Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найти такую точку хо, чтобы взвешенная сумма с весами птг квадратов расстояний от хз до .хь ..., хл была наименьшей. 69. Решить задачу 68 при условии, что искомая точка хо принадлежит единичному шару. 70. Решить задачу 68 при условии, что искомая точка хз лежит на единичной сфере. 71. (Р) Найти расстояние от точки до эллипса.
Сколько нормалей можно провести из точки к эллипсу (задача Аполлония)? 72. Решить задачу Аполлония для параболы. 73. Найти расстояние от точки до гиперплоскости в гильбертовом пространстве. г4.им* р ~ ** г*г ~а» р з * В задачах ба и 57 возмох«ны различные формализации, связанные с разным пониманием терминов «нилиндр» и «конус». У нас далее ~илиндр в й" — произведение (л — 1)-мерного шара на ортогональныя отрезок, конус в К" — выпуклая оболочка (л — 1)-мерного шара и ортогонального ему отрезка.
171 75. Найти минимум линейного функционала 4 1(х)= ~~ аюх, ю=! на единичном шаре. 76. В эллипс хю/аз+у'ЮЬю= 1 вписать прямоугольник на- ибольшей площади со сторонами, параллельными осям коор- динат, В задачах 77 — 79 проверить, конечно ли численное зна- чение задачи, и исследовать заданные точки на оптимальность. 77. Хю+хю+х,-ю зпр; — 2х,+х,+х =4, — х,+2х,— 'х,= — 1, хю) О, ю'=1, 2, 3, хо=(0, 1, 3). 78. хю+4хю — 7хз азор; 2х,— 2хю+14хз=2 х — 2х +10х,=О, хю) О, ю'= 1, 2, 3, х,=(2, 1, 0). 79. х,+Зх,— х,— хю — хю — ~зир; х,— х,+х,+Зхю — Зхю=1,, Хю + Хю — Хю+ Хю+ Хю = 1, х,+х,+хю+5хю — х,=З, хю)О» ю=1., 5 х, = (1, 1, 1, О, 0). 80.
2хю+х,+Зхю+5Х4-~ яюр; 2х,+Зх,+х,+2х4(30, 4х,+2х,+ха+ 2х4(40„ х,+2Х,+Зх,+х,(25„ Решить задачи линейного программирования 81 — 85' симп- лекс-методом, используя в качестве начальной крайней точки заданную точку хю. 81. х,— 2х, +хю-ю.зпр; х,+4х,+ха=5, х,— 2х,— х,= — 1, хю) О, ю'=1, 2, 3, хо —— (1, 1, 0). 82. 2х,+х,+Зх,+х — ю зпр; х,+2х,+5х,— х = 4, Хю Хю — Хю+2Х4= 1, хю (О О 1 1) 83.
х,+хю+Хю+х4+хю-+ зпр; 2х,+Зх +5х + 7х +9хю= 19„ х,— х, + х +2х,=2,. х, ) О, ю' = 1, ..., 5, хю = (О О. 1 2 0). 84. — 2х, + х, + х,— хю+ 4х, + х, — зпр; Зх! + х, + 2х + бх, + 9х, + Зх, = 15, х + 2х — х + 2х4+ Зхю + хю = 5, х ) О, ю'= 1, ..., 6, х =(1, О, О, О, О, 4).
172 114. ) (хо — х)с(Г-о ех(г; ~х~(1, х(0)=0. т 115. ) (х' — х) М -!- ех1г; ! х ~ ~ 1, х (0) = О, х (Т) = 0. о ! 116. ) (хо — хо) ео' Ф -~. ех1г; х (0) = О, х(1) = е. о ! ! 117. ~ х' й — ~ ех(г; ~ х й = 1, х (О) = О. о о ! ! 118. ) хой-ч-ех1г; ~хй=1, х(0)=х(1)=0.
о ! ! ~~в. ) аа мп ) ~*а=о, *(о>-!. ! ! ! 129. ) хоай-!-ех1г; ) хс(1= ~Гхг(1=0, х(0)=1. о о о т т 121. ) хосЫ-о ех(г; ) хй=1, х(0)=З. о о т т 122. ~хой — ! ех1г;~хШ= —, х(Т)=1. ! з' о о !! Л 123. ) хой-~ех1г; ) хяпГШ=1, х(0)=0. о о 124. ) хой-ьех1г; ) хо!п(сЫ=1, х(0)=х(я)=0. а о к !! !! 12$. ~хоФ-о ех1г; ( хсовГШ= — ", ~хз(пгй= — 2, х(0)=0. 2 о о о ! ! 126.
~хай-! ех1г; ) хе'И=1, х(0)=0. о о 127. ~ГохоФ-о ех1г; ~1хй= —, х(1)=1, х(2)=2. ! ! а — ! 128. ) (1+1)хосЫ+2х(0)[х(е — 1)+1]-!-ех(г.. о 129. ~ Гахан — 2х(1)+хо(2)-~ех1г. 175 130. ) (!хз+2х)й-«ех!г; х(1)=0, 1 » 331. ) (!хз+2х)й-«ех!г; х(1)=х(е)=0. 1 332. ) (1+!)хзй-«ех!г; х(0)=0, х(1)=1. о '133.
) Гзхзй-«ех(г; х(1)=З, х(2)=!. 1 з 134. ) (!з — 1)х'й-».ек1г; х(2)=0, х(З)=1. ! 335. ~ (!зхз+12хз) й -» ех1г; х(0)=0, х(1)=1 (пример Гильберта) о ! 436. 1(хз+Зхз)ез»й-«ех1г; х(0)=1, х(1)=е. о 1 137. ) (х'+хз)й — 2х(1)з)з!-«ех1г. т, 738. ) (х'+х')й+ахз(То) — «ек!г. о 139. ') 2х(!х+ х) й+ Зх'(1) — хз (е) — 4х(е) -~ ех!г.
1 В задачах Больна 140 — 142 найти допустимые экстремалн. 140. ) 4х'х'й+х'(О) — 8х(З)-» ех1г. о 1 14!. ') е'х'й+ 4е*<о>+ 32е — мп -«ех1г. о 1 142. ~ е'"'(х'+ 2хз) й+ 2х (1) (х (О) + 1) -«ех!г. 1 143. ~ х'х'й-«ех1г; х(0)=1, х(-1)=У2. згз 144. ) —.й-»-ех1г; х(0)=1, х ~ — -~ = —. г »'4 1 х» 3, 9 о 176 160 161 162 163 164 166 166 !67 168 169 170 171 172 173 174 т ') (х'+ х') й -я ех1г; х (0) = О, х (Т) = $.
о т, ~ (х'+хо)й — ех1г; ~х~(1, х(0)=0, х(Т,) =Е, о т ') (хо+к')й-1-ех1г; (х~(1, х(0)=0, х(Т)=$. о ! 1 (х'+х')й- ех1г; ) хе1й=~ +, х(0)=0, х(1)=е а о я,'4 ') (х' — ко) й -~ ех1г; х (0) = 1. о '1(хо — хо)й-яех1г; ~х~(1, х(0)=0, о я!2 (х' — х') й -~ ех1г; х (0) = О, х ( — 1 = 1. 2 / о Эя22 (хо — х')й-4-ех(г; ~х~(1, х(0)=х ~ — ) =0; а тф ') (хо — хо)й-~.ех1г; ~х)(1, х(0)=0. о т, ') (х' — х')й- ех1г; ~х~(1, к(0)=х(Т,)=0. о я!2 (хо — хо+4хо)п1)й-яех1г; хl — "1 =О. '12/ Я!4 я'2 я (х' — хо+ 4ксов/)й-яех1г; х(0)=0, к !' — 1= —.
2 / 2 о т, (хо — х' — 4хо)п/)й- ех1г; х(0)=0, х(То)=2„ а ') (х' — хо)й-~ех(г; '1 ксео/й=1, х(0)=х(22)=0. о о 1 1 х'й-о.ех1г; ) х'й=1. о 178 175. 1 хо оЫ - ех1г; ~ хо Ш = 1, ~ х о(г = О. о о о ! ! 175. ~ хо Ж -~ ех(г; Г) хо Ф = 1, х(0) = О. о 6 ! ! 177. )хо!11 ех(г; ) «ой=1, х(0)=х(1)=0. о о 178. ~ — !11-~ех1г; х(0)= 1. « 179. ~ — «о((-о ех1г1 х(0)=х(1)=1 (х)0). " 1/1+х' « о 180. ~ — "оИ-о-ех1г! х(О)=1, 2Т+х(Т)=2 (х)0). « , о 181. ~ — «о(г'-о ех1г1 х(О)=1, Т вЂ” х(Т) =1. " У1+ «о « о т 182. ) т' 1+хо!)Ш-~ех(г; х(0)=0, Т'х(Т)=1.
о ! ! 183. ~хг(г- ех1г; ~ )т 1+хо!И= —, х(1)=0. т, т, 184. (Р) ) х г(1-о- ех1г; '1 Ф 1+ хо 11! =1, х( — Т,) = х (Т,) = 0 — т„ — т, (задача Дидоны). т, Т~ 185. ) х1' 1+хо!(!-о ех1г; ~ т' 1+хо!(1=1, х( — Т,)= — т, -'т. = х(Т,) =О. т «в 186. ~ х 1' 1+ х' 111 -!. ех(г; х (То) = $. о т.
187. 1 х )т 1+хой-!-ех(г; х(Т,)=х( — То)=К (задача о ми-'г, огимальной поверхности вращения). 188. ~ ~" г(1-+ех1г1 х(го)=хо, х(1,)=х, (хо>0, х!)0) " 'т'1+ «' т' « $е (задача о брахистохроне). 179 т. 189. ) )~ х-1-!г 'г' 1+х'й- 1п1; х(0)=0, х(То)=Р, о ! / хо -1- хзз ~во. 1( — '' ~-,,) а ы.; *,~о~-,~о) 2 о о)2 191. ~ (х~ + хо+ 2хгхо) й -~ ех1г; х, (0) = хо (0) = О, х, ~ — ) =1 о хо ( — ) = — 1. 1 1 1 192.
~ х,х й-~-ех1г; '1 х,й= ) х,й=О,х,(0)=х,(0)=О,х,(1)= о б о =1, х,(1)=2. ! 1 1 193. ) х,х„й-ьех1г; ') х,й=1, хг(0)=хг(1)=0; ) хой=О„ о о о хо(0)=0, к,(1)=1. ! 194. ) (хх,+хх)й+х,(0)х,(1)+х,(1)х,(0)-~ех1г. о о ! !95. ') (хг+хо) й-о ех1г; ) х хой=.О, х,(0)=х,(0)=0, х (1)= о о =1, хо(1)= — 3. 1 196. ~ (хо+уз)~й-~.ех(г; ху — ух= 1, х(0) =О, х(1) =з(п 1, у(0)= о =1, у(1)=соз1. 1 !97. ~( — "+ !х!) й-~)п1, х(1)=$.
2 о 198. ~(ху — ух) й-~зыр; х(0)=х(Т,), у(0)=у(Т,), хо+уз(! о тв 199. (Р) 1 —.-о 1п1; х)0, х(0)=0, х(Т)=$ (аэродинами,) !+ хо а ческая задача Ньютона). 1 200. ~ хой -з- ех1г; к (1) = х (0) = О, х (1) = 1. о ! 201. ~ хой-о ех!г; х(0)=х(1)=0, х(0)=1. о 180 261 ~хЧФ-о ех1г; $«61=1, «(1) х(0)=(1. о о 1 о 252.
~ хогН вЂ” ~ ех1г; ~ хй = 1, о о х(0)=х(0)=х(1)=0. 1 1 253. 1, хо61-~ех1г; ~хй= 1, о о х(0)=х(0)=х(1)=х(1)=0. т 254. Т- ех(г; ~ кой=1, х(0)=х(0)=0, х(Т)=1. о т 255. Т-эех1г; ') кой=1. о х(0)=х(0]=х(Т)=0, х(Т)=1. 1 256. х'(1)-~ех1г; ~хЧ1=-4, х(0)=х(0)=х(1)=0 о ! 257. Г( хЧ1-~ех1г; х(0)=х(0)=х(0), х(1)=1. 4 о 1., 258.
~ хЧ1-о. ех(г; о х(0)=х(0)=х(0)=0, х(1)=1. 1 259. ~«ой-о ех1г; о х (0)=х(0)=х(0)=х(1)=0, х(1)= 1. 1 260. ~х'й-+ ех1г; о х(0)=х(0)=х(0) =х(1)=х[1)=0, х(1)=1. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 1. Т'(х)1е)=Ай. 2. Т"'(х)[Н1=АЙ, ГА=( ).
3. 1'(х)Щ= =2(х, Ь). 4. Т'(х)~И1=(х, й)/ЦхЦ (решение см. в (АГТ, М 1.71). б. Т' (х) Рг1= й/ЦхЦ вЂ” х (х, й)Д$хЦ'. 6. Т'(х(.)) (Ь( )1= 3$ ЬЯхо(Г)с6. о 185 1 1 7. /'(х( ))[Ь(.)]=6Д~хл(/)4/)'Д'Ь(/)х(/)й. 8. /'(х (.)) [Ь (.)1 = о о = И(0). 9. /'(х( ))[[й( )] = 2х(1) Й (1). 1О. /'(х( ))'[Ь ( )] = =Ь(1)созх(1). 11.
(х$ $х, ! = $хз$ для некоторых /чв/). 12. (х= (х„...,х„) $х,... х„=О). 13. 1+2/и. 14. 3/2. 15. 8 (решение см. в [АГТ, №1.30]). 16. 1/$/3. 17. У2/$/3. 18. 1/$/2 (решение см. в [АГТ, №1.36]). 19. ~'5/2. 20. Л:/,-~/„Л у=(0, у„у„" ), у=(у„у„...). 2!. Т„-М=(0), Т;М=$$'. 22. Т;М=$$., х $$, о 1 ТХМ=$$о~,К+. 23. (0). 24. Т„-М=(х( ) яС([0,'!])~ ~х (/) соз х о х яЫ=О) (решение см. в [АГТ, №1.49]). 25.
(Ь( )~С([0,1]) $Ь(0)=Ь(1)=0). 26. $$. 27. $$~ (решение см. в [АГТ, №1.52]). 28. (0). 29. (5,2)я!осгп)п, 8 ы= — оо, Л .,=+со. 30. 5 ы= = — оо, 8 о = + оо, (2, 3) ц'. !осек!г. 31. 3 ы = — оо, 5 о„= + оо, (8, — 10)9Г!осек(т. 32. ( — 2/3, — 1/3, 1) онаЬзпип, 8 ы= — 4/3, олово=+оо. ЗЗ.
(1, 1)ен1осшах, о~~=+оо, Я~~„= — оо, (0,0), (О, 3), (3, 0) ц':!осек!г. 34. (1/2, 1/2)еи аЬяпах, 3 =е'~о, 5 ы=О не достигается. 35. (1/6, 1/3, 1/2) ен 1осшах, (/, О, 1 — /) еи 1осгпах У/)1 н /(О, (/,0,1 — /)~1осш!п УО(/(1, Я =+оо, зло',= — оо. 36 ((1/$/6, 1/~6 — 2/У6). (1/$/6, — 2/У6, 1/У6) ( — 2/г' 6, 1/$/6, 1/Уб)) ~ аЬяп(п, (( — 1/У6,— 1/к'6, 2/76) ( — 1/$/6 2/$"6, — 1/У6), (2 Уб, — 1/$~6, — 1ф 6)) енаЬяпах, 3 = — 8 ы= =1/(3'$/6).37.(0,...,0) наЬ !п, о ы=О, ( а 1г4,...,~а„-ним) енаЬяпах, о =Уа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
