Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В отличие от задачи Лагранжа имеется ограничение (2) типа включения, а фазовая переменная х( )=(х,( ), ..., х,( )) может иметь меньшую гладкость. Частный случай (з) — задача, в которой один из концов отрезка интегрирования или даже оба закреплены. выполняется неравенство яо(в) )йуо($). 6.1.2. Формулировка теоремы в общем случае. Т е о р е м а (принцип максимума Понтрягина). Пусть $= =(х( ° ), й( ), 1о, 1,) — оптимальньсй (в сильном смьссле) про- цесс в задаче оптимального управления (з) функции >', =0,1 ...,и>, 1 и ..., и>, Ф и их частные производные по х непрерывны в некоторой окрестности множества ((1, х(Е)) >1~Л), декарто- во умноженного на У, а функции >1>ь >'=О, 1, ..., и, непрерыв- но дифференцируемы в окрестности точки (Уо, х(1о), 1м х(1)) (условие гладкости).
Тогда найдутся множители Лагранжа Х=(Х Х, ... Х ) е= ~~и4-> . > « о~ > ° ° ~ '«)~ р(.)енКС (с>, ь1«), не все равные нулю и такие, что для функции Лагранжа с, .У=~ [> 11, х, и)+р(1)(х — >р(1, х, и))]И+1(1ы х(1,), 1о х(1,))„ ц где 1'(1, х, и)= ЯЛ>)>(1, х, и), 1= ог> ХЯ, (1, х(1,), 1„х(1>))— > о >=о — терминант, выполнены условия: а) стационарности по х — уравнение Эйлера — "(.
(1)+Е.(1)=О»р(1)=1.'(1) — р(1) р.(1) для лагранжиана 1.=Г(1, х, и)+р(1) (х — Ф(1, х, и)); б) трансверсальности по х ' (1о) = 1«и > Р (1о) 1«ые> о=о р(1,) = — 1мп>' Х,(1,) = 1.„,> в) оптимальности по и п>(пЕ (1, х(1), х(1), и) =Т.(1, х(1), х (1), и(1)) оы' 92 Элемент $, для которого выполнены все указанные условии и ограничения задачи, называется допустимым управляемылт', процессом.
Допустимый управляемый процесс $=(х( ), й( ), 1о, 1,) называется (локально) оптимальным (или оптимальным в сильном смь>еле процессом), если существует б>0, такое, что для всякого допустимого управляемого процесса $= =(х( ), и( ), 1ы 1>), для которого пипД(1, х(1), и) — р(1)Ф(1, х(1), и)) =1(1, х (1), и(1))— ьео — рЯФ(1, х(1), и(1)) ~Т(ен Т; г) стационарности по 1ы 11 (выписывается только для подвижных концов отрезка интегрирования) Ыц=О, — )((ь)+(ц+Е„иох(1)=0, ь-ь А=О 7 (11)+ )а+1*[с,,х(1,) =0; д) дополняющей нежесткости Хй);(з)=0, 1=1, ..., гп'; е) неотрицательности Х,>0, 1=0, 1...
и', 6.1.3. Формулировка и доказательство принципа максимумы Понтрягина в частном случае. Приведем формулировку и доказательство принципа максимума Понтрягина для следукяцего частного случая задачи оптимального управления — задачи со свободным концом и закрепленным временем: ц й(х( ), и(.))= $[(С, х(1), и(1))й(+ф(х(1,))-ь 1п(; (зр и х(1)=ц(1, х(1), и(1)), и(1) АУ, х((ь)=хь. Теорем а. Пусть (х( ), й( )) — оптимальный (в сильном смысле) процесс в задаче оптимального управления (з); функции 1', ф и их частные производные по х непрерывны в некоторой окрестности множества ((1, х(1)) 1(ен[1ь, 1,]), декар-- тово умноженного на У, Ф непрерывно дифференцируема в.
окрестности точки х(1,) (условие гладкости), У вЂ” произвольное множество из 1с. Тогда выполняется условие оптимальности по и: [(1, х(1), и) — рЯц~(1, х(1), и) ъ|(1) — р(1)<~(Г) тевнТ, 'тиенУ, (1) где р( ) — единственное ре1иение дифференциального уравнения (2) рЯ+рЯцнЯ=1. Я К1н.=.Т с краевым условием р(1,) =-ф'(х(1,) ), (3) Отметим, что принцип оптимальности (1) с условиями (2)— (3) может быть легко выведен из необходимых условий опти- иальности в общей задаче оптимального управления. Множн тель Лагранжа Хь при функционале Я оказывается равны р вным единице, а условие трансверсальности по х(гь) не существенно, ч3 Единствейность решения уравнения (9) с краевым ус.ловием (3) следует из теоремы существования и единственно.
стн решения задачи Коши для линейных систем [АТФ, с. 19Ц. А) Игольчатые варна цни. Зафиксируем точку т~ внТ, элемент венП и число а~О, настолько малое, что [т. — а, т)~:Т. Управление ( й(г), 1~ [т — а, т); а ( о,(ен[т а т) назовем элементарной (игольчатой) вариацией управления й. Пусть х (.) — решение уравнения х(г)=ф(1, х(т), и„(1)) с начальным условием х((ь)=х,. По локальной теореме существования [АТФ, с. 186-1891 функция х„(.) определена при а~аь в некоторой окрестности точки 1а но из леммы 1, формулируемой ниже, следует, что на самом деле вектор-функция х„( ) определяется единственным образом на всем отрезк ,,' а Д. Вектор-функция х ( ) называется элементарной е (игольчатой) вариацией функции х( ), а пара (х ( ), и,(.))— элементарной вариацией процесса (х( ), й( )).
Пару (т, о), . определяющую эту вариацию, назовем элементарной иголкой, Б) Л е м м а 1 (о свойствах элементарной вариации). Пусть (т, в) — фиксированная элементарная иголка. Тогда существует число аь>0, такое, что [т — ао, т)с:Т и для любого а~= й вн[0, аь) функция х ( ) определена на всем отрезке [гь, г11;,.
лри этом х,( )-~-х( ) в метрике пространства С([гь, 111, К"), х,(1) — Х(т) =ауЯ+г Я У(е[т, Ч, $/а(~)3 лричем зцр — -ь 0 при а-ь+О, где функция у( ) кугльц1 а .сочно-непрерывно дифференцируема на [т, Я и удовлетворяет дифференциальному уравнению у(1)=ф~(1)у(1) Уг~[т, 1,)ПТ (4) с начальным условием у(т) =ф(т, х(т), о) — ф(т)=бф(т, о). Доказательство леммы следует из двух основополагающих фактов теории обыкновенных дифференциальных уравнений: локальной теоремы существования и теоремы о непрерывной зависимости и дифференцируемости решения по начальным данным.
Мы не приводим его здесь, отсылая к книге [АТФ, с. 89 — 9Ц. В) Л ем м а 2 (о приращении функционала). Пусть '(т, о)— фиксированная элементарная иголка, Х(а)=М(х (.), и„(.)). Тогда функция Х( ) дифференцируема справа в нуле и Х'(+О) =1(т), х(т, о)-Т(т) — р(т) у(т). .с< Используя теорему о среднем для числовых функций, правило дифференцирования под знаком интеграла в лемму 1, получим Х'(+0)=1пп = 1пп — (1Я, ха(1), иа(Ф))М— а+о а а +о а ~~3 с, —, Т(1, х(1), и(1))с(с)+ Вт а +о а с~ = 1пп — ( ~ (с (1, ха(1), о) — Я))с(1+~ (~(1, ха(1), и Я)— а+о а а — а о — Т(1))с(1)+сР'(х(1))у(1,)=[(т, х(т), о) — Т(т)+ с, +~~„(1)у(1) сИ+ф'(х(1,))у(1,).
Выражая Т", из уравнения (2) и учитывая уравнение (4), имеем ~~ ( )у( ) ~(р( )+Р( )ср ( ))у( ) о с, =~ (р(1) у(с)+р(с) у (1)Ф=~ — „(р(1) у(1)М(= =.рА)у(с ) — р( ) у(т) с, Подставляя найденное значение ~ Т',ус1с в выражение для Х'(+0), с учетом условия 3) получим искомое представление. (>(: Г) Завершение доказательства. Из леммы $ следует, что если а~[0, ао), то (х„( ), и ( )) — допустимый управляемый процесс и х,( ) равномерно стремится к У(.).
Поскольку (х( ), й( )) — оптимальный процесс, то при ма- лых а>0 3(ха( ), иа(.))>,й)(х( ), и( ))оаХ(сс):=:К(0). Отсюда по лемме 2 Х'(+О) ъ0, и из выражения для Х'(+О) и у(т) вытекает, что 1(т, х(т), о) — р(т)!р(т, х(т), о) )!1(т) — р(т)!р(т) Утн=Т, Ъ'ояУ, .т. е. выполняется соотношение (!). ь 6.1.4. Доказательство принципа максимума Понтрягина в общем случае. Приведем в п. А) — Г) ряд вспомогательных утверждений и построений.
А) Лемма о центрирова иной системе, Пусть К вЂ” компакт, (К„) ен6 — система замкнутых подмножеств К, .любая конечная подсистема которой имеет непустое пересече- ние (иентрированная система). Тогда пересечение всех мно- жеств системы (К„)„с=а непусто, ) <~ Обозначим б дополнение к К„в К(!р„=К~; К„). Тогда О„открыто в К. Если () К„=о, то Ц !р,„=К, т. е. (бч)чеи аеи " ~аеи есть открытое покрытие компакта К. По определению компакта О$ т можно найти и„..., а, такие, что () б! =К. Но тогда () Кьч= !=1 = 8 в противоречие с определением центрированной системы. Зна- чит, () К ~8. (>~> аеи Б) Игольчатые вариации, пакет иголок. Про- варьируем процесс $, включив его в конечно-параметрическое семейство, определяемое пакетом иголок (набором игольчатых ."вариаций управления й( )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
