Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 16
Текст из файла (страница 16)
б, выполняется неравенство %(х( ))~ ь(х(.)) (%(х(.))(%(х(.))). йА(1, х, х) 1.;(.) е- =С'([1„11[) г=ь и вьчполнено уравнение Эйлера — —" П (1)+ Е (1) = О, 4.3.2. Необходимое условие экстремума. Т е о р е м а. Лусть функция «( ) доставляет слабый локаль,ный экстремум в изопериметрической задаче (з). Лри этом функции (ь 1=0, 1,..., ш, и их частные производные по х и х мепрерывны в некоторой окрестности множества ((1, х(1), .х(1)) ~1е=[1», 1,1) (условие гладкости). Тогда найдутся множители Лагранжа )чь Хь...,Х, не все равные нулю и такие, что для лагранжиана 'Ф([))=(~,[х( )+~., р!х!( )), Ут(х( )+ )„р!х!( )), ...
у=О У=о йи , еу (х( )+ ) р!х!( )//. !г=а Нетрудно проверить, что функция Ф непрерывно днффаренцибе! руана в некоторой окрестности нуля и Ф 10) = (ао, с!„., !х„) = де! =а(!ге=Уз(х( ))).Поскольку матрица Якоби отображения Ф в нуле не вырождена (Ф'(0)=(647!(х(.), х!(.)));,! о=/ — единичная матрица), то применима теорема об обратной функции (п. 1.4.4), согласно которой существует обратное отображение Ф ' некоторой окрестности точки а, такое, что [Ф !(а)[~ (К)а — а~ с некоторой константой К)0.
В частности, для до<таточно малого по модулю е найдется такой вектор р(е) = =Ф !(аэ+е, а!,...,а ), для доторого Ф(р(е)) = (е+ао, аь ....,а ),т.е. еу (!х(.)+~[)!(е)х!( ))=а,+з, ау!(х( )+~1 р!(е)х!( )~=а„ 9 !'=1, ..., ят, а! при этом ~()(е) ) = !Ф !(ае+з, аь, а ) ~(К~а~. Получилось, что в любой окрестности функции х( ) (в пространстве С!([1м 1,])) существует допустимая функция (а именно х( )+ ~' р!(з)х!( ) при достаточно малом е), для ко!=о торой значение функционала как больше, так и меньше, чем для х( ). Пришли к противоречию с условием х( )~ ен1осех1г з. ~> 4!3.3. Пример. ! ! ') ха!(!-!.ех(г; ) хЖ=О, х(0)=0, х(1)=1. Решен и е.
Лагранжиан /.=Лахз+Лх. Необходимое условие — уравнение Эйлера — — Ь;+ 1., =0 с=> — 2Х,х+Х=О. Если Ха=О, то Х=Π— все множители Лагранжа — нули. В этом случае допустимых экстремалей нет. Положим Хо=1/2. Тогда х = д. Общее решение: х= С! /з+ С!1+ Сз. Неизвестные фе.
Вывод необходимых условий опирается на результаты бес- конечномерного анализа, точнее — на принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств. 5.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа 5.1.1. Постановка задачи. Пусть Х=С'(А, К") Хйз, А — заданный конечный отрезок. Условие $=(х( ), 1ь, 1г)еиХ означает, что х(.) яС'(А, П"), 1ы 11енб. На некоторые координаты вектор-функции х( )=(х~( ),...,х ( )) (для определенности возьмем первые к координат) у нас далее наложена дифференциальная связь х;=ф;(1, х(1)), 1=1,...,й. Обозначим далее. х(') ~ (ха(') хь( )) Где ха( ) = (х1( ),...
~хд( )), хь(.) = =(хьв1(.),...,х ( )). Если дифференциальная связь отсутствует, то к=О и х( ) =хр( ). Задачей Лагранжа называется. следующая экстремальная задача в пространстве Х: 4~„(Ц -~- 1п(; й); Я) (О, 1 = 1, ..., гп', Л)гЯ)=0, (=т'+1, ..., т, (1) (з) (2) ФЯ)=х„(1) — ф(1, х(1))=0 У(ев Ь> ьп где айг Я) = ~ ~, (1, х (1), х (1)) й1+ ~к ((ь, х (1 ), 1, х (1 )), 1= О, 1,.... ..., т, 1„1, я 1п1 Ь, 1, ( 1,. Частнымй случаями (з) являются задачи, в которых один. нз концов 1ь или 1, — подвижный, а другой закреплен или оба конца отрезка (1ы Ц фиксированы. Элемент $, для которого выполнены предыдущие условия и ограничения (1) — (2) типа равенств и неравенств, называется допустимым.
Множество других допустимых элементов — подмножество в пространстве Х. Скажем, что допустимый элемент $=(х(. ), 1гь 1,) доставляет, слабый локальный минимум в задаче Лагранжа (з), и пишем Цен!осш|пз, если существует б>0, такое, что для любого- допустимого элемента Ц= (х(.), 1ь, 11), удовлетворяющего условию Ц$ — ЦЦх(б(ьь Цх( ° ) — х( ° )Ц, е>(б, /1ь — (ь~'сб, ~11— 1~ ~ <б), выполнено неравенство Яа($) «Яа(Ц). Поснольку вместо х, в функции 1; (1, х, х) можно подставить.
Равное ему из (2) выражение ф(1, х), то в дальнейшем считаем, что 1;=1;(1, х, х,). Постановка задачи Лагранжа в данном виде и последующая формулировка необходимых условий позволяют в ряде задач упростить по сравнению с задачей Лагранжа в АТФ н АГТ выписывание необходимых условий (количество дифференциальных уравнений может быть уменьшено на 1). йй 5.1.2. Необходимые условия экстремума. Теорема Эйлера — Лагранжа. Пусть элемент = (х(.), 1ь, 1,) доставляет слабый локальный минимум в задаче Лагранжа (з).
При этом функции 1;; 1=0, 1, '.,т, и их частные производные по х и х непрерывны в некоторой окрестности множества ((1, х(1), 4(1))'11~Л), ~р и ее частная производная по х непрерывны в некоторой окрестности множества ((1, Я(1)) ~1е=й), функции ф, 1=0, 1,...,т, непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (1ь, х(1ь), 1и й(1~)) (условие ,гладкости).
Тогда найдутся множители Лагранжа Х= (Хь, А~,...,~ ) ~ енй'"+' и вектор функция р(.)енС'(й, йь), не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа и -'с= ) 11(1ю х~ «)+(Р(1)~ ха 'Р(1~ «(1))))й1+ (1ы х(1ь), 1„«(1,)), и' б) трансверсальности по х 1=0, 1 д) неотрицательмостзи Х;~О, 1=0, 1,...,т'. ,где 1(1, х, х)= ~,74,(1, х, хв), 1= ) )чф(1ь, х(1,), 1, х(1,)), ~=О вэв вьтолнены условия: а) стациомарности по х — уравнение Эйлера для лаграмавивма Е(1, х, х) =1(1, х, ха)+(р(1), х — ~р(1, х(1)))— ~ — р(1) — р(1) р (1)+1.„(1) =О. — — К„.(1)+Х,(1) =Оьь а1 " ' ~ 11 (1)+ 1, (1) р(1),~ (1) О.
'1. 1„(1д=( — 1)'1м~р ~=' ~- ф ~ 6 (1,) =( — 1)'1,ви,), 'в в) стационармости по 1ы 1~ (выписывается только для по- движных концов отрезка интегрирования): .$ Же= ~ — )( ь)+ и+~.(и)«А=О, ф -~:и =0'='1(1~)+1с +1 «о«(1~) =0' г) дополняющей межесткости: ХЯ;Д) =О, 1=1,, ..,т', 0 Рассмотрим задачу (з) как экстремальную задачу с ограничениями типа равенств и неравенств (п. 2.4). В нашем случае пространство Х=С'(Ь, К") Х)1з, функционалы Яь 1 =1,..., т', задают ограничения типа неравенств, а ограничение типа равенства задается отображением Г($)=(Ф($), М +~(в)," ..., 4$ Я)), действующим в пространство У=С(Л, 11~)х1( При этом $ доставляет локальный минимум в пространстве Х. Покажем, что в нашей задаче (з) выполняются все условия теоремы п. 2.4 (банаховость, гладкость, ослабленная регулярность), а затем согласно принципу Лагранжа для задач с равенствами и неравенствами выпишем необходимые условия минимума и выведем из них условия а) — д) нашей теоремы.
Баноховосгь пространств Х и У вытекает из того, что пространства С'(й, 11") и С(Ь, й") — банаховы (п. 1.1.2), з произведение банаховых пространств — банахово (п. 1.1.3). Гладкость отображений Я; и г выполняется, поскольку из: непрерывной дифференцируемости в окрестности точки $ следует строгая дифференцируемость в точке (п. 1.4.2).
Ослабленная регулярность, т. е. замкнутость множества г'(й)Х, вытекает из леммы о замкнутости образа (п. 7.2), где. А=Ф'($) (А:Х-~У), В=(й)„.ь~($), ..., 3 ($))(В:Х вЂ” «й ) Множество ВКегА замкнуто как подпространство конечномерного пространства.
Замкнутость образа отображения А имеет. место в силу того, что образ Ф'($)С'(Ь, й") просто совпадает с С(Ь, Кь). Действительно, взяв произвольное у( )~С(й, )хь) (и произвольный вектор уяйь), всегда найдем функцию Ь( ) я ыС'(Л, 11") и тем самым функцию (Ь( ), О) (йз(-) =О) пространства С'(и, К"), для которой решение последней системы й линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами существует, единственно н определено на всем отрезке Ь в силу теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной неоднородной системы (АТФ, с. 191]. Таким образом, все условия теоремы п. 2.4 выполняются.
Согласно этой теореме найдутся множители Лагранжа Х= (1о„ "ь...,1 ) яй"'+', у ау*, не все равные нулю и такие, что для; функции Лагранжа задачи (з) +(у', х — '<р(1, х(1)))+!(1» х(1,), 1, х(1,)) и ВтКУХа СЛЕДУЕТ, ЧтО (У', У)=~Р(1)У(Г)З((, Р((з)='1 „Л. ТаКИМ ь образом, 1з =Я' и доказаны уравнения Эйлера и условия трансверсальности для переменных х„. Уравнение Эйлера и условие трансверсальности по переменным хз следует из стационарностн функции Лагранжа Ы по хз.
Соответствующий вывод был проведен нами при выводе необходимых условий в задаче Больна п. 4.1.2. ~> 1 5.1.3. Пример. ) хз зИ-~-ех1г; х(0) =х(0)=0, х(1)= 1. ' о Решение. Приведем задачу к виду задачи Лагранжа ж. 5.1.1., сделав замену переменных х~ =х, хз=х: 1 хз Ж вЂ” «ех1г; х =х„х (0)=х,(0)=0, хд(1)=1. Функция Лагранжа: 1 Я = ~ (Л х з+ р (х, — х )) б(+ Л х (0) -~- Л х (0) + Л (х (1) — 1) . з Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера для лагранжиана Е Лзхзз+ +р(х~ — хз): — — Ь;+1,, =О, 1=1, 2з=з — р=О, — 2Л,зх,— р=О; б) трансверсальность по х для терминанта 1 Л1х~ (0)+ +Лзхз(0) + Лз(х| (1) — 1): Ь, 10)=(з,<зь 1=1, 2, р(0)=Лд.
р(1)= — Лз 1: (1) = — 1, о ь 1 = 1, 2, 2Лзх (01= Л.„2Лек (1) = О. 1 Поскольку концы отрезка интегрирования фиксированы, то условие стационарности по 1з, 1, не выписываем. Условия дополняющей нежесткости и неотрицательности также отсутствуют ввиду отсутствия ограничений типа неравенств. Если Лз=О, то из б) и а) следует, что Лз — — О, р=О; тогда из б) Л1 =Лз=Π— все множители Лагранжа — нули. Итак, при Лз=О допустимых экстремалей нет. Пусть ЛзчьО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
