Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 26
Текст из файла (страница 26)
,<) Необходимость а) была установлена нами ранее в п. 4,1. Далее очевидно, что если х(.) доставляет слабый минимум задаче (з), то функция х(.) доставляет слабый минимум в простейшей задаче к. в. и. ~Б(г, х, х)й! — 1п1; х(! ) =х(! ), х(1,)=х(1,), 133 н, значит, в соответствии с теоремой из предыдущего пункта выполнены условия б) и в). Докажем условие г).
Уравнение'Якоби — — (112 Ь+Х~ Ь)+7-„„Ь+1. Ь =Оеь — 7,, Ь+ + ( — Т.;„. -1.„+ Х,й ) И'+( — 1.;„+ 1,„) И=О представляет собой систему из а дифференциальных уравнений второго порядка, которую можно переписать в виде системы из 2п уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных.
Для этого, 'положив И=И'' и воспользовавшись тем, что из-за усиленного условия Лежандра 1, обратима, получим И=я', й =1..!( Е., — 1. +Е )~+1.,Е( — Е,, +1.„„)Ь. По теореме существования и единственности для линейных систем [АТФ, с. 19Ц существует фундаментальная матрица решений последней системы; которая (после простых переименований) превращается в фундаментальную матрицу Ф(, 1ч) решений уравнения Якоби. Эта матрица удовлетворяет уравнению Якоби и краевым условиям: Ф(1а, 1ч)=0, Ф(1е 1а) =1. Аналогично построим фундаментальную матрицу Ч'(., 1!) из условий Ч!(1ь 1,) =О, Ч (1„(,) =1.
Напомним, что точка т является сопряженной к 1а тогда и только тогда, когда матрица Ф(т, 1ч) вырождена. Но у нас выполнено усиленное условие Якоби, поэтому матрица Ф(гь 1а) невырождеиа. Положим Н!(1)=Ф(1 1о)Ф '(1ь го) и Но(1) 'Ж(1, 1,)Ж- (1„1!). Ясно, что Н!(1~) =О, Н!(1!)=1, Но(1а) =1 Н!(Г,)=0. Тогда функция Ь(1; Ьо, И!)=Но(1)йо+Нь(1)И! — решение уравнения Якоби с краевыми условиями Ь(1о., Им Ь,)= =Ио, И(10 Ио, И!)=Ь!. Вычислим значение Л'(Ь(.; Ьь Ь,)), где Л' — квадратичный функционал !, Ю(Ь(.)) =) ((Е. ° Й, Й)+ 2 (1.„'Ь, Ь)+(Т. Ь, Ь)) с(!.
Имеем 2('(И(.; И„Ь,))=~(1.„.„. Ь'+1.„, Ь,,(И)+ ('<1.„1 И'+Г„„Ь, и) 11= !. ! ! -~ ( — — „", (1.4; и+1.„. И)+ 1„1 Ь'+ 1,„Ь, Ь) а+ Поскольку 2( )ея1осщ(пМ(.), то по необходимому условию Ц порядка для локального минимума (и. 2.1.2) для всякого Ь( )енС'([1„1Д, 11") должно быть верно неравенство о М ( х + И ( ) ) ~ х о У ( ~ ( ) ) + С К ( 1 ( 1 о ) 1 ( 1 ) ) =(Р+(~)()1(1,), А(1,)) ) О. Подставляя вместо й( ) построенную нами функцию й(; Ьо, Ь,), приходим к г). Г % 1О. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В этом параграфе мы, во-первых, показываем, что необходимые условия, о которых говорилось в п. 9.1 и 9.2, фактически смыкаются с достаточными, а во-вторых, прослеживаем за некоторыми общими идеями, связанными с достаточнымн условиями.
10.1. Достаточные условия в задачах с равенствами и неравенствами 1О.1.1. Постановка задачи и формулировка теоремы. Здесь исследуется та же задача, что была поставлена в и. 9,1.1. Напомним ее. Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства, У— окрестность в Х, 1;: У-~-11, 1=0, 1, ..., т, — функции, определенные на П, Р: У-о У вЂ” отображение, определенное на П со .значениями в У. Рассматривается гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств: ~о(х)-нп1; ~;(х)(О, 1о Т<т, Р(х) =О.
(з) Функция Лагранжа задачи (з) имеет вид .2'(х, Л, у ) = ~„ Ц,(х) + (у", Р (х)), Л е- =11 ', у' о:- У'. ~=.о Теорема (достаточные условия в задаче с равенствами и неравенствами). Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства (условие банаховости), 1;: П-о-й, 1;(х) =О, 1~~0, хецУ, — функции, дважды дифференцируемые по Фреше в окрестности П, Р— отображение также дважды дифференцируемое по Фреше в П (условия гладкости), 1т Р'(х) =У (условие полной регулярности), множество ~и ПФ Л = ((Л, у*) ь — — К~+' Х У' /Л, > О, 1~ >О, 2„Ло — — 1, ~~ Л;1;. (х)+ ю.=о +Р" (х)у'=О~ИВ (условие первого порядка) и существует а)0, такое, что щах .х„(х, Х, у*)(Ь, Ь)=ьа~!й!~' !».ь~! ел для любого й, принадлежащего конусу допустимых вариаций К: =(х!ф'(х), х)(0, 0(!к:т, Е'(х)х=О).
Тогда х доставляет локальный минимум задаче (з). 10.1.2. Леммы. Доказательство теоремы опирается (помимо доказанной в п. 9.1.2 леммы о минимаксе) на один результат, относящийся к выпуклому анализу, — лемму Хоффмана, которая базируется на трех геометрических фактах, имеющих невавнсимый интерес. Лемма 1 (о сопряженном конусе). Пусть Х и У вЂ” банаховь» пространства, Л вЂ” линейный непрерывный оператор из Х в У, являющийся зпиморфизмом (ььЛХ=У), (х1*, ..., х,ь)— набор линейных функционалов на Х, К: =(хенХ!(х"., х) <О, ! <1<в, Лх=О).
Тогда К'=(х" ~Х'!х'+ Т Цх,'.+Л*у =О, Х;)О, у'енУ'). 1=1 С О. Доказательство леммы опирается на: 1) формулу Моро — Рокафеллара (п. 1.5 и 8.2); 2) формулу Дубовицкого— Милютина (п. 1.6 и 8.2); 3) теорему Ферма для выпуклых функций (п. 2.3.1) и 4) лемму об аннуляторе ядра (п. 7.2).
1. Пусть хе*~К*. Тогда из определений следует, что р(х): = п»ах (х"., х) )0 т'хан КегЛ ~0 ~ аЬзппп(р+6КегЛ). (1) о<с<» (о.»> д6 КегЛ =(Кег Л) Тогда, используя очевидную формулу =1птЛ', получим <ь.з> (ьл! <ор 0 ен д(р+6КегЛ) = др+дб КОЛ = со(хо,, х,)+1тп Л', (2) Без ограничения общности можно считать, что из г Цх',.
+ ю=1 +Л'у' =Оследует )и=О, у'=0 (выкидывая последовательно те й х»*, которые представимы в виде — (,»'„Х»;х,'.+Л'у»)), Тогда ~=А-~ 1 нз (2) получим, что — хо=Х,»чх,'.+Л'у*. ~> ~=я Лем м а 2 (о замкнутости). Пусть Х вЂ” банахово пространство, Ь1 — замкнутое надпространство и Е» — надпространство конечной размерности в Х. Тогда Е,+1.» — замкнутое подпространство Х. 138 3 Пусть Ьз=1!п(х!, ..., х.). Если х!енЬ!, то подпространство Ь!!(-1!п(х!), очевидно, замкнуто.
Если же х!Ч!'Ь„то по второй теореме отделимости (п. 1.2.2) сушествует элемент х!*енЬ!',, такой, что (х!ь, х,>=1. Пусть г принадлежит замыканию Ь!+ +!!п(х!), Это значит, что сушествуют >!,я!1 и $,яЬ!, такие, что >!„х!+~,=:гв-«г. Но тогда, подействовав на г„элементом х!ь, ,получим Ф !л >!а (х!г гл) «(х!1 г) >~ ~$л =ел Лих! «г >!хт = $ ~ Ь! в силу замкнутости Ь! и того, что $,енЬ|=:->„х!+$ -«>!х!+$. Итак, Ь!+1!п(х!) — замкнуто. Аналогично показывается, чт!э Ь!+1!п(х!, хз), ..., Ь|+!!п(х!, ..., х )=Ь|+Ь! замкнуто. !« Л ем м а 3 (двойственности для задачи о кратчайшем расстоянии). Пусть Х вЂ” нормированное пространство, А — непустое выпуклое множество в Х. Тогда д(х, А, Х) =зцр((х*, х>— — зА(х') ~ (!х'!!(1), где !((х, А, Х):=!п((((х — у(! !уенА) — расстояние от точки х до А. 4 Легко понять„что функция х-«с((х, А, Х) непрерывна и (вследствие выпуклости А) выпукла.
Значит, она замкнута. По определению эта функция есть конволюция нормы (!!х!(=А((х)) и индикаторной функции множества А: д(х, А, Х) = (й(ЮЬА) (х). Используя формулу сопряженной функции к конволюции (п. 1.5.4) и формулу А(*(х*) =бВХ*(х'), получим Ы(, А, Х)'(х') =бВХ*(х*)+зА(х"). Применив далее теорему Фенхеля — Моро (и.
8.1.3), имеем гй! д(х, А, Х)=!(1(д(, А, Х))) =зпр((х', х) — зА(х')!((х" (1(1). (« Л е м м а 4 (Хоффмана). Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, ЛенЫ'(Х, У), ЛХ=У, х!ь~Х*, !=1, ..., з,К=(х((х!*х>(0, !=1, ..., з, Лх=0). Тогда существует константа С)0, такая,. что I с1(х, К, Х)(С(,Я (х,.', х)«+!!Лх!!) (а~.=п!ах(а, 0)). !=1 :> Положим Ь=!!п(х!*, ..., х,*)+1тЛ'. По лемме об аннуляторе ядра регулярного оператора 1!пЛ*=(Кег Л)х, а аннулятор всегда замкнут, поэтому в силу леммы 2 (о замкнутости) Ь замкнуто в Хь, а значит, банахово пространство. Обозначим Л,(к, у')=~~А;х'.+Л'у', Л,г-=Я(К!кУ, Ь). 137 Поскольку Л, — сюръективный оператор, то по лемме о правом ,обратном (п.
7.2) найдется оператор М,: Е-~11'Х У", такой, что Л!оМ!=7ы ЦМ!х*Ц<СЦх*Ц, т. е. если ЦхьЦ<1 н М!х* = (Л, у'), то ЦМ,х'Ц„.„„:=1,(Л!1+Цу'Ц«=С=~Цу'Ц(С, (Л,( =С. Поэтому по лемме 3, учитывая, что зК(х*) =6( — Кь) (х~) (по определению) н лемму 1, получаем а(х, К, Х)=зпр((х', х) — зК(х')(Цх'Ц( Ц= =зцр((х', х) — 6( — К') (х') (Цх'Ц:~= 1) = = — зпр(((х', х) (х'=~('„Л!х, +Л'у', Л!>О, у' ~ 'г'*, ((х'Ц»»1)»( (зпр((~Л!х',+Л'у*, х)~0(Л!(С, Цу'Ц(С) ~( ! ! С~Я (х,', х)++ЦЛхЦ). ~> 1=! Лемма 5 (о компактности Л).
Пусть выполняются условия лпеорел!и. Тогда множество множителей 7агранжа Л =((Л, у') ен ~ м +' х У' (Л ) О, ~~„Л! = 1, ~ „Л!х, + Л'у' = 0) — кол!пакт (х',: = к=о !=0 =7; (х), !=О, ..., т, Л=г"'(х)). т <Д Рассмотрим симплекс Е=(Л ы 11"+' )Л) О, )' Л! =1) нотоб!=0 раженне <р: Е-!-Х", задаваемое формулой <р(Л) = г Л,х,'..
По опре!=0 делению (Л, у ) ~ Л с=!<р(Л)+Л"у* =О, В силу замкнутости 1!пЛ' (по лемме об аннуляторе ядра регулярного оператора 1тЛ*= =(КегЛ)х, а аннулятор всегда замкнут) н равенства КегЛ'= =(0) (Ь*е=Кег Л'=ь-(Л*й', х)=0 Чх=ь-(й', Лх>=0 Ъх=ь-й'=0) применима теорема Банаха об обратном операторе, (и. 7.1). Поэтому отображение Л': У*- 1птЛ' имеет обратное, следовательно, подмножество Л* !!р(л) компактно, а значит, компактно н множество ((Л, у*) ~Л)=((Л, — Л* !!р(Л) )ЛЯ2!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
