Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(> 138 10.1.3. Доказательство теоремы. Покажем, что существует б)0, такое, что условия /;(х+Ь)(0, 1)0, Р(Я+Ь) =0 (1) противоречивы при /!ЬИ(6, ЬФО. Из этого сразу будет следо- вать, что 2ен1осщ/пз. Действительно, пусть вектор Ь удовлет- воряет условиям (1) н !!ЬИ<бо Тогда по формуле Тейлора ~,(х+Ь)=(/[(х), Ь)+(1/2)/[(х)[й„й[+г,(й), /~)0, Р(х+Ь)=Р'(х)[й[+(1/2)Р" (х) [й, Ь[+г(Ь), и, полагая х';=Гс (х), а,=(1/2)/~(х) [Ь, Ь[, / «0, Л= г '(х), у = — г" (х)[й, Ь1, / (х)= шпак /,(х), 2 0<о<да получим (хо Ь)+а,=~,(х+Ь)(0, /) О, Лй+У=О; (2) прн этом (х,, й)/.(!а,!<С,ИЬИ', ИЛЬИ=ИУИ(С,ИЬИ'.
(3) ~П О$ Мз равенства,~', Л, (х,, х)+ (Л*у', х) =О, Х,~)0, ~~ )ч =1 вытеь=а а О лз 'кает что ~„/«,(х'., х)=0 УхяКегЛ. Отсюда щах (хо х) )0 ю о<~< ь=а т" х ~ Кег Л, н, значит, можно применить лемму о мннимаксе (п. 9.1.2). В итоге получим оп щах ф,(х+Ь)= щах ((х', Ь)+а,)Ъ |п!п гпах ((х'., х)-/-а,)= о<с<юв а<с<в л +«=-а о< ~, гл птах 1 — ~ «(х, А, У') [Ь Ь[+~~~ЬМЬ)+ (У', г(Ь))~. [4) (л,«)ел г г=а Расстояние от Ь до конуса К оценим по лемме Хоффмана и затем по (3): а(й, К, Х)(С ( (;., Ь)++ИЛЬИ/(~С ИЬИ . к=о Таким образом, Ь=й,+Ьь где Ь~енК, а !/ЬяЫС«ИЬИ«. Пусть 6«выбрано так, что нз //ЬИ(6« следует Сз/!Ь/!(1/2.
Тогда И Ь, И ~~ И Ь И вЂ” И Ь, И ) ИЬ И (1 — С«И Ь И) )~ И Ь И/2 м, значит, Ий«ИК4С«!/Ь и . 139 (б) т 0)1(х+Ь)) гпах ( ):с„„(х, Л, У*) 1Ь, Ь)+~~~Л)«г(Ь)+ гд,у')ел ) 2 Г=О +(у', «(Ь))) ) — )пах .У (х, Л, у")(Ьд+Ь„Ь)+ЬО1— 2 где )ел — —" Ц Ь, )('.
—" Ц Ь, Ц' — 4С,С,' Ц Ь, ~(' — 8СОС, Ц Ь, Ц' — ЦЬ)Ц') О,. если только из ЦЬЦ<6(~пд(п(6), бв бд) следует неравенство 4СОСО ЦЬдЦО+8СОСО ЦЬ Ц'( — ЦЬд ЦО. Получили противоречие: 0)1(х+Ь))0. ~> 10.2. Элементы общей теории поля 10.2.1. Построение поля для конечномерных задач. с равенствами. Пусть П вЂ” окрестность в К", ): 0-)-11, Р: П вЂ” 3Р. Рассмотрим коиечномерную задачу с равенствами г(х)-)-1п1; Р(х) =О.
(з) Стандартным возмущением задачи (з) называется серия задач с параметром а~К'" )(х) -)-1п1; Р(х) =г (з,) Теорема (о поле в конечномерных задачах с равенствами). Пусть ), РенСОЯ (условие гладкости), ЫУ, Р(Х) =О, !гп Р'(Х) =Й" (условие регулярности), существует множитель. Лагранлса Ф~й'", такой, что для функции Лагранжа задачи (з) с единичнь)м множителем Лагранжа при функционале Я(х, у) =1(х)+(у, Р(х)) выполняются: необходимое условие минимума ! порядка 0=2,=~'(х)+(у, Р'(х)) (2.:=Я„(х, у)); ~(1), 140 Наконец, отметим, что' из леммы 5 (о компактности Л) вытекает, что если (Л, у*))=Л, то Цу*Ц =Со Пусть бд настолько мало, что из ЦЬЦ~(6О следует неравенство ~,') Лг«г(Ь)+(у', «(Ь))~» — "ЦЬ,Ц'.
Г=О Теперь соединим воедино условия теоремы (1), (4), (5) и (6), обозначив С,= )пах Ц.У„„(х, Л, у')Ц: ГД,О') ЕЛ достаточное условие минимума 11 порядка .У„,[й, Ь]>0 УЬ~КегР'(х)„Ь~О (х,„:=Я„„(х, у)). (2) Тогда существуют окрестность У точки Овна", окрестность Гс(1 точки -х и функция ь): У-ь-(1Х К'", <ренС'(У), ф(г) = (х(г), у(г) ), ~р(0) = (х, у), такие, что У,(х, у)=0, Р(х)=г, хяГ, генУ, тогда и только тогда, когда х=х(г), у=у(г). При этом х(г)~ ен1ост!и з,. Введем отображение Ч': 11 Х Йь-~й" Х Й", действующее ,по формуле Ч" (х, у) =(Т'(х)+(у, Р'(х)), Р(х)).
Покажем, что Ч' удовлетворяет требованиям теоремы об обратной функции ы) (п. 1.44). Ясно, что Ч'(х, у)=0 и Ч"енС'(11ХК ) (в силу ус- .ловия гладкости). Докажем, что якобиан отображения 'Р де1 Ч"'(2, у)ФО. Имеем Ч' (х, у)[(х, у)] = Ч",(х, у)[х] + Ч"„(х, у) [у] = =(2„, [х]+ (у, Р'(х)), Р'(х) [х]).
Жели (х, у) еп КегЧ" (х, у), то Р'(х)х=О и .т",„, [х]+(у, Р'(х)) =О. (3) Умножим обе части равенства (3) скалярно на х. Тогда по(з> скольку Р'(х)х=О, то л,„[х, х]=0 ~х=О. Следовательно, из (3) КегЧ'(2, у) =О, т. е. Йе1Ч"'(х, у)ФО. По теореме об обрат-, .ной функции существуют окрестность У точки 0~)х'" и отобра- жение ~р(г) = (х(г), у(г)), такие, что Ч'(х(г), у(г))=(0, г)ьь.2'„(х(г), у(г))=0, Р(х(г))=г. Осталось доказать, что х(г)~!осщ(пз,. В силу конечномер- мости задачи и условия теоремы (2) существует-р>0, для ко- торого (2'„Ь, й)~ДЬ]]'УйыКегР'(х).
Выберем окрестность У,сУ настолько малой, чтобы для любого гепУ, выполнялось П Я,„. (х(г), у(г)) — 1,„„П ([)/4, (4) 1пт Р'(х(г) ) =11'", (5) (х, Ь, й) )(р/2) ПЬП' Уй =- КегР'(х(г)). (6) Действительно, поскольку отображения ~р(г) и (х, у) — ~- -эЫ„(х, у) непрерывны в окрестностях нуля и (х, у), соот- ветственно можно удовлетворить условию (4). Условие (5) удов- летворяется в силу того, что ранг непрерывной матрицы Р'(х) .локально постоянен. Условию (6) можно удовлетворить из-за непрерывности отображения г- Р'(х(г)) и (4).
141 Итак, для йенКегг'(х(г)) (Хяя(х(г), у(г) )и, п)=(ЖккИ, и)+((2~««(х(х), у(г))— — У..) й, й>жа) 1Ы! — Е/4Н~Ц = Е~4И~Щ . Поэтому в точке х(г), геиу1 выполняются достаточные условия экстремума. (> Можно было бы привести и бесконечномерный вариант этой теоремы. Он доказывается фактически аналогично конечномерному. Поле, которое строится в следующем пункте, устроено аналогично тому, что было построено, только в классическом вариационном исчислении в качестве «возмущающего параметраэ берутся краевые условия на правом конце. 10.3.
Теория поля и достаточные условия в простейшей задаче к.в.н. В этом параграфе дается фрагмент теории поля и теории достаточных условий экстремума в вариационном исчислении на примере простейшей задачи. 10.3.1. Поле экстремалей, построение центрального поля. Пусть в простейшей задаче классического вариационного исчисления (з) п. 9.2.1 х(.) — некоторая экстремаль (т. е. на х( ) выполняется уравнение Эйлера) из семейства экстремалей (х(., Л)), х(, Л)енС'((1о, 111 К"), с параметром ЛенЛ~О(1(").
Говорим, что х(.) окружена полем экстремалей х(1, Л), если существует окрестность 6 графика Г;=((1, х(1)) я Й"+ ~1я(1о„ гт)), такая, что для любой точки (т, Ц из этой окрестности имеется единственная экстремаль семейства, проходящая через эту точку. Точнее, существует функция Л: 6-«-К", Л=Л(т, 5), класса С'(6), такая, что х(т, Л) =а«= Л=Л(т, й). Функция и: 6-ь. К", и (т, $) =-к-х (1, Л(т, $)) ),, называется функцией наклона поля.
Если существует такая точка (1., х.), что х(1., Л)=х, для всех ЛенЛ, то говорят, что х( ) окружена центральным полем экстремалей. Точка (1., х ) называется центром поля, семейство х(1, Л) — центральным полем экстремалей. Теорема. Пусть х(.)яСо((1о, 11)) — экстремаль в простейшей задаче к. в. и., интегрант Т.нгСо(Б), где У вЂ” некоторая окрестность расширенного графика ((1, х(1), х«(8)) ~1~(1о, 1~)), на х( ) выполнена усиленные условия Лежандра и Якоби Тогда х( ) можно окружить центральным полем экстремалей.
<1 Распишем уравнение Эйлера — — 1.„. (1, х, х)+Т.„(1, х, х)=0<=ьЦ; (1, х, х)х+ о +Т.„,(1, х, х) х+(.н(Г, х, х) — 1,,(1, х, х) =О. 142 Так как выполнено усиленное условие Лежандра, т. е. неравенство Е;; (1) > 0 1~1~ [1а, 1~], то в силу непрерывности функции Ь;; (напомним, что ЕенС'Щ) найдется такое что Ь;„(Ь х, х)- 0 У(А х, х)сна~. Значит, в области У~ уравнение Эйлера равносильно системе, разрешенной относительно производных х=у, у=Ф(1, х, у), где Ф (Ь х, р) = Е„.„~ (1, х, у) (Ь (т, х, у) — Е., (1, х, у) — Ь (1, х, у) у) В силу предположенной гладкости ннтегранта функция Ф (дважды) непрерывно дифференцируема. Зйачит, по локальной теореме существования [АТФ, х.
186] и глобальной теореме су« ществования и непрерывной зависимости решения от начальных данных [АТФ, с. 195] найдутся такие е>0 и б>О, что: а) решение х(.) продолжимо на отрезок [1р — а, 1~+а]; б) для любого И$Р (]А[<б) на отрезке [1а — е, 1~+а] определено решение х(, Х) уравнения Эйлера с начальными данными х(1.) =х(1,), х(1.)=х(1.)+3, где 1. — некоторая точка из интервала (1о — е, (а).
По теореме о дифференцируемой зависимости от начальных данных [АТФ, с. 204] функция (1 Х) ух(А Х) (хз(1 'Хь ° ° Л ) . ха(1 Хь . ' Хл)) непрерывно дифференцируема. Покажем, что экстремаль х(.) окружена центральным полем экстремалей х(, Х). Дифференцируя функцию х(1, Х) по Л, полагая Х=О и обозначая хх(1, Х)[х=а=Н(1, 1,), ~НОР 1)= ' ' ~, 1 1=1, ..., и), получаем (поскольку х(1, Х) — экстремаль для любого 3 [Х[ <5) 0 ш — ( — — Е„(1, х(А Х), х(г, Л))+Ь„(1, х(1, Х), х(1, Х)) )[ =3~ ур=о + — — (Е;;(1)Н(т, 1,)+Е „ЯН(1, С.))+Ь ° ЯН (1, 1,)+ +Е„,(1)Н(т, 1.)=0.
Получилось, что матрица Н(, 1.) удовлетворяет уравнению Якоби. При этом выполнены следующие начальные условия: Н(1., 1.)= — х(1., Л)[ = — х(1.)=0, * * дЛ ' (Л=о дЛ Н(1, 1.)= д х»,, Л)! = д (х(1,)+Л)=-1. дЛ ~ 1Ло дЛ Пусть Н(1, 1,) — матричное решение уравнения Якоби с ус.повиями Н(1о, 1о) =О, Н(1о, (ь) =У. Поскольку выполнено уси.ленное условие Якоби, то не существует нетривиального реше- ния Ь уравнения Якоби, удовлетворяющего условиям Ь(т,) = '=Й(т) =О, (ь<т(11 (п. 9.2.1). Таким образом, усиленное усло- вие Якоби равносильно невырожденности матрицы Н(1, 1ь) при .любом (е=[1м 11[.
Но тогда снова в силу глобальной теоремы 'существования и непрерывной зависимости решения от начальных данных [АТФ( с. 195[ (для уравнения Якоби, которое -тоже, очевидно, сводится к разрешенной системе первого порядка) при достаточйой близости 1. к 1ь матрица Н(1, 1.) будет невырожденной для любого 1ен [1о, 11[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
