Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для этого фиксируем натураль- ное число !ч', наборы: точек т=(с!, ..., тн), т!<тз<...~тн, управлений о=(о„..., он), длин а=(а„..., ан) (т!~Т, о!~ ен(!, а!~0, !=1, ..., А). Через !а!, как обычно, обозначаем '(~ ' ат!) ы, управление где А!=(т — (А! — !) !а!-ас, т!-(А!-!) !а!), назовем игольчатой .вариацией управления й( ), определяемой пакетом иголок (т, с, а). Некоторые точки т; могут совпадать.
Однако полуинтервалы йч (имеющие длины а;) выбраны так, что они не пересекаются и при малом !а! лежат во множестве Т. Пусть х„(.) (т!=(1,, ха а)) — решение уравнения х=!р(1, х, и,(1)) (1) с начальным условием х(гь) =хе, где точка (1ь, хь) находится в ее! б-окрестности точки ((ь, хь) (хь=х(1ь)). Ниже мы покажем, что х„(. ) — решение дифференциального уравнения — действительно существует и определено на всем отрезке Л.
Вектор-функция х„( ) называется игольчатой вариацией функции х(.), определяемой точкой (1ы хо) и пакетом иголок (т, о, а). В) О системах дифференциальных уравнений. Предположим, что задача Коши на конечном отрезке Л х=Р(1, х), х(то) =хо (1оеп1п1Л), ,имеет решение х(.)енКС'(Л, К"), при этом Е непрерывная и непрерывно дифференцируемая по х в некоторой окрестности О траектории Гу=((1, х(1) ) ~ 1енЛ). Тогда найдется О'с:Π— окрестность траектории Г,, такая, что для любой точки (1ы хо)енО' существует единственное ргшение х(, (о, хо) задачи Коши, определенное на А, при этом .функция х(1, го, хо) непрерывно дифференцируема во множестве ЛХО' и дх (г оо хо) ~ дхо ~»,— ои,> дх(1, г...)~ где й(1, то) — фундаментальная система решений уравнения е вариациях: — (1(1~ го)=Ро(1 х(1))(1(1. (о) 11(го го)=1~ 1 — единичная матрица. Это классическая теорема о существовании н непрерывно.
дифференцируемой зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных 1АТФ, с. 195 — 2041. Г) Л ем м а об игольчатой на риац ни. Пусть наборы т и о в пакете иголок (т, о, а) фиксированы. Тогда существует е)0, такое, что если О<) а) <е, )хо — хо! <е, !го — (о! < <е, то Тз,~Т и, кроме того 1.
Функция х,( ° ) — решение уравнения (1) — определена на отрезке Л, ))х„( ) — х( )йс<да > — «О при и — «н=(1о, хо, О). 2. Отображение (1, т1)-«х„(1) продолжается до непрерывно дифференцируемого отображения в некоторой окрестности тон° (,ч) 3, Выполняются условия: =()(1~ Го) дко о=1Т = — ьг(г~ го)'Р (го) дОо Ч Ч 4 звко где Я(1, 1о) — фундаментальная система решений уравнения в вариациях: Й(1 то)=ф (1)()(1, то) (1((о 1о)=( Наметим путь доказательства леммы. Если управление й( ) — непрерывная функция, то утверждения леммы сразу вытекают нз теоремы пункта В) о сушествованин н непрерывно дифференцируемой зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных.
Если же й(.) кусочно непрерывна, то нужно применнть теорему В) несколько раз на каждом участке непрерывности. Д) Редукция к конечномерной задаче. Снова фиксируем У, т и о. Проведем редукцию к конечномерной задаче. Обозначим' х=(1ь т1)=(1ь 1о, хо, аь ..., ая)~$(о+"+н, по, ложим Ро(г) оВ~(хч(') иа( ) 1о ~1) =~ 1; (1, х„(1), и„(1)) Й+Ф;(1„х„1„х„(1,)) в рассмотрнм задачу Ро(х)-нп1; Р~(х) (О, 1=1, ..., тл', Р;(х) =О, (=та'+1, ..., т, а~)0, 1=1, ..., М. (з„,) В силу леммы об игольчатой вариации Р; непрерывно диф-';. ференцируемы в некоторой окрестности точки Я=(1ь 1о, хо, 0)5 н (х„(.), 1о. 11)-~-(х( ), 1о, 11) при х- г, а так как $ доставляет локальный минимум в задаче (з), то точка йен1осш!пзно Значит, к задаче (з,,) применнм принцип Лагранжа для конечномерных задач с равенствами и неравенствамн (п.
2.4). Со-" гласно ему найдутся множители Лагранжа )оя ..., й, аь ..., рю не все равные нулю (Х;=Х;(т, в), по=а;(т, о)) н такзе,' что для функции Лагранжа Я= ~' Х,Р; (г) — ~,р;а; выполнены условия стационарности (У,=О), неотрнцательно сти (Х;>О, 1=0, 1, ..., т', р~~О, 1=1, ..., У) и дополняюшей нежесткостн (л;Рг(г)=0, 1=1, ., т', ~цау=О, 1=1, ..., Я Е) П р ео бр а зов а н не необходимых уел ов н й квнечномерной задачи. Положим 98 Е(Е, х, и) = г Хс)с(Е, х, и), с=о Е(Ео, хо, Е„хс)='5')~Мс(Ео, хо Ес хс) с-"а Р( ) — решение дифференциального уравнения Р(Е)+ (Е)~.(Е) =Ь (Е) с краевым условием Р(Ес) = Ео,.
(3) Из этих определений и определения для оЕ(Е, Ео) следует, что — (р(Е)о1(Е, Е )) =Со(Е)а(Е, Е,) со 2 = 1 ~ (Е, хч1 и -)сЕЕ + Е(Ео хо Ес, х„ (Е,)) — Я (ссасг св с Распишем условия стационарности функции Лагранжа .У в точке й, учитывая лемму о приращении функционала п. 6.1.3 н формулы из леммы об игольчатой вариации: дР (о) =схЕ(то, оо) — р(-с„) схср(то, о„) — соо=О, й=1, ..., М, (4) с, с. — Е(Ео) — Р(Ес)(Е(Ес Ео)х((о)+Р((о)х(Ео)+Ес.+1~~1(Ес Ео)» (Ео)= (Ь> — й(Ео)+Р((о) х(Ео)+ (с. = Я((о)+(с.
+Еох((о) = О. (6) = ~(Ед)+ (с, +Еох((д) =О. 1 (с) 99 =Р(Ес)()(Ес Ео) Р(Ео)+Ео,+ЕФ(А Ео)= — Р(Ео)+Ео,=О (6) 7 ду (о) = — с дхч (С) 1 = - дхч (Сс) ~ — = — Ы.)+ 1'1. (Е) ~ ЕЕ+1„+Е„! дСо дСо Ч=Ч ' дСо (Ч-Ч с, Л;го (г) = 0 с=о Л,ой), Я) = О, ю' = 1,..., гп', Л;) О, (=О, 1,...,т'. (87 (97 Ж) Окончание доказательства. Рассмотрим и пространстве й +' подмножества К(т, и), пя(7, тенТ, компактной сферы 5=1Л,'~Л; = 1~, состоящие из тех векторов Л, для о которых выполняются утверждения а)-е) теоремы о принципе максимума Понтрягина, причем в п. в) взято 1=т, и=в.
Из определения множества К(т, и) нетрудно вывести, что онн замкнуты. В силу условий (2) — (9) любое конечное пересечение множеств К(тм по), 1=1, ..., Л~, непусто. По лемме о центрированной системе все множества К(т, о) имеют непустое пересечение.
Значит, существуют ненулевой вектор Л= =(Ло,, Л ) и функция р( )~КС'(от, й"), такие, что выполняются утверждения теоремы а) — е) с условием оптимальности, выполняющимся для любых тенТ, оя(7. Замечание. Принцип максимума доказан в простран- стве КС'(Л, й") ХКС(й, К') Х К-'. Незначительныс изменения доказательства позволяют обосно- вать его в пространстве Ф'1,. (Л, Й") Х Е (Л, Й') Х (~о. Помимо классической книги Л. С.
Понтрягина можно рекомендовать также монографию Р. В. Гамкрелидзе «Основы оптимального управления» (Тбилиси: Изд-во Тбилисск. ун-та„ 1977). 6.2. Примеры. Пример 1. Ж(х(.))= ~ (хо+х)бГ-~-1п1; (х( -. 1, х(0) =О, о 100 Очевидно, что ЛФО, ибо иначе из определений г, р и соот нос;ений (4) следовало бы, что 1о=О, что невозможно. Умноже пнем на положительную константу нормируем вектор Л так В3 чтобы 7 Ло = 1, о Итак, доказано, что существует единичный вектор Л, такой, что выполнены соотношения (2) — (7) и, кроме того, Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления, введя управление и( ): ) (из+ х) «/ -~-(п1; х = и, и ен ( — 1, Ц, х (0) = О. о Функция Лагранжа: Я = ~(Хч (из+ х) + р (х — и)) «/+ Хх (0).
о Необходимые условия: а) уравнение Эйлера для лагранжиана 1=ХО(и'+х)+ +р (х — и): — — Ь. + /. = 0 с=> р = Ач; « «/ б) трансверсальность по х: й„(/ь)=( — 1)е/,<с н Й=О, 1с=эр(0)=Л, 'р(4)=0; в) оптимальность по и: ш)п (Х,и' — ри) = Х,и' — ри. ие! — им Если Хр О, то из а) р=О и из б) р=Х=Π— все множителя Лагранжа оказались нулями. Полагаем Хо=1.
Тогда из а) р=. =1 и из б) р=/ — 4. Из условия в) следует, что з 1ап р, ! р/2 ~ > 1; ( — 1, 0 < / < 2; Р/2, Чр/2~<1, 1(/ — 4)/2, 2 /<4. Из начального условия находим непрерывную функцию 0</<2; /з/4 — 2/+1, 2<8<4. Докажем с помощью непосредственной проверки, что х( )ен енаЬзш(п. Возьмем функцию й( )енКС'([О, 41), такую, чтобы х( )+й( ) была допустимой в задаче. Для ' этого надо взять функцию й( ), для которой ~2+6~~1, Ь(0)=0. Интегрируя по частям с использованием того, что хх(/)=(/ — 4)/2 при 2~/~4, получим 46(х( )+Ь( )) — йа(х(.))= ) ((х+Й)*+х+Ь)«/ — 1(х'+х)«/= о о 101 4 4 4 4 4 = ~2хйй+ ~ Ьб(+ ) ЬасИ) 2 ~хбЬ+~ Ьй= о о о ='2х(Ю) Ь(Е)1 + ~ ( — 2х+ \) Ьо1 = ~ Ьй ) О, о о ибо Ь(1) ъО при 1~[0, 21, так как Ь(0)=0, и Ь(1) ъ.О при 1~ ен[0, 21.
Итак, хяаЬзш(п. П р и м е р 2 (простейшая задача о быстродействии). Пусть имеется тележка, движущаяся прямолинейно без трения по горизонтальным рельсам. Тележка управляется внешней силой, которую можно изменять в заданных пределах. Требуется остановить тележку в определенном месте за кратчайшее время. Обозначим текущую координату тележки х(Г), ее, начальная координата х(0)=4ь а начальная скорость х(0) $ь Пусть для простоты массы тележки т=1.
Тогда по закону Ньютона х=и. Ограничение на тягу зададим в виде иен[ — 1, 1]. Необходимо остановить тележку (х(Т) =0) в начале координат (х(Т) 0). Получаем следующую формализацию задачи: Т-«1п(; (х!«а1, х(0) =4ь х(0)=$ь х(Т)=х(Т) =0 Р е ш е н н е. Приведем задачу к виду задач оптимального управления п. 6.1.1, сделав замену переменных х,=х, хз=х и вводя управление и=х: Т вЂ” «1п1; х,=хм хз — — и, и~[ — 1, 1], х~ (0) =$ь хз(0) =Ь. х~ (Т) =хз (Т) =О. Функция Лдгранжа: .х = (р,(х,— хД+р,(х — и))б1+Л Т+Л (х (0) — Ц,)+ +Л,(х,(О) — %,)+ Л,~,(Т)+ Л,х,(т). Необходимые условия.
а) Уравнения Эйлера для лагранжиана Х. р1 (х~ — хз)+ +р2 (хз — и): — — Е.„. +Е„, =О, ю'=1, 2еар =О, р,= — р,хйр,Я=С!+С,. ! б) Трансверсальность по х для терминанта (=ЛОТ+ +Л1 (х~ (0) -$1 ) +Лз (хз (0) — $з) +Лзх1 (Т) +Л4хз (Т): р1 (0) =Ль рз(0) =Ль р1 (Т) = — Лз, рз(Т) = — Ль 10х в) Оптимальность по и (не зависящие от и слагаемые не Выписываем) тп(п ( — р,(1)и)= — р,(1)и(1)-~и(1)=з(йпр,(1) при.р,(Г)ФО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
