Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 78
Текст из файла (страница 78)
2! О, ! 40068 41 0,?0977224 0,21 14?716 0,17715622 6,127 У ПО 0,78478879 1- 3) 0,390224(Ы !†11 0,138672901 — !1 0,?»ЬЮ4Ш (- и 0,12095474 0,18636310 ОЛ9566066 0,1135 723 0,3 3569597 0,93647084(- П 0,55787938(- 13 0,27$59893(- !) 0 95)С)992 ( — 2) 0 !638)586(- 2) Гзривовсение А 482 бв«рауны оиввнноьо иныеерировонив Теблиио А,Х ох«рмуив Коорлинвсы ! коорпиньты с, Веса Т(' 1 3'л' " о ( О !66666(7 о 8!74261'! = с 0537(4799 00 (! — «! О 16385495 0.61114353 и,!8257381 Т('2' и 0,35514705 гв — — «! 0.04756957 0 1775 3138 3'! = (! Зв — «в 19! О (25 О "8«95366 О 24706"75 ГМ ! ТМ' (, — — «3 0.75«93225 «!'=с О 46805571 0.5027(!"3 ТМ "-" с = О «50515 (9 0 63085810 0,33623395 О 61К7ХЗ55 с; =.«, ОО7!3 896 о 2664049( Гл! ! ,с! 3.52549435 — Ч 26501317 (,!у! (Зч" «! 2 37881900 0 5733376" -0 581ФЗЗО !Π— с.
3! =.«! -О 2(К77566 ! ! 0.13250102 1 19649666 О 39(66491 — 0,15632!72 (,.—. ! сп ! (! †(О 1 022"6580 0.73998134 - 0 929" 8746 -0 15602536 -О М51ЫО4 О 69629093 «;=(, ! ыл 3 из = о ! !!= 4.8!2!!825 2.79404(П( 1 00903897 ь,=в О (4З(З4З! ОО (ЗЛ! 1 0 !3130626 — 1О .= 1 мм -"' ОО 0761!ХХ 4 3.64221415 0 58495«05 -О 6595«(49 О 64186697 с! = (зм "' ОО 10 и,=«- 1(144!Ю( О 791644'б ! ..
ь! о!=о. 0,448«(ХОЛ О '7 !'2(Л ! 0 7 !405!41 О 4(4(П14( 1 земь(О48 0.93483790 О.( СПМ 9 О "50714К5 О 49Ъ6782 и ! — о' 0 31161231 0 31161293 о!в ! 76"74717 ! О( ЧОО55 0.3737 18(1 о,=! ° 1 005784Я! О 3«848!34 к формуле с й-й степенью для конфигураций Тзь' н ТМ областей, показанных на рис. А 2. Сказанное справедлива и для ОТ( 3( и ()М й. Когда для одной и той же степени приводится не одна формула, та вводятся обозначения с помощью штрихов. Рнс. А.2. Описание конфигуреией обиастеа иетегрироеаике.
Крумиои уевэенв особаи точке. Отметим, чта в формулах используются положительные значения вссов и тачки интегрирования располагаются внутри области интегрирования, за исключением формулы ТЧ2", для которой точка 1 находится на некотором расстоянии от треугольника. А.З.З. Численный прием нахождения главных значений интегралов Известно, что аычислеиие главных значений интегралов можно Выполнить, используя интегралы с канечныии значениями )б ) Для иллюстрации рассмотРим главное значение интеграла Коши: е (в — в Ь где предполагается, чта функция 1'(х) удовлетворяет условию Гельдерн в тачке з и Г (х) ~ б, поэтому особенность имеет первый порядок. Ф 1| луг|с 'ие|Рллого 3$|л1еер31ро1$|л1$л Ирилоиелим Л 484 Таб.|ица А 5 =2 — 0.1318833079 1298666721 5610599477 11) — 0.1309307341 4159532815 965ВМ3249 О 63188130791298666121 5610599477 (1) О 1309307343 4159542875 9658493249 е ь л е (А.8) (- 3) — 0.3969686527 5763972364 5602577574 (1) -0.2051668519 3485338763 3677477371 ОЛЗЗЗЗЗЗЗЗЗ 3333333333 333333|333 ($) 0 1588?35294 1376470588 235294П 76 ошюсеыг гюбзятгэблзбо?51157 о 4634ззюю зоввбвыы з?4зэыял! (-1)-о!Язззвоввзаю?397574ззоюэоюв (1)-огзяюгэ3894?06353!4! !Явбш!(Рж 0 1991383810 4998674591 76Ю636251 (3) 0.1672029801 3533497563 58006 4534 ОзвэюэабмыатВЗ1ОООЮШ4ОО189 06154334170 Ю54245ЫОЯШЗЗВЬВЗ оквявг?5564563?амз?5479241316 о?4616541!Озшэ!зыюшогзз?468 л-5 ( — 1) -0 1034864035 56104503913236228982 0 !3!8791969 т5423 0444 89308!0803 0.4330445071 4059ЗЯ0565 4861696346 0.7206100604 8734965175 5922829130 0.94237033!3 5779924408 7363842397 (1) -03020220388 0367483499 1983779419 (3) 0 1706705539 0523283409 5676514538 0 7655773077 6620893412 7999"54496 0 39403?0876 36689930% 9863730341 0 1539054735 8!52374432 5233663971 (|3 -0.3373785154 0!07021091 6620840281 (1) 0.3723519097 4105612509 3829189834 0.8125117342 9233737746 8770569286 0.4683097364 84676!О!33 574237465$ 0.2618278247 3224660362 0697426204 0.3056167630 9088!17780 2700134329 пркледе «и* л т блике лк следует уикли л .
|с л стел л, уктл,лыс ру ик сксбклк. Очевидно, что каждый из интегралов, стоящих в правой части выражения (А.7), можно вычислить, взяв конечное значение интегралов где через )- обозначена конечная часть интеграла [5 — 71. Конечная часгь интеграла является линейным и непрерывным ф икционалом, куда входят регулярные интегралы, поэтому уик з есь можно использовать многие свойства обычных интегр ло, ал в, по не все будут справедливы в общем случае. Напр|мер, уздесь о ,всла выражений (А.8) в обычной форме возможны перенос и отобра- |Е жение интервала интегрирования, но недопустимо изменен| масштаба.
Если во втором из выражений (Л.8) изменить масштаб, то следует использовать следующее выражение 17): Ь Г Г(х) лх,. С Г КЬ вЂ” Я) $+') $(( 1- 3(8) [п [Ь вЂ” н !. (А.9) л О Интересно отметить, что, используя представление о конечных частях, можно интегрировать также и особеиностя более высокого порядка, но полное изложение этан теории выходит за рамки данного приложения. Интересующегося этим вопросом читателя отсылаел| к работам 15 — 71. Формулы численного интегрированна для вычисления конечных частей интегралов были представлены Куттом (81. Для полноты изложения частично воспроизводится таблица, иллюстрирующая выражения (Л.8). Данные таблицы получены для отрезка единичной длины и поэтому выражения (А.9) следует представить в виде е Г' = ( Г(х) ~хсо — ~~ Г[(а .
8)х, +8!091 — Г(8)!п!а — 51, (А[0) [ .к й ь !" .†.. ) (") а|х ж у ! [(Ь вЂ” 8) х, . 1 81!в| + ( (8) !п ! Ь 8 1, (А. 1 1 ) 1=1 гд х. и ц — - соответственно координаты и веса гауссовых формул интегрирования (их значения приведены в табл. А 5). Отметим, что первая точка интегрирования лежит вие пределов интегрирования, ио поскольку Лля функции Г (х) известно аналитическое выражение, то это не существенно.
6 ( — 21 — 0.6556081602 2445 314564 8046362307 (- 1) О 93250 $5355 0834953341 4314П4990 0 3004462888 0792320 3 56 8234438420 О 55944Ш 971 0305566728 1833365623 0 8008212350 0722462324 6583676282 0 9599558342 068Ь235675 4960217 165 л -7 (- 2) -0 4486017976 3859046360 9844627776 (- 3) 0693086825938934712039902359713 0 2276496033 4328665070 4908345661 0 4390637630 4952800535 8487273996 0 $616489750 8666059405 0408569646 0 8$33209482 8767406448 2920243734 0 9105646914 5741732653 б!68706619 л=Я 2) -0 3242501597 2Я717|Я707 6226447723 0 534юяалт 2145996353 63?5159111 0.1778273263 9269532029 1476!О!206 0.1507378785 5254952494 17594'.В184 О 5458 195 Ю4 6848788049 7 П 3433353 0 7334270806 5718625775 7460821283 0 8849830533 70116722П 4798993637 0 9774543783 7979958378 т452886993 (3) — 03670695942 054|Ю?514 7338842122 ! П ОЛ732436531 956800!326 4627034186 О 8400787344 9383995169 0577594652 0.5132253766 0748204799 5326075488 0.3222444539 045ВЭ95756 1663455934 ОЛ 876463012 3!292464?8 5563208552 (- 3)0 7706473986 0398717тсз 9877507356 (1) -0,3930636810 068553 1256 734368590 3 |и ОЛ73740633090023528562372435669 ОЯ576345422 7306884948 2376287755 а538%01134 8249803899 %533!1080 0 3597575915 9203137679 57005717Я2 0 2372616990 9455128730 1264345652 О 1434622854 9686852832 8034959954 (- $)0 5874160122 93 П759!42 3832261022 Прело»с»с~с»с А Приложение Б !1рпведенпыс выше форзг,лы ею»сно использовать прн вычислении главных значений интегралов для двумерных граничных элементов (т.
е. прп нахождении ведущих диагональных подматриц матрицы Гт). В трехмерном случае и прп неупругом поведении материала (пластичность, нолзучесть и т. п.) можно также использовать полярную систему координат (г, у, 6], которая позволяет вьпеолиять одномерное интегрирование по г путем нахождения главной части интегралов и применять стандартные квадратурные формулы для угловых координат ГГ и О. Фундаме(ьтальные решения для нолубеснонечных областей В этом приложении представлены дополнительные части фундаментальных решении задач для полупространства н полуплоскости.
Эти выраженая, прибавляемые к соответствующему решению Кельвина, дают необходимые фундаментальные решения (см. формулу (5.67)) для трех- н двумерных задач. (В.й) Б.1. Полупространство 111 В соответствии с рис. 5.1 дополнительные выражения для перемещений, обусловленные единичной сосредоточенной нагруз- кой, приложенной внутри полупространствз, имеют вид 3 (1 — «)» — (3 — 4«), (3 — 4») сс — 2»е бслп( ) и!с=К») ' „' Л»' ! „»с ° Г (3 — 4«) Г, 4 (! — «Ц! . 2«) всея» ), г» исз = К»гз ,' л» л (л+ я,! — — псз =- — 'пм, с Г (3 — 4«)се, 4(! — «)(! — 2«) бсгп» ", , = К»гз ~ ~— + — — — ' (, (В.!) (Ге + (((Л ! Л) ((е Г 3 — 4«4 (! — -«)(! — 2«) бег ) м= К»гзгз ( Л» — с»(я+ Л), Ге из! = — и,'„из' = и,'з, ге с Г ! . (3 — 4«)Г» 2сс Г зсе ', изз =- К» ! — —, ~Л г ге (, г»7' + — (,1 — ')+ 4(! — )(! — 2) ~ гз где ! = 1, 2, 3, Р = ()т»Р!)!(з, г! =х,(х) — хс(3), Р! = х, (х) — х, (в'), с = х, (1) ) О, х = хе (х) ~ О, К» = !бл (! — «) С ' Приложен»ис Б 488 »сандал»сипи»»анис пе»гнпип длч поьубгсхсгьсчпмс обло«»пег) 438 Рис.
5.1, Геометрии задачи о единичной сосредоточенной нагрузке, приложенной еиу. трн полупространстпа 0 Р») =- ! Р,! = ! Рз) = 1). с ь г (1 — 2ч)г» »ь»1» = »» з Г с! ,1 — 2ч с»н =-К ге ,,' 3 (3 — 4ч) д((! — Зс)ч» (5« — с) Збс«П! ~ )'\3 Збсх)(1! ~ Пз )(ь 3 (3 — 4ч) «)(» — Зс (Зх )- с) 1 —. Уч 3 (3 — 4ч) Х)(» — Зс Зх -)- с) 30«хд( 1 01»1 = Кз»з Пь )( ь ог ( (1 — 2ч) (З㻠— 4чЯД 3 3 — 4ч) г(г — б«П» П! — 2ч) х — 2чс) )(ь нь Зосг»»Д)(» 4 (1 — ч) (1 — 2ч) ( гз г! '! 1 Пз г (г ~- )(») (, )( (П+ )3») Г 3 (3 — 4ч) г» нин Кзгзгз [ )зь + 4 (1 — ч) (! — 2ч) ( 1 1 '1 Збсхй» "! + Пз(П+П,) (, )З+)! + ~)З / Пь Г (1 — 2ч) (З㻠— йч)У») 3 (3 — 4ч) гй㻠— бс)У, ! 1 — 2»0 х — 2чс! )зь Г 1 — 2ч 3 (3 — 4ч) )У'» с»ы = К,гз [ — — ' + ))ь оь + — ь(с т-(! — 2ч) )!»+ —,' )~, Дополнительные выражения для соответствующих напряжений равны: с», ( (1 — 2ч) г» 3 (3 — 4ч) г!)(» сии = К»»1 й»з п» бс 5г(хл, )(ь оз ((1 — 2т) (5 — 4») 3(3 — Фч)гт сзы — — К,г»1 4 (1 — ч) (! — 2«) ~3 гз» (3)( — , 'И~)1 )( ()(+ П»)з ~ )(з ()(+ )(» + ( ! — 2ч 3(3 — 4ч)г» ожт К гз [ )(з й(ь 4 (1 — ч) (1 — 2ч) Г! гз(ЗП+П») ) бсх ! ! Зг!»»~ )(()( ! )()ь [ йе(п+о) ! оь», пз/ ( 11 — 2ч) (3 — 4ч) 3 (3 — 4ч) гз оыз= К,г,» ь — ч (' — зч ( л»жзлд! )у(д+)(»)» ь Пз()(4-Я») ~+ + ь [с..
(1 — 2ч))ч»+ — "," ~), га с О»»З =- — Сиы гз с б,'а, =- а»з», с ( (1 — 2ч) г, 3 (3 — 4ч) г(П» — — [х)ч» — (1 — 2ч) гзз -- — — ~), бс г бгууг» 1 )2. ~ )уз ((1 — 2ч)(3 — 4ч) 3(3-. 4ч)г» ож = Кзгз) пз 4(1 — ч)(1 — 2ч) Г! г)(3)2+йь») ! „ )((((+П»)з ! Пз Ф+ й») ! + бс г бг)х ! + — [с — (! — 2ч) )(»+ — ' )у» я ! ' (1 — 2ч 3(З вЂ” 4») г! гз м — зи-Ы ~, ° (н+ лч:,, Ы») П(П+ М' ! Пз (П+Ви) 1 )(д»» йз ) 490 Прилажснис 5 где — Г (З.с + с) (1 — 2»1 и'и,.-- К„) '", ' 1- г гз: ег с /1 — 2ч огм == — К»ге( Б.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
