 (Ьасозч+лаз!«1«9). (6.15!) где 61«««26«иэ Ь«йяг ое' = ЬВи 2Ь«з«з Ь«зм . ойи 2оВм 6)мз Для примера можно рассмотреть б(а' = ~ "Ч с(42. оа Как и ранее, для иллюстрации полуаналвтического процесса инт юрнрозаиня будем рассматривать случай, когда особая точка (6.157) (6.!58) Здесь «1та — значение ннтсРцолнРУющей фУпкцни в сннгУлЯРной точие у: Чт = 0 цри сх Ф Т, Чт = 1 цри сс = у. (6.152) Выражения для аа, Ьа и А можно найти в гл.
3. Поскольку ф не зависят от г, то интеграл цо этой переменной можно вычислять без труда и затем перейти к пределу нри е -а О, В результате получаем следующие выражения: с(" = — А ) ф,, 64 нри сс = у. (6.!54) Преимущество аналитического ивтегрнрования по координате г теперь очевидно, поскольку получаются очень простые выражения и устраняется сингулярность теизора Ь)е«. Интегрирование по 9«не представляет никаких проблем и здесь целесообразно использовать стандартную одномерную квадратурную формулу Гаусса. Это можно сделать, выразив переменную с( в виде 2 (те 1«)+ 2 (9« +«9«)' 1 (6.155) где Ч задается на отрезке 1 — 1, 11.
Вычисление матрицы Р' проводится тем же способом, за исключением того, что каждой ячейке соответствуют матрицы размерности 3 Х9 вида 2' = ~ ((о''Ч * Ч. "'Ч.1) д(), (6А56) яо совпадает с одной нз точек ячейьн. В этом случае ннтегра,т (6.158) оказывается сингулярным (поскольку имеется особенность при сс = у), однако его можно вычислить в смысле главного значения, принимая во внимание вклад всех смежных ячеек, сходящихся в точке у. В полярной системе координат (рис.
6 13) тензор Кельвнна Ьг";ег можно записать в форме фмы(г (6.159) где фыы — функция, зависящая от «9. Тогда выражение (6.158) свощпся к следующему: е* н«ю 1;щ~ ! ф. ча Лг! е о (6.160) Прн и ~ у после интегрирования цо г переходим к пределу яри з- 0 н из выражения (6.160) патучаем е" = — 1«' — '" — '«« — "" — "« — е . ««.«Б«« Ьт сое «р+ л„мв Ч При и = — 1 интегрирование цо г дает «уа' =!!щ ( ф11~ 2Л вЂ” 1— е-о г 1 ьтсое«9+о.гмпч — — (Ь соыр .)-атз1пв) — 1па)с(т.
(6.162) Для нахождения главного значения рассмотрвм сначала следующую часть интеграла (6.!62): ы = — ~ «1'(1 ~ 1ц е) с(вс (6А63) ы .= — (1 ,'-1це) ~ «1'«т«р = О. о (6.!64) Легко проверить, что, для того чтобы просуммировать вклад всех смежных ячеек, сходящихся в точке у, следует в интеграле (6.163) просто изменить пределы ивтегрнроваиня. В силу свойств тензора фме«(см. выражение (6.76)) получаем эсп Г,савв б Заа 6.10. Осесимметрнчный случай Поскольку сингулярный вклад обращается в нуль, можно рассмотреть предел оставшейся части выражения 16.!62) при е — О, в результате получаем 42 ' =- ) ф' 1п ( , „ ) с(сг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
