Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Из системы Уравнений Эйлера вытекает, что хз=О, что равносильно уравнению х=О. ОткУда х(1) =С,Р+СзР+Сз1+Сь Неизвестные константы С| — С» определяются из условий на концах и условия траисверсальности х(1) =О. Единственная допустимая экстремаль; х(1) = (1(2) (ЗР— Р). Покажем с помощью .непосредственной проверки, что Уев енаЬзщ!пз.
Возьмем функцию Ь( )енСо((0, 1]), такую, что» 2( )+Ь( ) — допустимая в задаче. Для этого надо взять функ-, '! цию Ь( ) со следующими условиями на концах: Ь(0) =Ь(0) = ! =Ь(1) =О. Имеем для функционала Ж (х( )) =1 хо с(! о ! ! !!О (х ( ) + Ь ( ° )) — о3 (х ( ° )) = ~ (х+ Ь)о о(! — ~ хо й1 = о о ! 1 ! = 2 ~ «Ь д1-(- ~ Ь' с(1 ) 2 ~ хЬ 61. о 6 о Далее дважды интегрируя по частям с учетом условий на! концах функций 2 и,Ь и уравнения 2=0, получим ! ! !!. ож(х( )+Ь (,.)) — В(х(.)) ) 2 ) хс(Ь=2«Ь ~ — 2 ) хйй1= о о о ! ! !. = — 2)!о- — 2а~ ~-2! !!о О. )о о Таким образом, МЩ ) +Ь( ) ) ъЯ(2( ) ) и, следовательно„'о 2(.)еаЬзгп!пз, 3„!о=во(х( ))=3.
Ясно, что 5 „=+оо. Действительно, возьмем последовательность х„(1) =2(1)+пЬ(1), где Ь( ) — некоторая функция из Соо((0, 11), такая, что ЬчооО„ например Ь(1) =1!(1 — 1)о. Тогда М(х„( ))-»+со при л-»оо. 5.2. Задача с подвижными концами 5.2.1. Постановка задачи. Задачей с подвижными концами называется следующая задача в пространстве С!(Л) Хйо: ~(х( ). 1о 1!)=,) 1.(1 х(1) «(1)) д1+$о(1о, «(1о), 1!, «(1!))-» -» ех!г; (з) !Р!(1о, х(1о), 1, х(1 ))=О, !'=1, ..., т, (1) где Л вЂ” заданный конечный отрезок, 1о, 1!енЛ, 1о<1!.
Частный случай (з) — задача, в которой один из концов, 1о или 1! подвижный, а другой закреплен. Тройка (х(.), 1о, 1,) называется допустимой в (з), если х(.)яС!(Л), 1о, И!п(Л, 1о<1!, и выполняются условия (1) на,, концах. Говорим, что допустимая тройка (Я(.), Ео, Ес) доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (з) (в про<транстве Сс(а) Хйо), если существует 6>0, такое, что для ,любой другой допустимой тройки (х( ), Ео, Ес), для которой !Ео — Ео!(б, !Ес — Ес!(б, !!х( ) — х( )!!ссьс(б, выполняется неравенство Э'(х( ). Ео, Ес) э-Э'(х( ), Ео, Ес) (У(х(.), Ео, Ес)~(У(х(') Ео, Ес)). При этом пишем (х(.), Ео, Ес) ен1оспс(п з (1оспсах з). 5.2.2.
Необходимые условия экстремума. Теор ем а. Пусть тройка (х( ° ), Ео, Ес) доставляет слабый локальный экстремум в задаче с подвижно!ми концами (з). При этом интегрант Е и его частные производные по х и х непрерывньс в некоторой окрестности множества ((Е, 2(Е), 2(Е)) !Е~й), а функции орс, с= =О, 1,...., пс, непрерывно дифференцируемы в окрестности гочки (Ео, х(Ео), Ес, х(Ес)). Тогда найдется ненулевой множитель Лагранжа Л= (2о, Лс,...', Х ) она'"+с, такой, что для функции Лагранжа сс Я= ~ )оЕ.(Е, х, х)йЕ+Е(Е„х(Е,), Е,, х(Е )), сд где Е= т ассе!(Е„х(Ео), Е„х(Е,)), вьсполняются условия: с'=о а) стационарности по х — уравнение Эйлера для интегранта. 2оЕ (Е, х, х)— —" Е,(.й (Е)+Л<Е.„(Е) =0; б) трансверсальности по х )ооЕ-о (Ео) = Емсссь 7~оЕ.;, ( Е, ) = †Ем!!о ' для пв- в) стационарности по Ео, Ес (вьсписывается только движных концов) .'Кс, = 0 !=о — ХоЕ.
(Ео) + Ес, + (*с с,>х (Ео) = 0 А =0 с=> Р,Е.(Е!)+ Ес, + Еогнсх (Ес) =О. с Данная теорема непосредственно вытекает из принципа Лагранжа для задачи Лагранжа, в которой отсутствуют дифференциальная связь и ограничения типа неравенств. ~> т 5.2.3. Пример.
о7.(х(.), Т) = $ (х' — х+1)йЕ-о ех1г; х(0) =О. о Р е ш е н н е. Функция Лагранжа: т .У= ~ Х, (х' — х+1)с(1+Ах(0). о Необходимые условия: а) уравнение Эйлера для ннтегранта .(.=Ха(х'-х+1); — — /.. + 1.„=0оь Х, (2х+1)=0„ ч б) условия трансверсальности по х для термннанта 1=Ах(0)г Е„(0) = 1х<м, 1.;(Т) = — /мту с=~2Хох(0) =Л, 2Хох(Т) =0; в) условие стационарностн по Т (выписываем только для подвижного конца): Жт(Т)=Оеар,(х'(Т) — х(Т)+1) =О.
Если Аз=0, то из б) следует, что А=Π— все множители Ла-: гранжа оказались нулями. Положим Хе=1. Тогда из а) выте-'' кает, что х= — 1/2. Общее решение этого дифференциального' уравнения: х=( — 1'/4)+С,1+Сь Поскольку х(0) =О, то Сз О, Для определения неизвестных С1 и Т имеем два уравнения:- х(Т)=0 и х'(Т) — х(Т)+1=0. Решая эту систему уравнений, на-.' ходим, что Т=2, С,=1. В задаче имеется единственная допустимая экстремаль х = — 1'/4+1, рассматриваемая на отрезке [О, 21.
Покажем, что (х( ), Т) Ф1осех1г. Действительно, для функции х(Г) = — гз/4+1 т т 47 (х ( ), Т) = ~ (х~ — х+ 1) сУ = ~ ( ~ — — + 1)— т ~4 ) ) ) 2 а Прн Т, близких к Т, значения функционала т'(х( ), Т) могут быть как меньше У(х( ), Т), так и больше У(х( ), Т). Возьмем последовательность пар х,(1) =г, Т„=и тогда 5'(х„( ), Ти)-~ — со прн и — оо. Значит, Я,ыь= — оо. Очевидно,' 5шах =+<">. 5.3. Задачи со старшими производными 5.3.1.
Постановка задачи. Задачей со старшими производными (с закрепленными концами) в классическом варнациояном исчислении называется следующая задача в пространс1 ве С" ([го, г11): Ву(х( ))=~ В(Г, х(1), х(с),...,х<"<(с))й(-ьех(г; (з) к<ос(с;)=хо, Й=О, 1,...,и — 1, 1=0, 1. (1) Здесь Ь: К"+' — с.К вЂ” функция и+2 переменных. Функция Е называется интегрантом.
Функции х( )енС"((го, 1!)), удовлетворяющие условиям (1) на концах отрезка [Го, с<1, называются допустимыми. Говорим, что допустимая функция х( ) доставляет в задаче (з) локальный минимум (максимум) в пространстве С" (1(о, 1<1), если существует б)О, такое, что для любой допустимой функции х( ), для которой 1!х(.) — х( )йс о с с (б с"<<сэ,<11! выполняется неравенство У(х( ))) оу(х(.)) (Ю(х( ))(~(х( ))), .и пишем при этом х( )ен!осш)пз (1остахз).
5.3.2. Уравнение Эйлера — Пуассона. Т е о р е м а. Пусть функция х( ) доставляет локальный экстремум в задаче со старшими производными (з). При этом интегрант Ь таков, что Х ео( )~ Со((со, Ц, Й=О, 1, ..., и (условие гладкости). Тогда на экстремали Х(.) выполняется уравнение Эйлера-Пуассона. ( ) / с< <А ( — 1) ( — ) 1.<м(Г)=О. ,и ~ о о=о <~ Приведем задачу со старшими производными к задаче Лагранжа, сделав замену переменных хо=х<ь-<<, Й=1, ..., л, с, ') Е(Г, хо х„...,х„, х„)й(-ьех(г; хь= — хь ь Й=1,...,и — 1, с, х„(Г;)=хо ', 1=0, 1, Й=1,...,и. (з') Здесь фазовая переменная — вектор-функция (х! (.
), ... х (.)). Поскольку функция х( ) доставляет локальный экстремум в задаче со старшими производными (з), то вектор- 'функция (х<( ), ..., х.(.)) доставляет слабый локальный экстремум в задаче Лагранжа (з'). Выпишем согласно теоре- .ме Эйлера — Лагранжа необходимые условия стационарности л — 1 для лагранжнана Х= ХоЕ(1, х„..., х„, х„)+~ рь(хо — хь+!). А=! Терминальную часть функции Лагранжа, а также остальные ,необходимые условия экстремума, не играющие существенной роли в задаче с закрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования, не выписываем. Система уравнения Эйлера: — р,+Х,' — =О, .
дŠΠ— Е. (1)+Х.„х(1)=Ось — р',+Х,— — р!,=О, дх» Ь=1,...и, Й=2,...,и — 1, дЕ дŠ— )!ч . +Хе Р— ! 0 д хх дхх Если Хо=О, то нз системы уравнений Эйлера следует, что р, ! —— ...='р!=О. Все множители Лагранжа — нули. Пусть Хзчь, ~0 Пл О. Положим Хо=1. Выразим р ! нз последнего уравнения и подставим в предпоследнее; проводя эту процедуру для р, р, ..., р!, придем в итоге к уравнению Эйлера †Пуассо,. 5.3.3. Пример. ! ) х'!11-+ ех1г; х(0)=х(0)=х(1)=0, х(1)=1. 6 Решение. Интегрант: Е=хх.
Необходимое условие — уравнение Эйлера — Пуассона д! — й: — — Е + Е =Ос=>х<'>(1) =О. д!! х д! х Общее решение уравнения Эйлера — Пуассона: х(1)=С!(з+ +С!(!+С!!+С4. Неизвестные константы С!, См Сз, С! опреде-., ляются из краевых условий х(0)=0 ~С,=О, х(0) =0 =~С!=О, х(1)=0 ~х С!+С,=О, ) С,=1, х(Ц=1~3С!+2С,=1) С,=-1.
Значит, в задаче имеется единственная допустимая экстремаль х — 13 12 Покажем, что она доставляет абсолютный минимум в за-— .даче. Действительно, если Ь(.) енСох((0, Ц), то ! ! 1 У(х( )+Ь( )) — еу(х( )) = 1(х+Ь)х(и — 1 ххЫ =21~ хй!(1+1 Ьх!и о о 90 С помошью двукратного интегрирования по частям, учи- .тывая, что й(0)=й(1) й(0)=й(1)=0, получаем ! ! 1 !.. ! ! 1 ') хййо=) х!11г=хЬ~ — 1хйдг= — )'хоп= — хй~ +) х!'>йй1=0.
а о о о о! о о Следовательно, ! Р(х(.)+А(.)) — У(х( ))= БЧ1=оо, ! ! Б„ь= ) ходг=~(61 — 2)осЫ=4. о о Ответ: Функция х=!о-П доставляет в задаче абсолюте!Ый минимум, Зппп=4, Злах=+со. $ б. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 6.1. Принцип максимума Понтрягина 6.1.1.
Постановка задачи. Задачей оптимального управлееоия (в понтрягннской форме) называем следуюшую задачу: Яо(ф)-нп1; М!($) «О, !=1, ..., т',,~! Ц) =О, !=т'+1,, т, (з) еео, Ф(й)=х(1) — !р(8, х(1), и(Ю))=0 т!ггеп Т, (1) и(Г) еи0 У(еиА, (2) аде $=(х( ), и(.), до, Г!), х( )енКС!(А, К"), и( )ЯКС(А, К'), го, 1!~1п(А, го(1„А — заданный конечный отрезок, У вЂ” произвольное множество из К', Тг-А — множество точек непре.рывности управления и(.), ом! (6) = ) 1! (1, х (!), и Я) дг+ ф! (г„х (го), г„х (1,)), ! = О, 1,..., т. Отметим, что уравнение (1), называемое дифференциальной связью, должно выполняться во всех точках непрерывности вектор-функции и(.)= (и,( ), ..., и,( )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
