Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Доказательство теоремы опирается на следующие факты: 1) теорему Ляпунова (п. 7.3), 2) теорему Куна — Таккера «Которую, собственно, н навмвают лянуновсноа. 149 п. 2.3.3, 3) условия экстремума для простейшей задачи оптимального управления [АТФ, с. 3601. 1. Обозначим: У совокупность измеримых отображений из Т в У, обладающих тем свойством, что 1с (с, и (1) ) еи внус(Т, сэс. т), и через Р: У- '-й"'+с отображение Р(и(.)) = (Ро(и(.)), ..., Р (и(.)).
Л е и м а. Образ Г(У) — выпуклое множество в Км+с. < <Д Пусть 0<а(1, зсфср(У), 1=1, 2(ео Бис( ) еи еУ:Р(ис( )) =фс, 1-1, 2). Положим Рс (с) = 1с (г ис (1)) 1с (с ио (с)) р(А)=Ор,(1) Ь, ., 1 р (Г)«т). оес ю рй.)= 6'-Р)=(~ро(1)бт, ".. ~р (Г)бт). ло Тогда аЯ вЂ” ос)= ~7с(г, и,(1))сЬ+ ~ рс(г, иоЯ)сЬ— лсс т~ла -~оо, ~сссс.— 1 со, ~сосс = т~л -вессс .ссссс = 1 с сс, .о ~ — о. т~ А,„ Из этого равенства видно, что если положить (и,(1), ФяА„, то получится Р(и,( ) ) — йо=а(фс — йо) =о Р(и,( ) ) = арс+ (1— — а)Ко. с: (> 2.
Обозначим з=(го, ..., г )вне'"+с, ф=(к, з), срс(~)- -.ис(х) +зс и рассмотрим задачу (з) ия. сро(Ц)-нп(; срс($)<0, с=1, ..., пс', рс(й) =0, с=по'+1, ..., пс, р=АХ р(У). В силу леммы это задача выпуклого программирован Если (й( ), к) — решение задачи (з), то ф=(к, Р(й( ))) решение (з). Остается применить к (з) теорему об условиях экстремума (0.3) и получить требуемые соотношения а) — в). (> Ясно, что р — непрерывная векторная мера на (Т, Я). При этом р()сс) О, р(Т) =$с 3о.
Вследствие теоремы Ляпунова ,(0.1) существует множество А„такое, что 11.3. Задачи оптимального управления, линейные по фазовым переменным ! Пусть а= [1о, 11] — конечный отрезок числовой прямой, а~.а — ».К", 1 О, 1, ..., т, и А(.):а-».!в($\" К") — векторные и матричная функции, У вЂ” топологнческое пространство, 1,: аХУ-~-Й, »=О, 1, ..., т, и Р: аХУ- К" — непрерывные функ- ции, у«, уш 1=0, 1, ..., т, — элементы К". Экстремальная задача аУо(х( ), и( ))-о 1п(; Ю~(х( ), и( ))«О, 1=1, ..., т', йо(х(), и())=0, 1=т'+1, ..., т, хЯ=АЯхЯ+Р(1, и(8)), и(8)~У п. в., У,(х(.), и( ))= =~((а,(Ф), хЯ)+[<(1, иЯ))М+(уоо х(8о))+(ум, х(Ф,)), ь в которую величины, связанные с фазовой траекторией, входят линейно, называется задачей оптимального управления, линейной по фазовым переменным.
Обозначим 'И множество измеримых отображений и:а-»-У, таких, что функции Г-~[~(1, и(1)), 1-».Р(1, и(1)) интегрируемы. Пара (х( ), и( )) называется допустимым процессом, если х( ): Ь-» К" — абсолютно-непрерывная вектор-функция, и(.)ы е=%, х(1)-А(1)х(1)+Р(1, и(1)) п.
в. и выполняются соотношения д'~(х( ), и( ))(О, 1<1<т. Т е о р е м а (прннцип максимума для задач оптимального управления линейных по фазовым переменным). Пусть в, задаче (з) а= [Го, 11] — конечный отрезок числовой прямой, а~(.)ен ~Ь,(з, К"), А(.)н=.Ь,(й 2'(К", 1(")), У вЂ” топологическое пространство, 1~ и Р— непрерывные функции и отображение в К", определенные на аХ У. 1) Если допустимый процесс (х( ° ), й(.)) доставляет абсолютный минимум задаче (з), необходимо, чтобы был выполнен принцип Лагранжа, т.
е. нашлись бы а,=(Ао, ..., Х )ыК'"+' и абсолютно непрерывная функция р( )й-~К", (к, р( ))ч»0, такие, что выполняются: а) уравнение Эйлера — рф=рЯАЯ+о~)час(1) ю=о б) условия трансверсальности 'р((»)=( — 1)»,'т 11у»с,' Й=О, 1; а=о в) принцип максимума шах(рЯР(1, и) — ~~ АД(1, и))= «ао ~-о 151 =(р(1) Р(1, и(1)) — Т, Щ (1, и(1))) п. в.; ~=0 г) условие неотрицательности Л; 'О, 0(1(т', д) условие дополняющей нежесткости Л;Ус(х( ), й( )) =О, 1(1(гп'. 2) Если для допустимого процесса («( ), й( )) существуют такие Х~)0, ХяК'" и р( )енАС(а, К"), что выполняются усло- вия а) — д), то (х(.), й(-)) доставляет абсолютный минимум задаче (з).
0 О. Доказательство этой теоремы основывается на: 1) принципе Лагранжа для ляпуновских задач (см. предыду- щий пункт) и 2) редукционной лемме из теории дифференци- альных уравнений, которую мы докажем в п. 1. 1. Редукцион ная лемма. Пусть Л= [1ь |11 — конечный отрезок, У вЂ” топологическое пространство, а( )енЬ1(Л, К"), А (,)е-г (ь Я(11п Яи)) р =С(йхи, К ),1=С(Л, ц, еу(х( ), и(.)) = ~ ((а(1), х(1))+1(1, и Я)) Ж+(уь, х(1,))+(ум х©), Ь где х( ), и( )) связаны дифференциальным уравнением х(1) =А(1)х(г)+Р(г, и(1)) и. в. Тогда имеет место равенство У(х( ), и( ))=~((р(1), р(1, и(1)))+г(г, и(1))йг-1- ь + (Мь Р(гь) «(го)).
где р( ) — единственное решение линейной системы — р(1) =рЯА(1)+а(1), р(1~) = — уо <)0 Действительно, по теореме существования и единственности (АТФ, с. 19Ц функция р( ° ) определяется единственным образом. Тогда ) (а(1), х(1)) йг = (нз выражения для р( ))= — ) (р(г)+ л Ь +р(1)А(1), х(г)) й1=(интегрируя по частям)= = — (р(.), х( ))~ +) (х(1) — А(1)х(1), р(1)) йт= и ь = (ум х(Г,)) — (р(1,), х(г,))+~ (р(1), р(1, и(Г))) йг,' откуда немедленно следует (1). ь.
~> 152 2. Из леммы следует, что если (х(.), й( ))ыаЬзш(пз, то й(.) енаЬзш(п з', где ~ ((р,(1), Р(1, и(1)))+~„(1, и(1))(11+ (у„,— р,(1,), х(1,))-» 1п1, (з') а ((Р (1), Р(1, «(1)))+6(1. «(1)) б1+ (Ум — Р Ю. х Ю)» С ° — рю —— р!А+ «( рс (1д) = — ум. Теперь остается применить к ляпуновской задаче (з') принцнп максимума. Согласно ему найдутся числа Ае, дь ..., ),, удовлетворяющие принципу минимума, условиям дополняющей нежесткостн и неотрицательности (для (з')).
Если теперь положить р(1)= Я)~,р,.(1),. то, как легко понять, удовлетворяютг=а ся условия а) — в). Достаточность следует из достаточности принципа максимума в ляпуновской задаче. (> 11.4. Уравнение Эйлера для простейшей задачи класснческого вариацнонного нсчнслення в многомерном случае 11.4.1. Постановка задачи.
Пусть Т~К вЂ” ограниченная область'в К с гладкой границей дТ. Простейшей задачей классического варнационного исчисления называется следующая экстремальная задача в С'(Т): У(х( ))=) 1.(1, х(1), х(1))й-»ех1г, х(дг=~, (з) Здесь Т.: К ХКХК -»К — функция 2(и+1 переменного. Экстремум в задаче рассматрнвается среди функций х( )ен ~С'(Т), удовлетворяющих краевому условию: ограничение х( ) на границе дТ должно совпадать с непрерывной функцией 1(.): дТ вЂ” К; х(1)х=» () —, ..., — ).
Г дх(() дх(() т дй д(,х Говорим, что допустимая функция х( ) доставляет слабый локальный минимум (макснмум) в задаче (з), и пишем, как обычно, х( ° )~1осш1пз(!осшахз), если существует 6)0, такое, что для любой допустимой функции х(.), для которой !(х( )— — х(.)((,(б, выполняется неравенство (х( ))~ (х( )) ( (х( )) ~. (х( ))). 153 При этом напомним, что С'(Т) — пространство непрерывно дифференцируемых в Т функций, где Цх()Ц,:=шах(Цх()Ц„~ ( ) ~ь, ...,~ ( ~) Ц х(.)Ц,: = тах1х(Г) ~. Мат 11.4.2. Необходимое условие экстремума.
Теорема. Пусть х( )яС'(Т) доставляет слабый локальный минимум в (з), а интегрант Ь непрерывен вместе со своими частными производными по х, х в некоторой окрестности множества ((8, х(1), х(1)) ~1яТ) и при этом Т,;(Г) ен С'(Т). Тогда выполнено уравнение Эйлера — йрч Тй (Ф)+ Х,(1) = О. <1 рассуждаем аналогично тому, как рассуждали при выводе необходимых условий в задаче Больца или в простейшей одномерной задаче.
Берем произвольную, но фиксированную функцию хь( )еСь'(Т):=(х( )енС'(Т)1х~эт=О). Тогда Х( )+ + Ах( ) — допустимая функция чй~ К Положим»р (Х): = =Г(х( )+Ах( )). Из условия х( )ен!осех1гз следует, что Оя!осех1г»р. Пользуясь дифференцируемостью ~1 в нуле (вытекающей из теоремы анализа о дифференцируемости под знаком интеграла), приходим к выражению для первой вариации <р'(0)=6~(х( ), х( )) = ~((Т1(1), х(1))+ +Е (1) х(1)) йГ=О Ух(.) ен Сь(Т). (1) А теперь остается воспользоваться классической формулой Остроградского (10, т.
2, с. 272; 15, т. 2, с. 97), согласно которой ) (Т.,(1), х(1)) Ф= — ') й(чЕ;(1)х(1) й1. т т из Т функция (для определена(.) существует свойством, что Если теперь допустить, что в некоторой точке 1-»- а(Г):= — й1чЕ;(Г)+г.,(1) не равна нулю ности положительна), то в силу непрерывности маленький шар В(1, р)~Т, обладающий тем а(Г) )0 чг~В(1, р), Теперь можно положить .
Из (1) и (2) получаем, что ( — й(чТ,;(1)+7.,(г))х(1)И=О ч'х(.) ен Со(Т) (3) ( р — ~1 — 1~)з, )1 — г~(р; х(1)= ')г — «() р, н, убедившись, что х( )АССР((Т) прийти к противоречию, ибо (3) Р 0= ') а(1)х(1)(Ы= ~ а(1)х(1)й) )п)п а(1) ~ х(1)(11)0. 1> В(7,Р) (аВ(( Р) В(( Р) 11.5. О теоремах существования и прямых методах в вариациониом исчислении н оптимальном управлении.
Проблематика существования решений играет весьма важную роль в теории экстремальных задач. Обсудим эту проблематику на примере простейшей задачи к. в. и.: ~ (х (. )) = )4Е (1, х, х) Ю -~ 1п1; х (1 ) = х, х (1 ) = х, Ь: 11» -~ 11, (е (з) быть может, с условием, ограничивающим производную: хин Ыс К. Попробуем раскрыть причины, вследствие которых задача может не иметь решения, обсудив примеры 3 — 5 п. 4.2.4. 1) Невы пуклость интегранта по х. В примере 5 цнтегрант имел вид Е(х, х) = ((1 — х')'+х'). Функция х-» -«Е (х, х) здесь не выпукла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
