Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 34
Текст из файла (страница 34)
38. ( — 2,0,7)енаЬяп!п, 8 „=+оо(х„= = ( — и, О, 2п+ 3)). 39. (О, 1) ен аЬзшш, (1, О) ен аЬяпах. 40. (О, 1, 0) ~ енаЬзш!п, о =+оо. 41. (1, 1)ааЬзш1п.,"42. ( — 1/2, — 1/2)я яаЬзшш. 43. а'+Ьо<1+(а,*Ь)яаЬзш!п; а'+Ьо>1 ~(а/Уа'+Ь', Ь/у'ао-$-Ьо) ни аЬзш1п.'144. 0'(а( 1/2 =~(а, а) еи аЬзш!п; а) 1/2 +(1/2, !/2) ежаЬзш)п. 45.
6 =5о+Уф~~+$3~(0-~(0, О, 0) ыаЬяп!п; ~)0 р(ЩУ2($]+Я), Я /У2(й]+фа), 6/~2)~ аЬяп)п. 46. Если возможно построение треугольника с длинами сторон т,ть тото тото и аь аз — углы между сторонами с длинами т1то, тот1 и т|т„тото соответственно, то угол между векторами Х, и е=(1, О) (вершины треугольника Яь йь е) равен и — аь а угол между хз и е равен и — аь Если построение невозможно, то х1 — — хо= — е или 21= — е, Хз=е. 47.
В остроугольном треугольнике искомые точки — основания высот. В прямоугольном и тупоугольном треугольниках треугольник минимального периметра вырождается в высоту, проведенную к большей стороне. 48. Если все углы треугольника меньше 120', то решением задачи является точка, нз которой все стороны треугольника видны под углом 120' (точка Торричелли); если один из углов треугольника больше или равен 120', то решение задачи совпадает с вершиной этого угла (решение см.
в [АГТ № 4.12]). 49. Точка х с координатами х„= — адЬ~д/1]( ~ч~р пЯ доставля д=! абсолютный минимум функционалу, Вмы= — ~ч~з пЯ, а д-! нормали возможны лишь в подпростраистве А-!/д, где А:(хд)-!- -э-(хд/ЬД (решение см. в [АГТ, № 4.7]). 50. 4~-4/13 (решение см.
в [АГТ № 2.21]). 51. Равнобедренный треугольник. 52. Точка Š— середина [ВС] (решение см. в [АТФ, с. 31]). 53. (э— — 1/ЗепаЬзшдп. 54. р=(р!, ..., р )ыаЬзшах, р!= ... =р~=1/и 55. /д=2/[/3. 56. Радиус основания равен ((и — 1)/и) пд. 57. Высота конуса равна 1 + 1/л.
58. Правильный многоугольник. 59, Правильный треугольник. 60. Искомая прямая обладает тем свойством, что ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делится заданной точкой пополам (решение см. в [АГТ, № 2. 45]). 61. Надо провести окружность через точку (большего радиуса из двух возможных), касающуюся сторон угла, и затем провести отрезок, касающийся этой окружности (решение см.
в [АГТ, № 2.46]). 62. Плошадь четырехугольника, вписанного в круг. 63. Искомый шаровой сегмент — полушар (решение см. в [АГТ, № 2.48]). 64. Если точки лежат по разные стороны от прямой, то искомая точка есть пересечение прямон АВ с данной. Пусть точки лежат по одну сторону от прямой. Отразим одну из них, например точку А, симметрично относительно заданной прямой.
Получим точку А'. Пересечение прямой А'В с заданной и есть искомая точка С. 65. Вершина тетраэдра должна проектироваться в центр круга, вписанного в основание. 66. Правильный тетраэдр. 87. х,=(х +х, + х,)/3 — центр тяжести треугольника х, х, х,. и 68. х, = Д яд! х!) / '] ид! — центр масс. 69. Обозначим х = д=д! !=! =ДГлддх!)/'~ пд!.
Если [х[(1, тох,=х; если [х[) 1, то д=! !=! х,=х/[х~. 70. Обозначим х=(~'тдх!)/~ пд!. Если х=О, то !=! !=! х, любое; если хФО, то х,=х/)х~. 71. Решение. Формализация /„(х„х,) = (х, — Ц)'+ (х,— (Э)' -!- дп1; /, (х„х,) = (хд/а!)'+ (хд/а,)' — 1 = О. Функция Лагранжа 'с' = Л, ((х, — $д)'+ (х,— $,)')+ Л ((хд/ад)'+ (х,/а,)д).
187 Необходимое условие Я,=О«»Л»(х! — $!)+Лхг/а~=О, 1=1, 2. Если Ли=О, то Лчьб, так как не все множители Лагранжа нули. Тогда хг=хг=О, но эта точка не лежит на эллипсе. Полагаем Л»=1 ~хг=$гагг/(агг+Л)„г=1, 2. Подставляя в уравнение эллипса, получаем айаг »»г г (Л) ! 1 + гг (и!+") (иг+Л) Число стационарных точек задачи (т. е. точек, соответствующих тем Л, которые удовлетворяют уравнению («)) не более четыРех (Рис. 5), неРавенство !Р(О)=фа',+агг/а',) 1 показывает, что !р(Л) изображена для точки ($!, $г), лежащей вне эллипса Рис.
с Рис. 6 Эллипс — ограниченное и замкнутое множество. По теореме Вейерштрасса решение существует. Для полного решения задачи надо решить уравнение (и), получить Ли найти соответствующие точки х(Л!), подставить эти точки в /с и найти наименьшее из полученных значений функционала. Соотношения х! — $!+Лх!/а!»=О, г=1, 2, имеют очевидный геометрический смысл: вектор $ — х пропорционален вектору- градиенту функции /! в точке х, т.
е. вектор $ — х лежит иа нормали к эллипсу. Этот факт был установлен впервые Аполлонием. Выведем из полученных нами соотношений уравнение кривой, «разделяющей» те точки $, к которым можно провести две нормали, от точек, к которым можно провести четыре нормали. Очевидно, что это разделение происходит для Л, удовлетворяющих соотношению («), для которых 188 212 3 зйз г гр'(Л) — — — '' — — О, Л~( — а~ — аз) (оз ! Л)з ! о2 ! Л)Я .
о 2 =~а~г+Л=А($ а,)вз, а~~+Л= — А($.,а,)~'~, яде А=(аг — а$)/(($,аг)"'+($,а,)'~'). Подставляя в (о), получаем уравнение разделяющей кривой г($,а,)' '+($,а,)'"=(аг — ар)'", Это уравнение астроиды. Вне .астроиды каждая точка имеет две нормали, внутри нее — четыре, на самой астроиде — трн (за исключением вершин, где .имеются две нормали (рис. 6)). 72. Из точки с координатами Дг, $з) к параболе у=ахз (а)0) можно провести три нормали, если точка расположена выше кривой $з=З 2 ема гя$гмз+2-га ', две нормали из точек .на этой кривой, кроме точки (О, 2 — ' а-'); одну нормаль из точек ниже этой кривой и точки (О, 2-'а-').
73. Расстояние от -точки хо до гиперплоскости (а, х)=Ь равно [(а, хо) — Ь[/!а[ (резпение см. в [АГТ, № 2.61[). 74. Расстояние от точки хо до прямой а/+Ь, а, Ь~К", равняется ([х — Ь[з — ((х — Ь, а)/!а[)')ггз. 76. х= — а/!а!енаЬзш(п, 1(Я) = [а[. 76. Стороны прямоугольни.ка: ~2а, 12Ь. 77. Задача не разрешима. 78. Точка хо не дает максимум в задаче. 79. хое=-аЬзтах. 80. (О, О, 4, 13)енаЬыпах, 5 .,=77.
81. (2, О, З)~аЬзгпах, 5 .„=6. 82. (2, 1, О, 0)е —: яаЬыпах, 5 „=6. 83. (6, 3, О, О, 0)яаЬзшах, 5,„=8. 84. (О, 6, 6, О, О, 0) енаЬзшах, 5,„=10. 86. (1, О, О, 1, О, 1, 3) ен ~аЬзшах, 5 „=10. 86. и+1, — п(1'( — и/2, х= — 1, [/!<и/2, хя аЬзппп, — х ен аЬяпах. / — и, и/2(/( и, 37. К(АТ,~ допустимых функций нет; с=АТ, ~х=А/ ен аЬяп1п; .АТ, <Д <О .у любая монотонно убывающая допустимая функция ~ ен аЬяп!и; $=0 =~х= — 0 я аЬзпип; ~> 0 рлюбая монотонно возрастающая функция: — аЬзппп (решгние см.
в [АГТ, № 10.31). 88. хм 1!=рЬяп!и, г5,,„=+со. 89. а — 1~"= — 0 = — аЬзш!п, а= — Ц=~х С/ярЬяп!и Ъ'Сенй, 5„я=О; а< — 1) 5,ы= = — оо, 5 „'=+со. 90. Т=1, х= — 2/енаЬяп!п, 5 „= +оо. '91. Т 1/2, х ~с 4/: — аЬзпп!и, 5,„= + оо. 92. Д!> 1 =!~допустимых функций нет. Д! ( 1 =г 5, = + оо достигается на любой .ломаной ([х(/) ! = ~ 1 вне точек излома), соединяющей точки (О, 0) и (1, К);, 5,„=9, $/ ен аЬзгп!и. 93. г ~ аЬзпнх, — г — аЬяп1и.
"94. х(/)=ЦТ„Я>0 *+х я !осш!п, $<0 +х 1осгизх, 5=0-~ ° +хйс1осгх1г; Ч$ х — не сильнын 1о=ех1г, 5„ы= — оо, 5,„=+со. 96. х=(2!/3)~г", х~ 1осш!и, х — нг сильный !осех1г, 5, ы = — оо, .5о,„— — +со. 93. х ',ПТ„$>Т,/3-'Ьхен1осш!п, $< Т,/3 +х я 189 ~ !осп1ах, К=То/3 ~хф !осех1г, У3 х — несильный !осех!г, 5 ы= = — оо, 5,„=+ оо. 97. 5 ы= — 1, 5,„=+1, х=п!енаЬзш(п 98.
5 ь= — Т, 5' =+Т; 2йп =,й/Т,<п+2йп, йе= Х +х= =5//Тпя !осгпах; 2йп — п<з/Тп<2йп, йя 2 ухов!осш1п; не выполйено необходимое условие Вейерштрасса =,' в обоих случаях х — не сильный !осех1г; К'Тп=йп, й ен У фтребуется дополнительное исследование. 99. 5пз,= — Тп, 5 =То', и/2+2йп< К(Тп< < Зп(2, й ен Х Э х ен !оспин; — п/2+ 2йп < з(Т, < п(2,;й ен 2 =~хан 1осшах; не выполнено необходимое условие Вейерштрасса*+ в обоих случаях х — несильный" !осех!г; ЦТп = и/2+ йн, й ~ У, =!ь ~ требуется дополнительное исследование. 100. 5 ы = — оо, 5,„=+со; Тп> — Ц2~х=ЫТпе!оспин; То< — $/2=' х ен ~ 1осшах; не выполнено необходимое условие Вейерштрасса + ~в обоих случаях х — несильный 1осех(г; Т,= — $/2 фтребуется дополнительное исследование.
101 ° 5 ы= — оо, 5 и =+ оо; $) ) 4ТБм(5 Ц! ~зм Сзм /5 ! ° < 4ТЬм/5 = 4(Сз" — (Т+ С)зг')/5 ен 1осшах, где С определяется из уравнение 4 ((Т + С)ю' — Сзм)/5 = ! з !. Необходимое условие Вейерштрасса не выполнено, так что в обоих случаях х — несильный.!осех1г. Прю !$!<4То'~/5 допустимых экстремалей нет. 102.
!З!<!1/~3 фх= =$/ен 1осшах; $!> 1/~З~хя !осш)п, причем при $)<1 эта экстремаль не доставляет сильного минимума, ибо условие Вейер штрасса не выполнено. 103. Краевым условиям удовлетворяет экс. тремаль х=О. Но она не является решением задачи: по теореме. Боголюбова 5 ы = — оо, 5 „=.+ оо. 104. Краевым условиям удовлетворяет экстремаль х ш О.
На этой экстремали выполненьн достаточные условия слабого минимума, ибо поле х(/, Х)~ А окружает экстремаль и условие Лежандра [выполнено:ЗЕ„; (/) = 2) О. Необходимое условие Вейерштрасса также выполнено, ибо функция: ха+2!хп выпукла. Сильного минимума, однако, нет. Достаточно взять ломаную х(/; й, й)=й//й 'при О = !<й и й(1 — /)/(1 — й) при й < ! < ! и для„,любого,'й > О подобрать й > О так, что пу (х( „ й, й))<О. 105. 5 ы= — оо, 5 =+ со, х=О ф!осек!г. 106. 5 ы= — оо (х„(!)=1 — С Т„=л), 5 „=+по.
Допустимая экстремаль: х=!и/4 — !+1(Т=2) ф!осех!г.!)107. 5 ы= — оо(х„(/)= =(/и — и*)/4+ лп Т„= и), 5,„= + оо. Допустимая'ч зкстремальс х=/и/4 — 8(Т =8) ф 1осех1г. 108. 5т~п — — — сю О;<:;/;<'1, х„(/) = — 1, 1'<!/„'<(и — 1, Т„=п (з+ 1) (/ — и+ 1) — 1, и — !'<!/ <'и ДопУстимаЯ эксгРемаль: х=/п(4 (Т= 2Я, $) О) ф!осех!г, 5,„=- = + оо. 109. 5пзп = — оо (х„(/) = (/и — л/)/4+ /, Т„= п), 5,„= 190 + оо. Допустимая экстремаль: х=!и/4 — (1 + У5) / (Т= 8+ +4У5)ф1осех1г. 110 (2!Тп — !и)/4~аЬзт!п, 3о/п= — Тп/!2, 3оаа= + оо ° 111 (!Та — ! )/4 е-:аЬзт1и~ Зппп= 7 о(48, 3пааа= "! оо 112. Т <2 '~х ы=(2/Т,— /п)(4е=аЬяп!и, 3 ы= — Тзп/12; Т,> [ Та 1 (! Та) /4 Та 2(~( (~ Та .х,„= — !еяаЬзтах, 3,„=Т,+То~/2, 113.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
