Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Т,<4 )ах;и=(/Т,— — !и)/4 еБ аЬяп!и, 3ып = — Тп/48; О(!~~Та(2 2 7'и ) 4 =',~ хпип = Тп/2 — 1 — (! — .'Та/2) /4, Та/2 — 2 < ! < Та(2+ 2, Т вЂ” /, Т,/2+ 2 < ! < Т„ — О</<Т,/2, хп$!и ей аЬзт!п, хаааа = ) / Т 7 /2 < а < Т хвах еБ аЬзтахю 3аах= а а/ '- а = Тп+ Тп(4. 114. Допустимых экстремалей нет. 3;, = — оо (х(!)= — — / ~47(х( ), Т)=Т вЂ” ТЧ2- — оо при Т вЂ” '+ о или х(/)= =х ы(/) — допустимая экстремаль из ответа к задаче 112).
3 .„= =+по (х(/)= — / ~п7(х( ), Т)=Т+Т(2-а+по при Т-а-+со). 415. Допустимых экстремалей нет. 3 ы = — оо х(/) = 0 <! <Т/2, Т . 2, 9 ет(х( ), Т)=Т вЂ” Т /4 или х(!)= = х ы (г) — допустимая экстремаль из ответа к задаче 113 =т.7 (х( ), — О</<Т/2,. T) — а — оо при Т -а + оо . 3„„„= + оо х(!) = азу(х( ), Т)паТ+Та(4а + со,ири Т-а,+оо, 116. /е'-' ~ аЬяпах, .3 ы= — оо. 117. 3! — 3!а/2еиаЬяп!и, 3 ы=З, 3,„=+оо ( х„(!)= — (2а+ 1)з!ип(2л+ 1) !).,'118. б/ — б/а еи аЬяп!и, 3 я —— =12, 3„„„=+оо (хп(!)=(и/2)(2а+1)з!ип(2и+1)!). 119.
5!а/8— — 15!/8+ 11е=',аЬзт1п, 3оы = 15/8, 3„= + оо. 120. — 20!а/3+ +14/и — 8!+! я=аЬзппп, 3 м=8, 3,„=+по. 121. х(/)ив 3 (Т= = 1(3) ефЬзт!п, „"3 .,= + оо; имеется еще одна допустимая экс- -тремаль33„'(! — 1)' (Т= 1). 122. х(!) ю! (7а= 1(3) я аЬзт!и, 3,„= = +оо; !имеется евое одна допустимая экстремаль !а (Т= 1). 123. 2(/+з!п!)/(Зп) ея аЬзт!п, 3 .,=+оо. 124.
(2/ж) з!п ! ев аЬзппи, .3 =+оо. 125. соз! — 1еиаЬзт!п, 3 =+по. 126. 3 .,=+со,. 2(е' — е/ — 1)((е' — 4е+1)еи'аЬзт!п. 127. /яаЬзппп, 3,„=+по (решение см. в (АГТ, 7зз 6.151). 128. 1и(/+1) — ! еиаЬзт!п, 3„„„= =+оо. 129. 1//+1/2еиаЬзт!п, 3 =+оо.
130. ! — е!и/ — 1 е-: ~ аЬзппп, 3о,„= -!- по, 131. 3о,„= + оо, !+ (! — е) 1и / — 1 ен аЬяп !и. 132. (1п(!+1))/1и2 = — аЬзт!и, '3,„+ оо. 133. 4/! — 1ен аЬзт!и, 3,,„=+оо. 134. (!п(З(/ — 1)/(/+1)))/!и(3(2) ~аЬзппп, 3 „=+по. 191 135, /з ~ аЬппп, 8,„= + оо. 136. е' ен аЬяп!и, Ю,„= + оо 137. сЛ/ы аЬяп!и, 5,„=- + оо. 138. а) — !Л Т,-~ к = — 0 ~ аЬзгп!п 5 ы=-0; а= — йТ,=~СсЛ/енаЬзгп!и УС~ Й, З,ч,=О; а( ( — й Т„=~х ==0 ~!оспин, З,„ы = — оо (х„=псЛ/); 8,„= -1- оо Уа (решение см, в ~АГТ, № 5.5!). 139.
!п/+ 1 ~аЬппп, 5,„= = -1-оо. 140. хг=у 4Р/3, х,=ЗГ!-!-1. 141. 2!п(!+1). 142. — еЯез-!- .+1). 143. х= к'/+1енаЬзгп!и. 5„,„= +оо. Указание. При доказательстве минимальности можно воспользоваться тем, что. (хх)'= ! — — ), 144. хг=(/ — 1)' ~ !осех!г, х,=(/ — 2)'/4 ен!осш!и !от 2! (сильный); Зоы= — оо, 5~~.~=+ оо. 145. 21и(!+1) е=- аЬзш!п,.
Я = +оо. 146. !з — !~аЬзгп!и, Ю,„=+оо. 147. ф2сЛ~2!-1- -~-зЫ/2!)/(к2 сЛ к2+зЛ 'к 2) ен аЬзш!и, 8 „= + оо. 148. /сЛ!— — зЛ | (зЛ 1+ сЛ 1)/сЛ 1 я аЬзппп, 8,„= + оо. 149. (/ — 1) сЛ Г ен ен аЬягпп, 5 ., = + оо. 150. е' е= аЬзгп ! и, о',„= + оо (решение см. в !АГТ, № 5.106!). 151.
Допустимых экстремалей нет. 8 ы = =1(х„=зЫ/зЛТ,„., Т„=п), 5,„=+со. 152. х=2зЛ ТсЛ/, Т— единственное решение уравнения зЛ 2Т+ Т = 1. 153. х= — 2 сЛ Т зЛ ! Т вЂ” единственное решение уравнения зй 2Т= Т+ 1. 154. 5,„= = -1-оо, 5 ы= — оо(х„(!)г:в), х=соз/ — 14~ !осех!г. 155. Ю,„= = -1-оо, ($сЛ//сЛТ„) ен аЬгп!п,~5 ы =5зй Т,.
156. 5=0 =~~х(/) =О' (Т) 0 — любое) ~ аЬзш!п; $ че 0 ~ допустимых экстремалей нет. 5 ы=О (х(!)=ЕсЛ//сЛТ +б(х( ), Т)=~зйТ-~0 при Т-~ 0)е (3 = -1-оо (х(/)=с ~оУ(х( ), Т) =ктТ-э+оо при Т-+ со). 157. Я!»(сйТ,-+х=$сЛТ/сЛТ, енаЬппп; !$!)с!ЬТ,;х = ~ы~р ~ —, о(/( сь г зь г х г= аЬзппи, где т отыскивается из уравнения !З!=сйт — т+Т,. х=К вЂ” (! — Т,)з!8п$знаЬяпах. 158 5=0 ~х(Г)= — 0 (Т.=»О — любое)енаЬзгп!и; $-.ФО ~допустимых экстремалей нет, 5,по=О, 8 .о= + оо (х(Г) тай +еУ(х( ) Т)= =й'Т-+О при Т вЂ” 0 и ог(х( ), Т)-++со при Т- +оо). 159. ЯзЛ!) !зЬ Т, е= аЬзгп!и, 5 а=К'с!ЛТ„К„,„=+ оо.
160. $= =0 =*,'ьх(/) = — 0 (Т~ 0 — любое) я аЬзгп!и; $~ 0=~ допустимых экстремалей нет. 5 ы=ф, 8,„=--1-оо (х(Г)=($зЛ/)/зЛ Т ~оУ(х( ), Т)= =Вес!ЛТ- К' при Т +оо и оУ(х( ), Т)- +оо при Т вЂ” +0). !61. $! ) Т, ~ допустимых функций нет. Я! ( й Т,:+ +5зЛ//зЛТ,еваЬяп!п, о ы=$'с!ЛТ,, !ЛТ,(!)!$!(Т, ~х„,ы= !(зЛ//сЛт)з!дп К, 0(!(тэ (т — корень уравнения Т,+йт— й+(! — Тз)з!яи $ т (!(» То — т= !$!), хпеп о= аЬзппп коцо — — !$!+ !$!'/3 — й'т/3, ' х,„= ~ $+ (Тд — /) з! 5п ф, (То +~~(2»( !»( То, 192 =0 ~х(/)=О (Т) 0 — любое) енаЬяп1п; $ФО~ допустимых экс- тремалей нет.
$!(1-) 5 ы=$', х=$зЬ!/зЬТ ~У(х( ), Т)= =$'с!ЬТ- ф' прн Т-э+ оо; $!) 1~5 ы= !$!'/3+ Я! — 1/3 х(/)=х,„(/) нз ответа к задаче 161 фо7(х( ), Т) — 5 ы прн Т-+- -~"+ оо. 5,„= + оо (х(/)=~1/Т=+о7(х( ), Т)=-Р/Т+~'Т/3 — + оо прн Т вЂ” + оо). 163. /е' ен аЬяп1п, 5 = + оо.. ! 64.
сиз /+з!п / ~ ! !, 0(/<т, ~ аЬяп1п, 5,„= + оо. 166. х =- /- [, (т,—- [ — соз//з!пт, т(/(л, решение уравненият!нт= — 1), х мы аЬяп!и, 5 ы= — т'/3, 5,„= =л. 166. з!п/ ен аЬяп1п, 5 ы =О, 5ое,=- + оо. 167. х= 10< /(т, — соз(/ — Зл/4)/з!и(т — Зл/4), О</<Зл/2 — т, (т — коЗл/2 — !, Зл/2 — т / ( Зл/2, рень уравнениячг Зл/2= 2т+ 2агс!9 т — ') ен аЬяп1п, 5 ы = — 2тз/3„ 5,„=3л/2. !168. Т,(л/2 ах=Они аЬзги!п, 5 ы=О; Т,= =л/2 рСз(п/яаЬзгп!п У!С!<1, 5 ы=О; Т,)л/2 ох= О</<т, ~ ) )/1+ .а соз (à — Т,), т ( / < Т, х ен аЬзпн п (т — коРень УРав- нення тс!6(То — т)=1, т~(То л/2 Та))~ 5поп= т'/3 5тах=То.
169. Т,<л ~ хжОенаЬзппи, 5 ы=О; Т,=л рСяп/~аЬзгп!пг У!С!(1, 5 ы=О; 0~(/(т, То) л ~х= ~ )/1-!-тз сиз(/ — Т,/2), т(/(҄— т, х ~ аЬзт!п;. То — /, ТΠ— а г(т„ (т — корень уравнения т!9(Т,/2 — т)=1, лежащий на отрезке !Т„/2— з — л/2, Т,/2)); 5 ы= — — т', 5 .,= Т, ! х„(/)=~э!риз!п2ллтдт). з о 170. (/ — л/4+1)соз/енаЬзгиах, 5 ы=..— оо. 171.
/з!п/яаЬзгп(п, 5 „=+оо. 172. Т,(л тЯ вЂ” Т,созТ,)згп//з!пТ,+/соз/енаЬяп!и; Т,= л ~ прн $= — л /соз/+СяпггнаЬзш!п тСенй; Т,)л фдо- пустнмые экстремалн ф 1осех1г и 5 ы = — оо; 5,„= + оо. 173.$( — 4/л)/з(п/+Сз(и/ УСя К. 174. х= — ч-1ен аЬяп(и, 5 ы= = О, 5,„= + оо. Допустимыми экстремалямн являются также функ- цнн х(/)=л=$/2созлл/, /ген Х. 176. ~-3/2созл/енаЬзги!и, 5 ы= = лз, 5„,„= + оо. /Допустнмымн экстремалямн являются также функции ~Д/2соз'л/г/,И==2, 3, ....
176. Допустимые экстремалн: х = ~ !/2з!п(1/2+/г) л/, /г)ен Х, х,~ аЬяп!и. 177. Допустимые экстремалн: х„=~ !/2з!ийл/, /г=~!1, -Ь2, ..., х, ~ аЬзгшп, 5,ь=л', 5,„=+ оо 1(решенне см. в !АГТ, № 6.17!). 178. х= = !/2 — (/ — 1)з 179 5пох=+ оо, !/ 1 — /з-1-Г ЕБ аЬЯп!п. 180. 5тдх= = + оо, 1'2 — (/ — 1)'~ аЬзгп!п (Т=1 — )/2/6).
181. х=)/1 — /т+2/ Т=2. 182. х=Я2, Т=2'",. 183. У1 — /з нааЬяпах, — ~1 — /зец 193 ~ аЬзш1п. 184. Решение. Лагранжиан: Е= Х,х+Л У1+ха. Уравнение Эйлера: — — + Х, =О. Х. =0 ~ х = сопз1. Хх Тогда из условий на концах и изопериметрического условия следует, что х=0„1=2Т„. Ь =1=~ =1+С,=)~х=— к 1,~ ~~ ~ г' к' — (1+с~)~ Общее решение: (1+С~)а+ (х+Са)а=Хм Из условий на концах следует, что С1=0. При 2Та<1<пТа имеется единственная (с точностью до знака) экстремаль, являющаяся дугой длины 1 окружности, проходящей через точки (+.То, 0), с центром на оси х. При 1<2Та и 1>пТа экстремалей нет.
185, 1<2Та — экстремалей нет, 1= =2Та=ьй=— О, 1>2Та--ах=~ С(сЬ(1/С) — сЬ(Та/С)), где коэффилиент С>0 определяется единственным образом из уравнения 2С зЬ(Та/С) =1. 186. Экстремали в задаче — цепные линии вида СсЬ(1/С). Пусть а определяется из уравнений а=зЬт, т=с(Ьт. Тогда если ~Ц<аТ„то экстремали нет, ~Д е цТа — -ь. экстремаль одна, ~$~>аТ,=ь- имеются две экстремали. 187. Экстремали в задаче — цепные линии х=СсЬ(1+Р)/С. Константа Р,в задаче равна нулю, а константа С должна быть определена из уравнения С сЬ Та/С=К. Если теперь а определить из системы уравнений т=с(Ьт, а=зЬт то при ~$/Та~>а имеются две допустимые экстремали; при ~ЦТа~ =а имеется одна допустимая экстремаль; при ЦТа~ <а допустимых экстремалей нет.
Подробное исследование задачи содержится в (11, с. 427]. 188. Экстремаль записывается в параметрической форме следующим образом: а~ ай х = — (1 — созт), 1= — (т — зйп т)+с. 2 . 2 'Константы а и с однозначно отыскиваются из начальных условий. Допустимая экстремаль может быть включена в поле экстремалей, покрывающее полосу 1а<1<1ь х>0; интегрант квазирегулярен. Основная формула Вейерштрасса приводит к тому, что допустимая экстремаль доставляет аЬзш1п, 5 „=+со. 189. Экстремали, удовлетворяющие начальному условию х(0) = =О, имеют вид х(1, а) =а1+ (1-газ)1а/46.
Уравнение огибающей этого семейства имеет вид х= — Ь+1з/(4Ь) (в баллистике эта кривая носит наименование кривой безопасности). Если точка (Та, $) лежит вне кривой безопасности, допустимой экстремали нет; если эта точка лежит на кривой безопасности, допустимая экстремаль единственна; под кривой безопасности имеются две допустимые экстремали. При этом верхняя (навесная) экстремаль имеет пересечение с огибающей, т. е.
сопряженную точку внутри (О, Та), и, значит, не дает сильного экстремума. Нижняя дает сильный минимум. Вопрос об аЬзппп требует дополнительного исследования. 190. Я,„=+оо, х=(х,, х,)=(сЬ(! — 1)/сЬ1. сЬ(! — 1)/сЬ1)енаЬзш!п. 191. 5 = + оо, 'х = (х„х,) =(гйп /, — з!и /) бн аЬзппп. 192. 3 а„= =+ оо, 5,"„= — оо. Допустимая экстремалоя х=(З!а — 2/, 6!а — 4!)- 193. х,= — 6/а+6!, ха=3/а — 2! — допустимая экстремаль, 5 ы= = — оо, 3 а„=, оо. 194, х,=х,шОф!осех!г, 5 ) = — оо, 5, = = + оо. У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой Боголюбова.
!95. ха=(х~), хо)=(З!а — 2!, 3!а — 6/), ' хо~=(х)„хр) = ( — 3!о-~-4!, — 3!о) — допустимые экстремали; 8 )„= — оо, 5 „= +оо. 196. Единственная допустимая экстремалоя х=з!п!, у=соя! (решение см. в [АГТ, № 8.23]). 197. Я](! ~х— = $, ]~!) 1 С , 0(!(1/]С], СсЬ(! — 1/!С!), 1/)С! (/( 1, где С определяется из уравнения СсЬ(1 — 1/]С]) =$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
