Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Б) Лемма Дюбуа — Рей мои а. Пусть на отрезке [сь, 8с) функции аь(.) и ас( ° ) непрерывны, и пусть для любой не- 4 прерывно дифференцируемой функции х( ), х(сь) =х(сс) =О,,: выполнено равенство с, ~ (а, (() х Я+ а, (() х (()) й(= О. й с, .Тогда функция ас( ) непрерывно дифференцируема и — ""'" +а,(()=О. вс сй '4 4 Возьмем функцию р(.) ~С'([(ы (~] ), такую, что р(()' с, аь(1) и ~р(с)с(с= ) а,(с) йс.Тогда для любой функции х( )ен' с, св енС'([(ь, 8с)), х((о)=х((с)=0, по условию леммы должно вы-, полняться равенство 'с, 0 = ~(а,(с)х(с)+а,(с)х(с)) с(с=) а,(с)х(с)сЫ+ Э с, сс, + ~ М) 4 (~) = ~ (а (Π— р(()) х(О (.
(2) 4' с, В Выберем функцию х( )енС'([сь, сс)), такую, что х(с) =ас(()— — р(с), х(сь) =О. Тогда в силу выбора функции р( ) х(сс)= ') х(с) йс = ~(ас(с) — р(с)) сй=О. в с, Значит, для функции х( )=х( ) должно выполняться равен-;. с, ство (2), т е. ~(ас(с) — р(с))'сй=О. Из последнего соотноше- '-' с. иня следует, что ас(с) — = р(г), т.
е; а,( ) е= С' ([сь, сс1), — — '+ си +аь(Е)=0 С (> В) Завершение доказательства. Равенство (1) выполняется для любой функции х( )енС'([сь, Ц), а значит, для всех функций х(.)еиСо'([(а Э=(х( )енС'([(ы (с)) сх(сь) * ' х(сс)=0). Следовательно, из (1) вытекает, что с, (Х; (()х(()+Т-;(()х(())а=О Тх( ) -=С'([~ь,(с)). е УО По лемме Дюбуа — Реймона Т., (.) ~ С'([(м 1т)) и (3) — — Ц; (1)+Е.,(Ю)=0. Интегрируя по частям в равенстве (1) (оно стало возможным в силу доказанного включения 1.. г )а=С'([1„Ц)) и учитывая (3), получим ~(-..
(1) х(1) + Х, Я.(1)) Я+1.х(1,)+1.,х(1,) = ь ь = ~ (Е, (1) — — т„. (1)) (1) а+ (1) Ей (1) ~ '+ 1., Ю+ ь +1, х(ГЯ) =(~» (г1)+ 1..) х(11)+( — тй (10)+ 1м.) х(ГО) =0 (4) Ух(.) ен С'([1„1Д). Подставляя в (4) последовательно х(1)=1 — 1а н хЯ=1 — $ь придем к условиям трансверсальности Е„(1,) = — 1„н Е; (1,) 3 а и е ч а н н е. Отметим, что эти три этапа доказательства теоремы будут в той или иной форме встречаться при доказательстве других теорем классического вариационного исчисле* ння и оптимального управления. Набор условий для нахождения слабого локального экстремума — полный. Действительно, уравнение Эйлера †дифференциальное уравнение второго порядка.
Его общее решение содержит две неизвестные константы. Для определения этих констант имеются два уравнения — условия трансверсальности. Мы сформулировали теорему для одномерной задачи Больца. Укажем 'на необходимые изменения, которые следует внести для векторного случая. Пусть в задаче (з) х(.) =(х~(.),...,х„( )), ь=Ь(1, хь... ..., х„, хь..., х„) — функция 2п+1 переменного, 1=1(хм,...
...,ха„, хп,...,х~„) — функция 2а переменных. Необходимые условия в векторной задаче Больца состоят из системы уравнений Эйлера — — Е, (1)+1.,(1)=0, 1=1,...,и, и условий трансверсальности, задающихся системой уравнений Т.„. (1а)=( — 1) 1,,<с„~, 1=1,...,и, Й=О, 1. Доказательство теоремы в векторном случае тривиально ре- дуцируется к одномерному.
4.1.3. Пример. ! 'И (х ( )) = ~ (:Р— х) </в'+ хв (1) -~ ех1г. о Необходимые условия: а) уравнение Эйлера — — Е. +Е,=Ооо2х+1=0; <Ц х б) условия траисверсальности Е; (0)=/в<в>, Ей(1)= — 1„<<>с=~х(0)=0, х(1)= — х(1). — ~ Ьс(г+ 2х (1) Ь (1) + Ь' (1).
Интегрируя по частям и учитывая, что х(1) = (3 — (в)/4, получим ! в21(х(.)+й(.)) — Ж(х(.))=2хй~! — ~ (2х+1)йсЫ + о ! ! + 1 Ьв<11+ 2х(1) Ь (1)+Ьв(1) = 1 Ьвс(/+ Ьв(1) > О. о О т нет. х(!) = (3 — (в)/4е=а)>зш(п, Вв<„=+со. 4.2. Простейшая задача классического вариационного исчисления 4.2.1. Постановка задачи. Простейшей задачей классического еариационного исчисления называется следующая экстремальная задача в С<(1<в, 1!) ): н <К(х(.))= ~ Е(1, х(!), х(1))с(/-<-ех(г; а х(! )=хв, х(1,)=х,. (з) <2 Общее решение уравнения Эйлера: х(Г)= — — +Св<+С.
' Из условий трансверсальности находим, что С<=0, С!=3/4. Таким образом, имеется единственная допустимая экстремаль Х(!) = (3 — /в)/4. Покажем, что она доставляет абсолютный минимум в задаче. Действительно, если Ь(.) ~С<((/в, /<]), то ! . ! а(х(.)+Ь( )) — а (х( )) = 1 2хЫГ+ 1 йв<1! †. в в Здесь Ь=Т.(1, х, х) — функция трех переменных, называемая интегрантом. Экстремум в задаче рассматривается среди функций х( )енС'([(ь, 11]), удовлетворяющих условиям на концах, или краевым условиям х(1ь) =хь, х(11) =хй такие функции называются допустимыми. Говорим, что допустимая функция Х( ) доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (з), и пишем Х( )еи ы1осщ(пз(!остахз), если существует б>0, такое, что для любой допустимой функции х( ), для которой 11х(.) — Х( ) Ь(б, выполняется неравенство й(х(.))) в7 (х( )) (й(х( ))(а(х( ))) 4.2.2. Необходимое условие экстремума.
Т е о р е м а. Пусть х ( ) енС' ([1ь, 1,] ) доставляет слабый локальный экстремум в простейшей задаче классического вариационного исчисления, а интегрант Ь непрерывен вместе со своими частными производными по х и х в некоторой окрестности множества ((Ю, Я(8), Х(1))18я[Кь, 11]). Тогда Е. (.)еи С ([1„ 1,)] и выполнено уравнение Эйлера — -"- Е.. (()+Е. р) =о. <1 Рассуждаем аналогично тому, как рассуждали при выводе необходимых условий в задаче Больца. Возьмем произвольную, но фиксированную функцию х(.) ~Со'([го, 61]).
Тогда х( )+Ах(.) — допустимая функция УХ~К. Положим ф(Х)= =д'(Х( )+Хх(.)). Из условия х( )~1осех1гз следует, что Они ен!осех1гф. Пользуясь дифференцируемостью функции ф в нуле и выражением для вариации функционала из п. 4.1.2, получаем 11 ф'(0)=бы'(х( ), х( ))=~() (г)х(1)+Т..(~)х(г))йг=О тх( ) ~ Со([гь г1]). Из леммы Дюбуа — Реймона следует, что Х ( )ен Сч([1ь, 1,]) и выполнено уравнение Эйлера.
1> Набор условий для нахождения допустимой экстремали является полным. Уравнение Эйлера — дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две неизвестные константы. Для определения этих констант имеются два уравнения — условия на концах. Таким образом, чаще всего допустимая экстремаль единственна. Мы сформулировали теорему для одномерной простейшей задачи классического вариационного исчисления. Укажем на необходимые изменения для векторного случая. Пусть в задаче (з) п. 4.2.1 х(.)=(х1( ), ..., х„(.)), Е. =.(,(г, х„..., х, хь..., х,) — функция 2а+1 переменных. Необходимые условия в простейшей векторной задаче состоят нз системы уравнений Эйлера — — Х.
(1)+Е, (1)=0, 1= 1,...,а. Ш ство теоремы в векторном случае тривиально Доказатель редуцируется к одномерному. 4.2.3. Интегралы уравнения Эйлера. Если интегрант Ь= =Е(1, х, х) не зависит явно от одной из переменных, то уравнение Эйлера сводится к более простым уравнениям, 1. Если ннтегрант ь=г,(1, х) не зависит явно от х, то уравнение Эйлера сводится к уравнению .С„(1) = О. Т. (1) =сопз1. 3. Если ннтегрант Т.=Ь(х, х) не зависят явна от 1, то имеет место интеграл энергии (оба названия интегралов взяты нз классической механики) хЕ; (1) — Е(1) =сопз1 (для доказательства достаточно проднфференцнровать написанное соотношение по 1 н воспользоваться уравнением Эйлера). 4.2.4.
Примеры. В этом пункте на примерах рассмотрим различные соотношения между решениями простейшей задачи классического вариационного исчисления н экстремалямн, П р н м е р 1 (допустимая экстремаль существует, единственна н доставляет глобальный экстремум). чт (х(.))=~ хЧ1-~.1п1; х(0)=0, х(1)=1. о Уравнение Эйлера: х=О. Общее решение: х=С11+Сь Единственная допустимая экстремаль: х = й Экстремаль доставляет глобальный минимум в задаче, Действительно, пусть й( )енСа'([О, 1]).
Тогда х( )+Ь( ) — допустимая в задаче функция н '74 2. Если ннтегрант ь=Ь(1, х) не зависит явно от х, тв имеет место интеграл импульса грань в задаче равна нулю. Рассмотрим последовательность допустимых функций х„(1) = агс1н и//агс12 и. Имеем ! 47(х„( ))=1 Р " Ж( (1+, пнч) атс1иа и а !!и ! '4! (. ат + (' -!.
О. агс1яа и .! инп асс!К! и а !!и П р и м ер 4 (допустимая экстремаль существует, единственна, но не доставляет экстремума). аи!а ау(х('))= ~ (ха — ха)с!г-! !п1; х(0)=х! — ] =О. 2 с Уравнение Эйлера: х+х=О. Общее решение: х= С! з(п /+ Са соз й Единственная допустимая экстремаль: Х=О. Рассмотрим последовательность функций х„(1) = (1/и)з(п(21/о). Очевидно, что х,(.) — допустимые функции и х,( )-!-х( ) =0 в С!(]О, Зп/2]), но при этом 1 Зп ! 4 !,15и 41!(х„(.)) = — — ~ — — 1/! = — ' — 0 = д (х( ° )). па 4 ~ 9 / 12па Из примера 4, в частности, видно, что уравнение Эйлера— необходимое, но не достаточное условие экстремума.
Пример 5. ! аУ(х( )) =) ((1 — х )'+х ) !1а-~-1п1; х(0) =О, х(1) =О. а Нижняя грань функционала равна здесь нулю. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть минимизирующую последовательность функций нз КС!(1О, 1]): хи (1) = ] з(нп з)п 2нит с(т, и = 1, 2, о Функции х„( ) равномерно стремятся к нулю, а 1х„(1) ~ =1, за исключением конечного числа точек, т. е.
т (х„(.))- О. С другой стороны, если ха(8) =О, то У(ха( )) =1, а если х(!) чаО, то ! 47(х(.))) ~ ха!(1)0. Таким образом, нижняя грань функционала не достигается ни на одной допустимой функции. Последовательности функций, подобные х„( ), называются чскользящими режимами», ибо управление в них (в данном примере — производная) как бы скользит между некоторыми значениями (в данном случае между +1 и — 1). 4.3.
Изопернметрнческие задачи 4.3.1. Постановка задачи. Изопериметрической задачей (с закрепленными концами) в классическом вариационном исчислении называется следующая задача в пространстве С'([1», А1): 1 йь(х(.))= 11»(Е, х(1), х(1))Й вЂ” ~ех(г; 1» ! У,(х( ))= Ус(1, х(1), х(1))й(=аи 1=1, ..., п1, «(1») хы «(1») = хи (3) *:где аь..., а — заданные фиксированные числа.
Ограничения вида (1) называются изопериметрическими. 'Функции [ь 1=0, 1,...,т, называются интегрантами, Функции х( )енС'([(ь, 11)), удовлетворяющие изопериметрическим условиям (1) и условиям на концах (2), называются допустимыми. Скажем, что допустимая функция «(.) доставляет в задаче (з) слабый локальный минимум (максимум), и пишем «( ° )нз ен!осгп)пз (1осгпахз), если существует б>0, такое, что для любой допустимой функции х( ), для которой их( )— «( )йсчр,.и11 ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
