Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ке$ пм г) Стационарность цо Т: Ут = Оа'ьЛо+Лзха (Т) +Лахт (Т) =О, Учитывая, что «,(Т)=0, Ла=-р,(Т), рз(Т)п(Т)= )р,(Т)~, получаем Ют=Оа='Ло= аарт(Т) !. Если Ль=О, то из г) следует, что р,(Т)=0. При этом рз не может быть тождественным нулем, ибо иначе все множители Лагранжа были бы нулями. Значит, из а) рз(1)=С(1 — Т), а тогда из в) следует, что й(1) = — 1 или Й(1) ~ — 1. Множество на- чальных условий, соответствующих таким управлениям, опи- сывается уравнением ( — уЯ;, ~,~о; 1р' — 2$ в (О 1 1 (Й(1) — 1=:-х (т)=1 — Т, ха(1)=(1-Т)з/2 Кзэ/2=$,; слУчай Йам — = -1 аналогичен). Если же Ь~арДа), то Ль~О, и полагаем Ль=1.
Тогда из г) вытекает, что ~рт(т) ~=1, т. е. имеются две- возможности: р+,(1)=С(1 — т)+1, р-,(1)=С(1 — т) — 1. Этим возможностям в силу в) соответствуют такие управления: — 1, 0(1<т; ~ 1, 0(1<к; и+(1) = и- (1)= 1, ъ(1(т, 1 — 1, т(1<Т. Рассмотрим траектории, соответствующие оптимальным упРавлениям и+ и аа на плоскости (х„хз), называемой фазовой плоскостью (рис.
3). Для тех значений /, для которых Й(1) =1, имеем хз-1~х,=х,=/+С'~х =/т/2+С'1+С"=х,т/2+С. Таким образом, фазовая траектория, соответствующая этим значениям 1, является куском параболы х,=х2т/2+С. Направление движения по такой параболе определяется из условия возрастания хм так как в этом случае хз=!. Аналогично получаем, что для тех значений 1, для которых Й(1)= — 1, фазо- ваЯ тРаектоРиЯ вЂ” кУсок паРаболы ха= — хзз/2+С, а напРавление движения определяется из условия убывания х„так как х,= 1 Укажем теперь то место на фазовой плоскости (хь хз), 103 где должно совершаться переключение управления. В искомую точку (О, 0) (х,(Т)=хз(Т)=0) мы должны попасть не более чем с одним переключением, двигаясь по фазовой траектории по разрешенному направлению.
Совокупность начальных условий, соответствующих управле- М»Ф~) ниям и+( ) и и-( ), описывается неравенствами $а)~р(Ь) для и+( )) и фз(~р($,) (для и-( )) 0 х (рис. 3). Переключения совершаются на кривой йз=фД~). При этом, как нетрудно видеть, для каждого начального условия имеРис. 8 ется единственная фазовая кри- вая, приводящая в точку (О, 0). Поскольку всегда ~ хд ~ =1 на оптимальной траектории, то хз=11~+С и, значит, время движения Т=Чагхь Покажем, что оптимальная траектория, начинающаяся в точке ($ь ~э), доставляет решение задаче.
Пусть этой траекторпи соответствуют управление й(.) (для определенности и-(.)), функция х(.) и время т. Предположим, что имеется некоторый другой управляемый процесс (х( ), и( ), Т), Т(Т. доопределим функцию х(") нулем на отрезке [Т, Т~). В силу условий на левом конце функции х(.) 'и х( ) в точке т можно представить в виде х(т) = ~ (т — з) х (з) да+а,т+3,. о Поскольку х(з) =1ъх(з) Узап[0, т), то х (т) — х(т) = [ (т — з) (1 — х (з)) й > О, о причем равенство здесь возможно только, если во всех точках непрерывности х(н) — 1, а тогда х(1) =х(1) У1~[0, т1. Аналогично с учетом условий на правом конце можно представить функцию х(.) и х( ) в точке т в виде г х (т) = ~ (з — т) х (з) ~(з. а с Так как х(з) > — 1=2(з) Умен(т, Т), то т х(т) — х(т) = ) (з — т)( — 1 — х(з)) пз(0, т причем и здесь равенство возможно лишь при х(з)= — 1 и х(() — = х(1) У(е=[т, Т1.
Таким образом, имеем, что х(т)=х(т) и, следовательно, х(1) — = х(Г) У1ен[0, Т). Отсюда Т=Т. !04 Часть 11 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ Введение. В первой части много внимания было уделено обоснованию идеи Лагранжа о снятии ограничений (т. е. о необходимых условиях экстремума в достаточно общей форме) для разных классов задач на максимум н минимум. Мы старались построить свое изложение так, чтобы содержание первой части было доступно возможно более широкой читательской аудитории. Именно поэтому там использовались в основном средства классического анализа и конечномерной геометрии.
Но надо иметь в виду, что принцип Лагранжа имеет много большую сферу применимости. Для того чтобы вскрыть причины этой универсальности, а также понять основания других разделов теории (достаточных условий, теорем существования и т. п.), естественно воспользоваться языком бесконечномерного анализа. Коротко можно сказать так: аппарат теории экстремальных задач — дифференциальное исчисление и выпуклый анализ в бесконечномерных пространствах. Эти разделы базируются на нескольких фундаментальных фактах функционального анализа.
Нам хотелось бы в этой части книги ввести читателя в проблематику теории экстремальных задач. Она рассчитана на более подготовленную аудиторию — студентов университетов, аспирантов вузов с хорошей математической подготовкой, математиков-прикладников, соприкасающихся с теорией оптимального управления и, конечно, на наших коллег, преподавателей курсов оптимизации в вузах и университетах. Для того чтобы читатель имел возможность отобрать необходимый ему материал, не прорабатывая книгу целиком, мы обычно доказательства основных результатов второй части предваряем указанием тех основополагающих фактов, на которых базируется данная теорема.
Для облегчения работы с книгой предлагаем схему взаимодействия теорем при построении материала второй части. Сокращенные обозначения: ДИ вЂ” дифференциальное исчисление, ФА — функциональный анализ, ДУ вЂ” дифференциальные уравнения, ТК вЂ” теоремы о компактности, ТХ вЂ” теорема Хелли, ТЛ вЂ” теорема Ляпунова, НФ вЂ” теорема о неявной функции, СИ вЂ” субдифференциальное исчисление, ТД вЂ” теоремы двойственности, ТΠ— теорема об очистке, ГЗ вЂ” гладкие задачи, ВЗ вЂ” выпуклые задачи, ЛП вЂ” линейное программирование, ЛЗ вЂ” ляпуновские задачи, ЛЗОУ вЂ” линейные задачи оптимального управления, ВИ вариацнонное исчисление, ОУ вЂ” оптимальное управление, 105 ДУ вЂ” достаточные условия, ТС вЂ” теоремы существования.
В скобках указано место в книге, где изложен соответствующий материал. а $7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ИХ СЛЕДСТВИЯ 7.1. Теорема Хана — Банаха, отделимость, теорема Банаха об открытости Теор ем а Х а н а — Б а н а ха. Пусть Х вЂ” линейное пространство, Хь — линейное надпространство Х, р(.) — сублинейная функция на Х (т. е. р( )ез51.(Х)), хь' — линейный функционал на Хь, мажорируемый функцией р( ) (т, е, (хь', х)<р(х) ЪхяХь). Тогда существует линейный функционал на Х (т.
е. х'енХ'), такой, что (х', хМр(х) Ух~Х н (х', х)=(хь', х) УхеиХь 0 О. Доказательство опирается на лемму Цорна. Напомним, как формулируется эта лемма. Пусть (М, ~) частично упорядоченное множество. Всякое его подмножество А, в котором любые два элемента сравнимы между собою (в смысле упорядоченности, введенной в М), называем цепью. Элемент аенМ назовем верхней гранью подмножества М'сМл если а'аа Уа'АМ'. Элемент йенМ назовем максимальным, если из й к:а, а~М следует, что а=й. (4) Аналогично при 1(0 доказываем, что (х,', хо+5)~р(хо+®. Таким образом, функционал хо' продолжен, «на одно измерение» до функционала х)'. 3.
Пусть А — совокупность всех пар (~, $'), где ~ — линейное подпространство, содержащее Х,, а $' — линейный функционал на Ю, продолжающий хо'(<=~($', х)=(хо', х) <охен ~Хо) и мажорируемый р(х) (ь»(й', х)<р(х) Чхен ь). Положим ($', х)=со, если хя Ж. Введем в А естественное упорядочение (Ж), $)') ) (Жо, во'), если Ю,~Ж) и в) ~п,= во. Если ((Жьф $ )«ев — цепь в А, то [) сь =:У, (ч', х):=ш1п(ч„, х). Легко проверяется, что (Ж, $') — верхняя грань цепи. Значит, по лемме Цорна имеется максимальный элемент в А — (У, х').
Из построения п. 2 следует, что Ж=Х (иначе пришли бы в противоречие с максимальностью (Ю, х)). Противоречие доказывает теорему. [> Приведем два важнейших следствия из доказанной теоремы. Напомним, что если во множестве Т задана система подмножеств т, такая, что Ябнт, Тент, объединение любого числа и пересечение конечного числа множеств из т принадлежит т, то пара (Т, т) называется топологическим пространством.
107, Л ем м а Цо р н а. Если всякая цепь в частично упорядоченном множестве имеет верхнюю грань, то в этом множестве имеется максимальный элемент [КФ, с. 401. 0 1. Если Хо —— Х, то все доказано. Пусть ХооьХ и $бнХ~, ",Хо. Обозначим Х)=11п(Хо, Ц=(х)х=хо+1в, 1~11). Если хь хоев енХо, то имеем (а) по условию, б) по определению р( )ен вне. (Х) ): а) б) (х„х,+х,) «-.р(х,+хо)(р(х,— К)+р(хо+$). (1) В силу (1) получаем си = зпр ((х', х,) — р(х,— $))( 1п( (р(хо+3) — (х', х ))=))).
(2) ооахо мехо В силу неравенств (2) найдем у между а и р: а~у~0. (3) Положим для хенХ), х=:хо+5(хоаХо, 1е=11): Ы (х), х) =(х), хо+ге) =;(хо, хо)+<у. Ясно, что х)'~Х)'. Если 1)0, то <о) <о) (хь х,+Ф =1((хо, х„~1)+у) ~1((хо, х„Г1)+ )б + Р(хо/1+ о») (хо, хо/Г)) =Р (хо+с»о) (5) Множества из т называют открытыми; говорят, что система т задает в Т топологию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
