Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Тогда образ Х при отображении х-)-(Ах, Вх) замкнут в У Хл'.. <1 Обозначим АХ через Уь Это замкнутое (по условию) надпространство банахова пространства У н, следовательно,само банахово пространство. По определению АХ=У(. Значит, по лемме о правом обратном (лемма 2) существует оператор М: У(-~Х, такой, что .4оМу=у, ЦМуЦ~СЦуЦ Ъуе=у(. (21 Пусть (у, г) принадлежат замыканию (АХ, ВХ), т. е. существует последовательность (х,),,чн, такая, что у=!ппАх„„ 6 С г= ИгпВх„. Обозначим М(Ах,— у) через $,.
Тогда и Ы (2] (2) А (х„— в„) = А (х„— М (Ах„— у)1 = у, Ц 4„Ц ( С Ц Ах„— у Ц вЂ” О. (Зг Значит, (4) откуда в силу (3) (() 1пп В(х„— й )=1ппВх„=г(=)геяс1 Е, Е=Я=Вх!Ах=у). Но Š— сдвиг образа ядра А прн отображении В(х!Ах=у)= =В КегА+т), 2)гпЕ, следовательно, Е замкнуто, т. е. (из определений) для ганс! Е=Е существует хенХ:Ах=у, Вх=г. () 112 Л ем м а 4 (об аннуляторе ядра сюръектнвного оператора). Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, А — линейный непрерывный сюръективный оператор, отображающий Х на У. Тозда аннулятор ядра — образ А*: (КегА)~=1тА*. ем <1 1.
Пусть х" ен 1гп А' ~х" =А'у'. Тогда т'хенКегА м м (х', х) =(А'у', х) =(у', Ах) =0 +1тА'~(КегА)х, 2. Пусть х*~(КегА)~<»Ах=О»(х*, х)=0. Применим лемму о замкнутости образа (лемма 3) к Х, У, Я=К, А и Вх= =(х*, х). По лемме 3 (АХ, (х*, Х))евС1(У)(К) (нбо 1щА=У, В Кег А=(0)енС! (К) ). Замкнутое подпространство (АХ, (х*, Х)) не содержит точку (О, 1) (ибо Ах=О -(х*, х)=ОФ!).
Тогда по лемме о нетривиальности аннулятора имеется нетривиальный элемент аннулятора пространства (АХ, (х*, Х))„ т. е. найдется (у', Хь), у*~У*, ) ьенК, такая, что Х, (х', х)+(у', Ах) =ОЪх,. (Л (+1(у* Ц ~Орсэ ч»(Л,х" +А'у", х) =-0 т'х. (5) Но !э~О (ибо иначе (уь, Ах)=0 тхенХ» (АХ=У)у*=О— противоречие). Тогда нз (5) хь=А*( — у*/).0). (> 7.3.-Теоремы Ляпунова и Хелли. Важные факты нз теория экстремальных задач — наличие выпуклой структуры в задачах оптимального управления, линейных по фазовым переменным, н теорема об очистке — базируются на двух фундаментальных теоремах, к формулировке которых мы переходим.
Для формулировки теоремы Ляпунова необходимо напомнить несколько фактов, относящихся к теории меры. Пусть Т вЂ” множество, У. — о-алгебра его подмножеств. Пара (Т, Х) называется измеримым пространством, а-адднтнвная вещественная функция на Х вЂ” мерой, а тройка (Т, Х, р)— пространством с мерой. Если (Т, Х, р) — пространство с мерой, то Т допускает разложение Т=Т~4~Т, Т+, Т ~Е, причем и+(А): =р(АЙТ~) ъО, УАенБ, и — (А):=и(А()Т-) (О, ЧАЯХ. Функции !с, н р — меры, мерой является и функция =и+ †.
Она называется полной вариацией и, Мера р называется непрерывной, если тА~Х, для которого !и1(А)>0, найдется А'енУ,, такое, что 0< ~р! (А') < !р! (А). Набор р=- =(иь ..., р~) нз п мер на измеримом пространстве (Т, Б) называется векторной мерой, а подмножество К"=(х~К" ~х= =р(А), А~2) — образом векторной меры р. Векторная мера и называется конечной, если ~ р~ (Т) <оь, 1~1~а. Т е о р е м а Л я п у н о в а.
Образ непрерывной конечной векторной меры, определенной на измеримом пространстве, есть выпуклый компакт. Доказательство этой теоремы требует серьезной подготовки в теории меры и функциональном анализе: теоремы Банаха— .Алаоглу, разложения Жордана, теоремы Радона — Никодима, теоремы Крейна — Мильмана и описания пространства, сопряженного к Е!. Здесь его не приводим (АТФ, с. 351; 11, с. 350].
Теорема Хелли. Пусть ь=(А ) еи — семейство замкнутых, вьспуклых множеств в П", из которых одно компактно. При этом пусть любое подсемейство, состоящее из (и+1 мнозкеств, имеет непустое пересечение. Тогда пересечение всех множеств семейства зз непусто. Доказательство этой теоремы вполне элементарно и просто (см., например: Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. ТеоремаХелми и ее применения.
М.: Мир, 1968, 159 с.). $8. ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 8.1. Двойственные соотношения в выпуклом анализе. Мы уже подчеркивали в п. 1.5, что один из важнейших тезисов выпуклого анализа состоит в том, что любой выпуклый объект (множество, функция или экстремальная задача) допускает двоякое описание — в основном н двойственном пространстве. Для того чтобы этот тезис получил свое точное выражение, необходимо разъяснить сначала вопрос о том, что такое двойственное пространство. 8.1.1.
Пространства в двойственности. Пусть Х и У вЂ” линейные пространства и В:Х)(У й — билинейная форма, определенная на их декартовом произведении. Говорят, что форма В приводит Х и У в двойственность, если для любого х~О, хенХ, найдется элемент уеУ, такой, что В(х, у)ФО, и, наоборот, для любого т1чьО, !)сну, существует элемент 5~Х, такой, что В(5, т1)чьО. Приведем два важнейших примера.
1. Пусть Х=У=К", В(х, у)=(х, у)= 2',х!у! — стандарт!=! иая билинейная форма на 11" Хй", Эта стандартная форма переводит Х: =й" в двойственность с У:=К". 2. Пусть Х вЂ” нормированное пространство, У:=Х* — сопряженное к Х, В(х, х*):=(хь, х) — действие линейного функционала х*~Х' на элемент хенХ. Эта билинейная форма (ее иногда называют канонической) приводит Х и Хь в двойственность. Действительно, то, что для х*ФО, х"АХ*, найдется хяХ, для которого (х*, х)ФО, следует просто из определения ненулевого линейного функционала.
А то, что для каждого хтьО, хенХ, найдется х*енХ*, для которого (х*, х)ФО, вытекает из леммы Банька (см. п. 7.1). 114 В дальнейшем билинейную форму, приводящую Х в двойственность с У, также обозначаем (, .), а тот факт, что Х находится в двойственности с У обозначаем так: Х~-д- У. Двойственность порождает топологии в каждом из пространств Х и У. Топология в Х, обозначаемая о(Х, У), определяется базой окрестности нуля, состоящей из полупространств. о П+ (у, р) = (х ~ Х ~ (х, у) - Щ, 13 ) О.
Это слабейшая из топологий, при которой функции х-«(х, уг непрерывны. Аналогично определяется топология о(У, Х). Ее база окрестностей порождается полупространствами о П+(х, ())=(у~ У~(х, у)(Щ, Р~О. Топологии о(Х, У) (о(У, Х)) превращают Х(У) в локально- выпуклые пространства. В первом из рассмотренных нами примеров (К"~ — й- К") о(К", Й") — Привычная топология в Й" (когда открытое множество характеризуется тем, что для любой его точки существует открытый евклидов шар с центром в этой точке, целиком лежащий в множестве). Во втором примере„когда Х -й-«Хь (Х вЂ” нормированное пространство, Х* — сопряженное к нему и двойственность осуществляется при помощи канонической формы), топологию о(Х, Х*) называют слабой, а о(Х*, Х) слабой " топологией. Топология т на Х называется согласованной с двойственностью, если пространство, сопряженное с (Х, т), совпадает с.
У. Топология о(Х, У) — слабейшая из согласованных с двойственностью. Сильная топология нормированного пространства также, очевидно, согласована с двойственностью, описанной в примере 2. 8.1.2. Операторы выпуклого анализа. Опишем двойственные операторы (в п. 1.5 мы уже проделали это в конечномериом случае). Пусть Х»-с! — «У. Преобразованием Лежандра — Юнга — Фенхеля функции 1: Х-» й (или функцией, сопряженной с !) называется функция иа У, определяемая равенством !" (у): =зпр((х, у) — !(х)). Для сопряженной функции используем и другое (операторное) обозначение: !!. Если д:У вЂ” «й, то !д(х): =зпр((х, у) — д(у)). Функция !'!(х): =!(!!)(х): =зцр((х, у) — (!!)(у)) 11Ь жазывается второй сопряженной к т. Из определения сопряженной функции следует неравенство Юнга (х, у><т(х)+Я) (у). Полярой множества Ас:Х, А~Я, называется следующее множество в У: А»=(уеду~(х, у) <1 УхепА). Аналогично определяется поляра множества, расположенного в У.
Для поляры А используем другое (операторное) обозначение пА. Множество п(пА) называется биполярой А. Сопряженным к конусу Кс:Х называется конус К»=(уепу!(х, у»0 Ух~К). Аналогично определяется конус, сопряженный к конусу Е.с с:У, н второй сопряженный конус к К. Легко понять, что К*= = — пК. Субдифференциалоя сублинейной (<=» выпуклой, однород.ной первой степени) функции р на Х (с=»р~51.(Х)) называется множество в У: др: =(уену~(х, у) <р(х) УхяХ). Субдифференциалом выпуклой функции 1:Х-~К в точке х называется следующее множество в У: д((х):=(у~у~ (х — х, у) <1(х) — ((2) Чх).
Пусть А — подмножество в Х. Важную роль в выпуклом анализе нграют следующие тря функции: — опорная функция зА (у) =зпр((х, у) )х~А), — функция Минковского иА(х): =1п1(а~а 'хенА) (1п1Я:=со), — индикаторная функция 10, хсА; ЬА(х) =! Все этн определения в конечномерном случае были приведены в п. 1.5. Там же были приведены разнообразные примеры. 8.1.3.
Теоремы двойственности и компактности. В п, 1.5.3 иы в конечномерном случае сформулировали теоремы двойственности и компактности н сказали, что во второй части этя теоремы будут сформулированы и доказаны в бесконечномерном случае. В этом параграфе приведем формулировки теорем, в следующем — доказательства. 116 Формулировки теорем фактически остаются без изменений (см. п. 1.5.3). Общая бесконечномерная ситуация, при которой верны тео- ремы двойственности и компактности, такова: Х и У вЂ” про- странства в двойственности и в Х имеется топология т, согла- сованная с двойственностью.
Но мы несколько упростим себе задачу, рассмотрев равносильный случай, когда Х вЂ” локаль- но-выпуклое пространство, находящееся в двойственности со своим сопряженным. Итак, Теорема двойственности. Пусть Х вЂ” локально-вы- пуклое пространство. а) Функция ):Х- 11' совпадает со своей второй сопряжен- ной тогда и только тогда, когда она выпукла и замкнута. б) Непустое множество Ас:Х совпадает со своей биполя- уой тогда и только тогда, когда оно выпукло, замкнуто и со- держит нуль. в) Конус Кс:Х совпадает со своим вторым сопряженным тогда и только тогда, когда он является выпуклым и замкну- тым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
