Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Топология декартова произведения топологическнх пространств задается естественным образом. Совокупность подмножеств бст называется базой окрестностей, если для любого ()опт найдется множество Уепб, -такое, что ус:К Если (Ть т~) н (Ть то) — топологические пространства и Р;Т, То — отображение, то последнее называется непрерывным, если прообраз открытого множества в То открыт в Ть Линейное пространство Х, в котором задана топология, называется линейным топологическим пространством, если обе основные операции в Х, а именно — сложение и умножение на число — непрерывны (как отображения из ХХХ в Х и КХХ в К соответственна).
Линейное топологическое пространство называется локально-выпуклым, если в нем имеется база окрестностей, состоящая из выпуклых множеств. Первая теорема отдел и мости. Пусть Х вЂ” линейное топологическое (не обязательно локально выпуклое) пространство, А и  — выпуклые непусгые подмножества в Х, причем внутренность одного из них, скажем А, непуста (ч=о!п!АФИ), и оба множества не пересекаются (<~АДВ=Я). Тогда найдется элемент «*~Х*, такой, что зпр (», «) ( !п! («, «) ° оел оев Геометрически соотношение (5) означает, что А находится в одном полупространстве, порождаемом х", а  — в другом, т. е. А и В отделяются некоторой гиперплоскостью, порожденной х'. <1 О.Доказательство опирается на следующие факты: 1) теорему Хана — Банаха, 2) простейшие свойства линейных топо- логических пространств, 3) определение и простейшие свойства функционала Минковского.
1. По условию существует поен!п!А и ЬояВ, Обозначим С: (А-ао) — ( — Ьо), со — — Ь,-а,. Из 0.2 следует, что СенСО(Х), Оя!п1 С, со чьС. (6) В силу 0.3 функция Минковского множества С (т. е. иС( )) определена на всем Х, сублинейна, и, кроме того, в силу определений и (6) получаем иС(Х) <1 УхеиС, иС(со) >1.
2. Обозначим Хо=1!п(со) и положим для хояХо, «онаго (хо', хо>:=аиС(со). Ясно, что (хо', х)~!ьС(х) УхенХо, (хо, со) иС(со) (8) 108 По теореме Хана — Банаха существует линейный функцио)нал х'еиХ', такой, что х'(х.=хо, (х', х) (рС(х).
(9) „ В силу того что Оя)п1 С и ))С(х) «1 ЧхеиС (см. (7)), из (9) ч)олучаем, что (х', х) «1 (гхеиС, т. е. функционал х' ограничен, а значит, непрерывен. Итак, х'=х»~Х». 3. Пусть 'теперь аенА, ЬеиВ. Тогда !о )8) ло) (х', а — Ь) =(х', а — ао+Ьо Ь) — (х', со) ( рС(а — ао+Ьо Ь) оч )С(с9)~ 1 1 О т. е. (х», а) «<х"*, Ь) т)гаяА, ЬенВ. (> Вторая теорема отделимости. Пусть Х вЂ” локально-выпуклое» линейное топологическое пространство, А —- выпуклое и заикнутое подмножество Х, хЦ:А. Тогда найдется линейный функционал х»енХ», такой, что зпр((х», х>!хеиА)« «(х», х). По определению локально-выпуклой топологии и в си.лу замкнутости А можно найти выпуклую окрестность П точки х, не пересекающуюся с А. По первой теореме отделимости найдется линейный функционал х*, такой, что зпр((х», х))х еиА)<1п1((х», х))хаим«(х», х), ибо образ П при отображении х-ь(х*, х) — интервал, содержащий число (х», х).
(> Отметим еще Следствие из теоремы Хана — Банаха (лемма Ъанаха). Пусть Х вЂ” нормированное пространство и хоенХ. Тогда найдется линейный фун)кционал х" АХ», такой, что )()х*!! 1 и (х', хо)=)!хо)!. Если хо=О, то можно взять любой функционал х*, ()х*!)=1. Если хочьО, то рассмотрим одномерное подпростран.ство 1,=11п(хо) и зададим на нем линейный функционал <х*, ахо)=а!!хо(!. Ясно, что (х», х)<)!х)! о'хенТ.. Значит, по теореме Хана— .Банаха найдется линейный функционал х', продолжающий х' и такой, что (х', х)«!)х(! ))'х.
Но отсюда сразу следует ограниченность, а следовательно, непрерывность х', т. е. х'~Х». Обозначим его х*. Из неравенства (х», х) «!)х)! и равенства (х», хо)=(х', хо)= !!х)! вытекает, что (!х" !!=1. (> Теорема Банаха об открытости. Пусть Х и У— банаховы пространства, Л вЂ” линейный непрерывный оператоР .из Х в У(е»ЛеиЫ (Х, У) ), являющийся сюръективны и * Линейное топологнческое пространство называется локально-выпуклым еслн в каждую окрестность можно вписать окрестность, являющуюся выпуклым множеством.
109 (»=»ЛХ У).' Тогда образ каждого открытого множества в Х открыт в У. <! О. Доказательство опирается на теорему Бэра: полное метрическое пространство не может быть представлено как объединение счетного числа нигде не плотных множеств [КФ1. 1. Обозначим: В,=(х!!!х!!<с) шар радиуса т в Х (таей), С, замыкание его образа в У: С,=с1В,. Из-за сюръективности Л ф () С,=У. Вследствие банаховости (полноты) У из ге и 0.1 получаем, что найдутся такие геях, »1яу и р)0, что С„=з В, (). р): = (у ! !! у — Ч !! < р).
(10) р(з определений и из (10) следует, что для любого е>0 и любого у из шара в У радиуса р с центром в нУле найдется элемент $ен Вп, такой, что !!У+и — ЛУ! < !!У-Л Ц-Л- 0) !! <., (11) При этом !$ — Л вЂ” !т1!! <т„где т, — некоторое фиксированное число. Пусть теперь у !из открытого шара в У с центром в нуле с радиусом р. В силу (11) найдется х!, !!х!!!<т!, такое, что !!у — Лх!!!<р/2. Аналогично найдем хь !!хз!!<т!/2,такое,что !!у — Л(х!+хз) !!<р/4.. Продолжая наше построение, придем к последовательностш л (х,), в, такой, что !!х,,!!<т! 2-<" '! и !!у — Л Т хь!!<р.2 ",. ь=.! л Вследствие полноты Х суммы Я хь сходятся при и- то к нег=! которому х.
Тогда ясно, что !!х!! «< Я !!хь!!<т! ~ 2 ' ~=2г!<Зг„Лх=11шЛ ~,х =у. Феи еен л ю Итак, открытый шар в У с центром в нуле радиуса р содержится в образе открытого шара в Х с центром в нуле радиУса Зть Отсюда сРазУ следУет, что обРаз любого откРытРго шара в Х с центром в нуле содержит некоторый открытый п(ар в У с центром в нуле и вообще образ любого открытого множества содержит открытое множество. !) Из доказанной теоремы очевидным образом вытекает Следствие (теорема Банаха об обратном операторе). Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, Ле=Ы(Х, У), ЛХ=У и КегЛ=(0), Тогда обратньй» оператор Л вЂ” ' является непрерывным линейным отображением из, У в Х (»=»Л-!енЫ(У, Х)).
110 Для того чтобы доказать, что Л-' непрерывен, нужно показать, что прообраз любого открытого множества при этом отображений открыт. Но прообраз множества 0 при отображении Л-' — это по определению не что иное, как ЛП, и, значит, если ПенбУ(Х), то ЛПе=б'(У), и зто доказывает непрерывность Л '. 7.2. Леммы (о нетривиальности аннулятора, правом обратном, замкнутости образа и аннуляторе ядра сюръективного оператора). Здесь мы докажем четыре леммы, являющиеся простыми следствиями теорем п. 7.1. Они найдут свое применение практически во всех дальнейших параграфах. Л ем м а 1 (о нетривиальности аннулятора).
Пусть Х .локально-выпуклое пространство, Хь' — замкнутое подпространство Х, не совпадающее с Х. Тогда аннулятор Хь" пространства Хь содержит ненулевой злемент. <1 По условию существует хяХ',Хь. В соответствии со второй теоремой отделимости найдется элемент х'ш-:Х*, такой, что 5ПР (Х, Х)( (Х, Х). к ах~ Вели для некоторого х, ен Х» (х', х,) ~ О, то зпр ((х", х) ! х ен Х») '= : .»зпр((х*, (х ) !» ен Щ=+оо, что противоречит (1). Значит, х' я ен Х~ь, а из (1) следует, что х'чь0.
г» Л е м м а 2 (о правом обратном). Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, Л:Х- У вЂ” линейный непрерывный оператор, являющийся сюръективным. Тогда существуют оператор М:У-' — Х и число С)0, такие, что Л~М=!т(<=»Л.Му=.учу) и !!Му!! <С!!у!!. о 4 Обозначим ВХ открытый шар в Х радиуса единица (ВХ: =(х ! !!х!! < 1)). Ясно, что ВХ вЂ” открытое множество в Х. По теореме Банаха об открытости ЛВХ содержит шар 6ВУ:= (уеду!!!у!!<6), т. е, туенбВУ, найдется х(у):!!х(у)!!<1 и Лх(у) =у. Обозначим Му: =х ( — ) —.
Тогда из опредебд 5 2!!вб 2!)в)!) 6 .ления М получаем Л.М бв,2!!Уб — у !!Му!!( 2 !!у!!, 1> 2!!у!! б 6 3 а меч а н и е, Построенное отображение М, вообще говоря,' разрывно. Можно, однако, добиться того, чтобы это отображение было непрерывным. Эта конструкция базируется на <ледующем результате.
Теорема Майкла о непрерывной селекции„ Пусть Т вЂ” метрическое пространство, Х вЂ” банахово пространство, Р— непрерывное многозначное отображение, сопоставляющее элементу 1еТ непустое выпуклое замкнутое множество Р(1) сХ. Тогда существует непрерывное отображение. ,'( ):Т- Х, такое, что ) (1) еяРЯт(тенТ; (Но1п)ез Е. В.
Оеогпе1Пс (ппс!опа! апаИз(з апд аррИса1юпз. 51. У. Ярг(пдег, 1975). Теперь для того, чтобы правое обратное отображение оказалось непрерывным, надо, выбрав Л)1, применить теорему Майкла к многозначному отображению Р(у) =Л-(уПВ(0, Л !п((!!х(!)Лх=у)), где Л 'у — прообраз у. (Из теоремы Банаха сразу следует, что Р непрерывно.) Подробности см. там же (з. 184, 185) Данный факт называем далее леммой о непрерывном правом обратном. Л е м м а 3 (о замкнутости образа). Пусть Х, У и Я вЂ” банаховы пространства, А и  — линейные непрерывные операторы из Х соответственно в У и Х, причем АХ вЂ” замкнутое подпространство в У, а ВКегА — замкнутое надпространство в Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
