Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Получили противоречие, из которого следует требуемое. ~> 12.5. Неравенство Бернштейна Для любого тригонометрического полинома х( ° ) степени п имеет место неравенство !!х ( ')!!Сп-лев ~( и !!х (')!!Сп-н,яв. Это неравенство является точным, и оно достигается на функиии 1-~А з!п(п1+у). <) Рассмотрим следующую экстремальную задачу в 11'"+'. и /,(х) " — х(0)= — ~', йхь-е.(п1; ~,(х)М шах ~х,+ Ф-1 са$ л н1 '+~' (хам(п я1+хь„созйг) ~ (1 (х=(х„х„..., х,„), й-1 х(1) = х, + ~ (хь з(п й1-~-х~+, соз йГ)).
(з) ХЯ а;з(ипх(т)(1, з1пт„..., созпт)— с=и — (О, 1, 2, ...,и, О,...,0)=(0,...,О), откуда, умножая соответственно на хы ..., ха„приходим к ра- венству А~', а,з(кпх(тс)х(т,)= — х(0) Ух(1)= 166 Это задача выпуклого программирования, так как функции ~ь 1=1, 2, выпуклы. Из теоремы Вейерштрасса и того обстоятельства, что множество (хам((ы+'(11 (х) <Ц компактно вытекает, что решение задачи (з) существует.
Обозначим его Х~-+ х(г). Применяя теорему Куна †Такке (п. 2.3) (и учитывая, что выполнено условие Слейтера), получим, что существует число Х)0, при котором функция х-~Ы(х, Х):=~с(х)+Щ(х) — 1) имеет минимум в х, т. е. Оенд,.У(х, Х). Ясно, что г,эьО. Из теоремы об очистке (п.
8.2) следует, что существует з(2п+2 точек т1(тз( .,(т„где !х(т;) ! =1, и з чисел аь ..., а„а;)О, Ха~ 1, таких, что (более подробно подобное объяснялось в предыдущем пункте): =х„+ Я (хьз)пй1+хь+ созй1). (1) ь=! Ясно, что з(2п, ибо в точках т~ х(т~) достигает максимума н, значит 2(т~)=0, а полипом х(.) степени и не может иметь больше 2п нулей. Если допустить, что з(2п, то мы присоединим к (тД', 1 точку нуль (а ее, очевидно, нет среди (т;), ибо иначе значение задачи (з) было бы равно Х(0) =О, что абсурдно) и еще быть может, несколько других точек, чтобы получилась система (тД~~1 из 2п разных точек.
Существует полипом х( ) степени а, имеющий точки (тД, ~ своими нулями. Тогда х(0)чьО, ибо нуль полннома степени п с 2п нулями не может быть кратным. Получилось противоречие: с одной стороны х(0)ФО, а с другой (из (1)) х(0)=0. Итак, з=2п и, значит, в каждой точке т~ полипом 1 — х'( ) степени 2п имеет двукратный корень. Полипом х'( ) степени 2п в этих же точках также имеет двукратные корни. Значит, эти полиномы пропорциональны. Приравнивая старшие коэффициенты, приходим к уравнению У( )=па(1 — йз( )).
Интегрируя его, получаем х(1) =з)ппй Доказано, что )х(О).)(пЦх(.)Цсп „,„и. Положим (Т,х)(1)= х(1+т), т~(-п, п). Тогда 1х(т)~ =~ — (Т х)(0)~(пЦ(Т х)( )Цсн а ар=лЦх( )Цсп а а1ь ~> ЗАДАЧИ В задачах 1 — 10 исследовать отображения на дифференцируемость по Фреше и найти производные в случае дифференцируемости. 1. /: Х«1', /(х)=Ах, Х, У вЂ” нормированные пространства, Аан Я(Х, 'г'). 2. ~: Ко-~-)(о, /(х„хо)=(хх„х1+хо), х=(1, 2).
В задачах 3 — 5 Н вЂ” гильбергово пространство. 3. /: Н вЂ” «К, /(х)=(х, х). 4. /: Н-» К, /(х)= ЦхЦ=)~(х, х). 5. /: Н" (0)-«Н, /(к)=х/ЦхЦ. 1 6. у: Я ([О, Ц)-» В, /(х( ))=) хо(1)о(/. о 1 г. [:Я,([О, Ц) В, /(х( ))=~~ (/)Ю)'. о 8. /': С([0, Ц)-»К, /(х( ))=х(0). 9. /: С([0, Ц)-«й, ~(х( ))=хо(1).
10. ~: С([0, Ц)-«й, /(х( ))=з(пи(1). В задачах 11 — 12 указать точки, где функции [: й" — «К не дифференцируемы по Фреше. л 11. ~(х)= гпак ~х;~. 12. /(х)= )„~х,!. 1<1~и С=1 В задачах 13 — 19 найти норму линейного непрерывного функционала х' на пространстве Х. 1 13. Х=С([0, Ц)„(х", х( )) = ~х(/)з(пп/й — х [ — 1. 12/ о ! 14. Х=С([0, Ц), (х", х( ))= — к(0)+ ~х(/)о//. 112 1 1Б. Х = С ([О, Ц), (х', х (. )) = х (0)+ 3 ~ к (/) й — 4х (1). о !6. Х=/„(х", х) =х,/2+хо/4+... +х„/2" +.... 17.
Х=/, (х', х) = (х — хо)/2+(хо — хо)/2о+... +(хо,— ив — х,„)/2" +.... 168 ! 18. Х=Яь([0, 1]), (х', х( ))=1 х(1)з(пп(ггГ. о гж ! 19. Х = Я ([О, Ц), (х', х ( )) = ] х (1) !11 — 2 ~ х (1) !11. о !уг 20. Л: 1а-!-1, Лх=(х,, х, ..., х„, ...), х=(х„хм...), Л'=? В задачах 21 — 28 найти касательные множества Т„"М нли 'Т„-М к множеству М в точке х. 21. М=((х„х,)ен)(''~й.! )х~!'+х1<1), х=(0, 1), Т-,М, Т,'-'М =? 22. М=((х„х,)ей'~~,К~ ]х!+х]<1), х=(0, 0), Т„-М, АМ =? 23. М=((х„х,)яй",х~!(х3), х=(0, 0), Т-М=-? ! 24. М=(х( ) е=- С([0, 1])~ ~з)пх(Г)гИ= — ~ х(1)=иГ, Т-М=? о 25.
М = (х( ) ен С([0, Ц) )з!их(0) =соз х(1) = О), х = ггг/2, 'Т„-М =? 26. М вЂ” множество рациональных чисел, Т;М =? 27. М= [О, 1, —, ..., —, ... ] ~ К, х= О, Т-'М=? 1 ! 28. М= ]О, 1, —, ..., —, ~ с-й, х=О, Т;М=? 29. ху+ 50/х+20(у- ех1г. 30. х' — 'у' — 4х+бу-!. ех1г. 31. Зх'+ 4ху+ у' — 8х — 12у-~-ех1г. .32. х!+хг~+хзг — х,х,+х,— 2х,-~ех1г.
.33. Зх,ха — хг!х~ — х,х, '-~ ех1г. .34. е*к-~-ех1г; х+у= 1. .35. ху'Р-~ех1г; х+у+г=1. :36. хуг-~ех1г; х+у+г=О, х'+у'+г'=1. л л '37. ~х~-~ех(г; ~ х[<1. ;=1 1-! 38. 2х,'+2х,+4х — Зх,-+.ех1г; 8х,— Зх +Зх,<40, 2х — х,+ + х, =3, х, ь О. 39. е" "* — х,— х,-~ех1г; х,+х,<1, х!)О, х!' аО. 40. Зх~ ~— 11х — Зх — ха~ех1г; х,— 7хг+ Зла+7 <О, 5х, +2х, — х, < 2, х, > О. 159 41.
Х2+ху+уз+3)х+у — 2~-1 1п1. 42. Х2+у2+2тах(х, у)-!.1п1. 43. х*+ у2+ 2 У(х — а)2+ (у — Ь)2 -~ 1п1. 44. х2+у2+2а)х+у — 1~-~1п1 (сс)0). 45. Найти расстояние от точкя (41, Ь ~2) до конуса Х2~ )рХ22!1+Ха 46. Вписать в единичный круг треугольник с максимальной взвешенной с положительными весами суммой квадратов сторон. 47. На каждой из сторон заданного треугольника найти по такой точке, чтобы образованный треугольник имел минимальный периметр (задача Шварца). 48. Найти в плоскости такую точку, чтобы сумма расстояний от нее до трех заданных точек была минимальной (задача! Штейнера). 49. Найти минимум линейного функционала в пространстве 12 на границе эллипсоида с длинами осей, монотонно стремящимися к нулю.
Всякая ли точка границы эллнпсоида имеет нормаль, т. е. может служить точкой экстремума линейного функционала? 50. Разделить число 8 на две части так, чтобы произведение их произведения на разность было максимально (задача Тар'тальи). 51. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма длин его катетов равна заданному числу (задача Ферма). (Этой задачей Ферма иллюстрировал свой метод нахождения минимумов — теорему Ферма — в 1638 г.) 52.
На стороне ВС треугольника АВС найти точку Е так,. чтобы параллелограмм АБЕР, у которого точки В и г лежат соответственно на сторонах АВ и АС, имел наибольшую площадь (задача Евклида). (Это единственная задача на экстремум в «Началах> Евклида.) 53. Задача о полиноме Лежандра второй степени: 1 1 (12+ х!1 + х2)2 Ж - 1 1. — ! 54. Среди всех дискретных случайных величин, принимающих п значений, найти случайную величину с наибольшей энтропией. (Энтропиеб совокупности положительных чисел рь ... ..., р, в сумме равных единице, называется число л Н = — 11 р, 1п р1) 55.
Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса, найти цилиндр с максимальным объемом (задача Кеплера). 170 (Эта задача была поставлена и решена Кеплером геометрмче<ки в «Стереометрии винных бочек», 1615 г.) 56. Вписать в единичный шар пространства $1" цилиндр наи:большего объема' (обобщенная задача Кеплера). 57. Вписать в единичный шар пространства Й" конус наибольшего объема». 58. Среди всех'п-угольников, имеющих заданный периметр, дгайти и-угольник наибольшей площади (задача Зенодора). 59. Вписать в круг треугольник с максимальной суммой .квадратов сторон. 60. Даны угол и точка внутри него.
Через эту точку провестн отрезок, имеющий концы на сторонах угла, так, чтобы полученный треугольник имел наименьшую площадь. 61. В задаче 60 минимизировать периметр треугольника. 62. Найти наибольшую площадь четырехугольника с заданными сторонами. 63. Среди сегментов шаров, имеющих заданную площадь боковой поверхности, найти сегмент наибольшего объема (задача .Архимеда). 64. На данной прямой найти такую точку С, чтобы сумма .пасстояний от С до точек А и В была минимальной (задача Герона). 65. Среди всех тетраэдров с данными основанием и высотой найти тетраэдр с наименьшей боковой поверхностью.
66. Среди всех тетраэдров, имеющих заданную площадь по.верхности, найти тетраэдр наибольшего объема. 67. На плоскости даны три точки: хь хз и хз. Найти такую -точку хо, чтобы сумма квадратов расстояний от хз до хь хь хз была минимальной. 68. В пространстве К" задано Ф точек'хь ..., х» и )ч' положительных чисел лть ..., пзл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
