Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(6.165) Как и ранее, для интегрирования выражений (6.161) и (6.165) можно воспользоваться аднаъсерными квадратурными формучами Гаусса. В общем случае, когда сингулярный узел или точка у не созна дают нп с одной пз точек ячейки, можно следовать той же процедуре. Здесь уже не обязательно использовать полуапэ.чнтическую процедуру интегрирования, поскольку интегралы оказываются регулярными.
Тем не менее по-прежнему рекомендуется использовать описанную процедуру, так как это экономит время, затрачиваемое нэ решение. Заметим, что поскольку тенэоры Кельвина зсы н з(;нс могут иметь форму (6.149) н (6 159), то аналогичную схему интегрирования можно применять и в формулировке с иачальнымп напряжениями.
Кроме того, для тогочтобысделать процедуру оптимальной, значение Угла сэв — сгс можно использовать дла контРолЯ погрешности численного способа вычисления интеграла. Как показывает практика, обычно требуется менее пяти точек интегрирования. Описанная выше схема широко испачьзовалась в вычислительных программах, где показала высокую эффективность. Г!рименнтельно к задачам для полупласьости было показано (прилажение В), что дополнительная часть выражений не содержит особенностей прн с ) О. Поэтому при вычисления интегралов по области можно испольаовать простые квадратурные формулы. Видно, что предельному случаю с =- О соответствуют особенности того жс порядка, что и в решении Кельвина, поэтому обе части фундаментального решения суммируются и интегралы вычисляются с помощью той же схемы интегрирования, которая обычно используется для кельвиновской части решенсся, Осесимметричные задачи для неупругих материалов можно исследовать с помощью тех же самых пропедур, которые уже были описаны в этой главе, применяя соответствующее фундаментальное решение (равд.
5.15). Для иллюстрации применения такой процедуры воспользуемся подходом с начальнымя деформациями, В этом случае, когда отбрасываю ся слагаемые, связанные с кру- Грннннннв вмнвнми в нсдннак дхн нввн лип с нсю ченпеч, скорости пеупругях дефорлсацссгс будут ушыываться с помоцсью последнего интеграла по области в следующем уравнении (см. также уравнение (5.182)): ссэ($) йс(5) -1 2л ~ рсг(5, х) й;(х) г(х) с(Г(х) =- г = 2л ) и,"с Я, х) рс (х) г (х) йГ (х) + 2л ~ исс $, х) б; (х) г (х) с(Г1 (х) + г я -~'- 2л ~ иаэс Я, х) есвэ (г)г (х) с(11 (х) (6'!66) с, 1 = с., г; а, Р = г, Чь з. Внутрепшсе напряжения можно найти из выражения йнэ(5) —. 2л ) ийш(5, х) р„(х)г(х) с(Г(х)— г — 2л ( р„'ээ $, х) йн (х) г (х) йГ (х) + 2л ) сьйсэ $, х) бн (х) г(х) с(йу(х)+ г я !.
2л) пйзтр14, х) е~р(х)г(х)Ю(х) ,'.Ь„З(е" ), (6.167) Ь=-г, г; и,й,у=г, сг, г, где последний интеграл по области понимается в смысле главного значения, а величины Ь„з находят путем рассмотрения пределов выражений для и'з, в окрестности особенности. Как уже говори- лась в равд. 5.15 применительно к коэффициентам сср выраже- ния для Ь„э совпадают с типовыми для случая плоского деформи- рованного состояния, прячем в пренебрежении влиянием третьей координаты на две остальные они нмесот внд Ь = — (Зе,', е,', '- 4тзчч), 4 (! — н) Ь„, -- —,1 енм Ь,„=- - — (Зз~ ' е;, '; 4чь''„), (6.168) Глава 7 Теории пластичности 7.1. Введение В этой главе уравнения метода граничных элементов, представленные в гл..б, используются для решения задач классической переологпческой теории пластичности.
Сначала приводятся уравнения с накальными деформациями для несжимаемых пластических деформаций с условием текучести Мизеса и метод последовательных упругих решений Мендельсона (41. Этот простой прием решения, названный Шрейером и др. [101 «метод упругого предиктора — радиального корректорам является, как было показано, очень эффективным и устойчивым к выбору значений приращения нагрузки. С другой стороны, уравнения с начальными напряжениями носят более общий характер и здесь они приводятся з сочетании с четырьмя условиямн текучести (Треска, Мизеса, Мора — Кулона, Дракера — Прагера). Описаны также две различные итерационные процедуры, Первая является чисто шаговым подходом, сходным с тем, что использовался Зиикевичем и др.
[111 применительно к конечным элементам. Вторая связана с накоплением значений начальных напряжений, так же как это делалссь в случае с начальнычи деформациями. Представлено несколько примеров для иллюстрации применимости метода граничных элементов к решению упругопластических задач. Приведевы также задачи механики грунтов, ре. шенные с помощью фундаментального решения для полупласкости. 7.2. Некоторью простейшие соотношения теории пластичности В равд.
6.2 было показано, что одноасное пластическое поведение возможно только в том случае, если выполняется условие. текучести (6.13). Это выражение приводим здесь еще раз для полноты изложения: Р(о, я) =о — о,=О. (7.1) Кзк было показано, это условие текучести можно применять длн описания одноосного пластического поведения. Для общего случая напряженного состояния соотношения такого вида обобщаются на ли:бую возможную комбинацию напряжений. В дан- зоз Г ора» лло«ти«но«ти что дае~ ( — 'а бз",) = (о,я)«) (7.9) или «О« = ( — ) (дайн,) (7.[О) При использовании метода граничных элементов в варианте с начальными деформациями приращения пластических деформаций вычисляются с помощью приведенных выше соотношений ном разделе будет рассматриваться только условие текучести Мизеса, которое можно предстанпть в виде [1 — 91 Е(оы, й) =- 1'37« — а, .= О, (7.2) где .1, — второй инвариант теизора девиаций напряжений (см.
выражение (5.15)), й, как и прежде, параметр упрочнения, характеризующий работу при пластических деформациях; й = йу'= ~ям«(аеп. (7.3) Как говорилось выше, пластичность — это явление, характеризующееся также и историей нагруження, поэтому необходимо вычислять дифференциалы или приращения пластической деформации в процессе нагружения, а затем находить суммарные деформации путем интегрирования или сложения. Соотношениями, определяющими приращения пластических деформаций, являются хорошо известные уравнения Прандтля — Рейеса Н, 2, 41: Щ = 3«тЮ, (7.4) где пй — коэффициент пропорциональности, который может изменяться в процессе иагружения, оставаясь всегда положительным. Кроме того, далее удобно ввести эквивалентное или эффективное напряжение, а также эквивалентное или эффективное приращение деформации вида о, =- т 37м «(з«1/ з бзапба«ег.
(7.5 76) В одноосном случае, рассмотренном в равд. 6.2, имеем а, =- о и й4' = «(аа. Критерий текучести Мизеса здесь можно записать в виде о,— о,=О, (7.7) что полностью совпадает с выражением (7.1). Из уравнения (7.4) видно, что коэффициент пропорциональности Ю можно выразить через эквивалентные формы а, и,й„ г если возвести в квадрат обе части уравнения «(з«1«(а«1 = 303ыч)' « (7.8) Гриоа 7 ЗО4 Теории и»мою»и»ими следующим образом (41. Предположим, что найдено значение нагрузки, при которой достигаются заданное напряженное состояние и суммарные пластические деформации ао1, При малом увеличении нагрузки возникают дополнительные пластические деформации Ле,"1, тзк что полные деформации будут равны (7.11) ац = 'ц )-'ц + Л'ц о р р где в деформации а!! уже учитывается текущее приращение нагрузки.
Теперь удобно ввести модифицированный тензор полной деформации в форме в!! = ац — ерг! (7.12) или 1 и р а;! = — ! пц — о»»оц ! + Лац, 20 1, 1+и (7.13) где выражение (7.!3) представляет собой соотношение (см. также выражение (5.28)) е ац =- ац+ Ла!!. (7.14) Выражение (7.13) можно (с учетом равенства Ле»р» .= О) записать в двух девиаториых формах 1 е'„= 3!л20+ Лаг! е.'! ы аг! — з йца»» (7.15, 7.16) С учетом уравнений Праидтля — Рейсса (7.4) выражение (7.15) можно представить в виде ' = (1+ „',„) Л "р (7П 7) Возводя в квадрат обе части выражения (7.17) аналогично тому, как это было сделано с ныражениями (7.8) — (7.10), получим 1+ — „'„ (7П 8) где 2 рм = р 3 ег!е)!. (7.19) Подставляя выражение (7.!8) в формулу (7.1?), найдем Лаг! = (Лз~/а„) ец.
(7.20) Из приведенных выше соотношений видно, что для определения истинных зиаиеиий приращений пластических деформаций необходимо найти эквивалентное приращение пластической деформа- ции. Поэтому, подставляя выражение (7.10) для коэффициента пропорциональности ЛХ в соотношение (7.!8), найдем + зази; — а.о о~куда следует Лв,' = а,! .. и,/36. (7.22) Поскольку условие (7.7) должно выполняться при пластпче. скоп деформировании, то в соотношение (7.22) вместо и, можно подставить о,: Лао = ем — пи)30.
(7.23) Отметин, что, — напряжение, соответствующее пределу текучести прн одноосиом иагружеиии и достигаемое прн текущем приращении нагрузки; поэтому оно еще неизвестно. Однако это напряжение можно представить усеченным рядом Тейлора при разложении в окрестности значения и, иа предыдущем шаге (т. е. значение иапрнжения и, до задания приращения нагрузки) в следующем виде: ои» = ои» ~ — ' Вм» н Лао+..., (7.24) где Н' — функция, описанная в равд. 6.2.
Подставляя разложение (7.24) в формулу (7.23), находим (7.25) где значения о„и 77' берутся из предыдущего шага иагружения. Рассмотренные здесь уравнения были представлены для общего трехмерного случая. Для двумерных задач этн уравнения соответствующим образом видоизменяются применительно к плоскому напряженному или плоскому деформированному состоянияч (приложение В). Это позволяет вести расчеты путем последовательного суммирования значений напряжений на границах, перемещений и напряжений во внутренних точках в уравнениях (6,139),(6.!42). Уравнение (6,139) теперь можно записать в виде 1' = 14 (а~ + Лер) и М, (7,26) а уравнение (6.142) взять в форме а = В (ео (- Лар) '- Лг, (7.27) где еР— текущие значения пластических деформаций до (т. е.
ие включая) значения Лвр, соответствующего текущему приращению нагрузки и которое необходимо определять итерацион ным методом. Глава 7 Теор»«плогг«ггч»ооплг зот 7.3. Иачальные деформации. Методы численного решения 7.3.1. Примеры использовання формулировок с начальными деформзциями В связи с уравнениями (7.26) и (7.27) следует отметить, что вектор М представляет решение граничной задачи теории упругости (неизвестными являются напряжения и перемещения), а вектор 7«7 обозначает соответствующие напряжения. Нагрузку, соответствующую появлению первых пластических деформаций, можно вычислить, взяв граничный узел нли внутреннюю точку с наиболее напряженным состоянием и сравнивая эквивалентное напряжение а„„,п, в этой точке с пределом текучести материала прн одноосном растяжении. Шагавый процесс начинается с деления этого напряжения на коэффициент нагрузки, равный йо = ао/ае, вено (7 28) Затем вычисляется приращение нагрузки и следующее значение коэффициента нагрузки: )и =)«э+(), где „"= в ы, ы — заданное приращение нагрузки относительно о того значения, при котором появились первые пластические деформации.
Тогда уравнения (7.26) и (7.27) можно записать в виде У = К(ео -1- Лап),'- ХгМ, а = В(ао-'- уха») +)чгчг. (7.30, 7.31) Для заданного значения л, приращение пластической деформации в каждом выбранном граничном узле и внутренней точке определяется итерационным путем, а ниенна: а) вычисляются вапряжения (выражение (7.31)); б) вычисляются вгг (уравнение (7,!3)), в,г (выражение (7.19)), Лв," 0 (выражение (7.25)); в) проверяется сходимасть процесса, т. е. сравнивается вычисленное знв.
чение приращения Лво с его предыдущим значением; г) вычис. ляется новое значение Лали (выражение (7.20)), д) переходят к следующему узлу и начинается расчет опять с позиции «б», дока не будут рассмотрены все узлы и точки; е) переходят к позиции «а» для выполнения новой итерации. Как только достигается сходимость (с заданной точностью) для всех выбранных узлов и точек, приращение Лвл суммнруется с а» и полученное значение используется как исходное для следующего шага по нагрузке. Отметим, что, для того чтобы выполнялся шаговый процесс с итерациями, требуется только выражение (7.31), Уравнение (7.30) используется только после достижения сходимостн и если требуется найти неизвестные на границе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
