Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В силу выпуклости задачи хенаЬзш!п. 198. Онтнмальная траектория— 'окружность радиуса То/(2п) (решение см. в [АТФ, с. 110] ). 199. Решение. Формализация: т, ип — «!п1; х=и, и)0, 1+ «' о х(0) =О, х(То) =я. Функция Лагранжа т, Я= ~ /и!!+Л,х(0)+йах(То), /.= ~ +р(х — и). о Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера: — р=О; ' б) трансверсальность по х: р(0) =А), р(Т,) = — Ха, в) принцип минимума: ( Х01 1 ХО) ппп ( — ри~ = — ' — ри. «~о 1 1+и' ] 1+и' б) Если Хо=О, то р=сопз!ФО (р=О )1.,=3«=0 — все множители Лагранжа — нули) =:-й=О=«х=О.
Из условий на концах вытекает, что при 5=0 Х=О. а) а) Положим Х«=1=!)р=сопз!(О (р>0 ~ функция !/(1+из)— ри монотонно убывает с возрастанием и и не достигает мини«) мума). Если й(!))О, то /.„=0 =)) й(!) находится из уравнения 2«1 (1+ и )' 196 При малых значениях (тп!пЬ(Ь и)=Ь(Ь 0). Таким образом, и>0 ! О, 0(т<'т ;и = ~ ' . Момент излома управления т характеризует- ~ и((), та (( Т ся уравнениями р= —, т= — ри(т) 2й(т) т т (2) (! + й'(т))' ! + и'(т) .(второе уравнение в (2) Ь(т — 0) =Ь(т) — условие совпадения минимумов Ь в точке т). Из второго уравнения получаем — йз(т)т/(1+йз(т)) =рй(т), откуда р=тй(т)/(1+йз(т)). Подставив это соотношение в первое уравнение соотношения (2), находим, что йз(т)=1=:-й(т)=1 (ибо й~О), и тогда снова из первого уравнения (2) получаем равенство т= — 2р.
После излома оптимальное решение удовлетворяет соотно;шению (1), из которого следует, что Но Ф йи й! ди хи 2 ! и Интегрируя зто соотношение с учетом равенства х(т) =О, .й(т)=1, получаем параметрические уравнения искомой опти- .мальной кривой: х= — — ( (п — +и + — и /!+ — р, р т 1, з 2 (, и 4 ) 8 1= — (1 — +2и+и') р СО. р т ! 2 ( и Зту кривую называют кривой Ньютона. Покажем, что Х дос- тавляет абсолютный минимум в задаче. В силу принципа ми- нимума для любой допустимой функции х( ) ~ КЬт(10, Т,1), х(0)=0, к(Ть)=К, (/(1+ х' (1)) — рх(1) = г/(1+ х' Я) — рх Я.
Интегрируя это соотношение и учитывая, что тл т.. ( х(()й(=('х(() й(=й, о :получаем т. т, 296 Значит, х( )яаЬзпип. 200. 5,„= + оо, (Гв — 1)/2 я аЬяп(и. 201. 5 = +со; à — /в/2енаЬзш!и. 202. 5 в„=+ос; Гв/2ЯаЬЯп1п, 5 ь = 1. 203. 5,„= + со; /в — И= аЬзш!п, 5 !„= 4. 204. 5 = + со; /х — 2Р+ген аЬяи!п, 5 !„= — 24/5.
205. 5,„= -!- оо, ./4 — 5/в/2+ 3!в/2 я аЬып(и, 5 !„= — 9/5. 208. 5,„= + со, — 2/з+/вя аЬяп!п, 5 !„— 4/5. 207. /е~ ен аЬвш!п, 5,„= + со. 208. 5,„=+со, 11п/енаЬзгп)и. 209. 5,„=+оо, 11п/~аЬяпш. 210. 11п/енаЬзш!п, 5 „=+со. 211. 5 =+оо, 1п/еиаЬвш!и. 212. 5 = -(-оо, 1п!енаЬып)и. 213. 5,„=+ос, 1//анаЬяп)и. 214.
х сЬ1+СвЫ аЬвпии УС вн 11, 5 в„=+оо. 215. х = =сЬ/яаЬзш!и, 5.„,=+оо. 216. х=/сЬ/енаЬып!п, 5,„=+со'. 217. х=/зЬ/ви аЬзппп,5,„=+со.4218. х=Сз!п/яаЬзш!пУСен е,й, 5 „= + оо. 219. х=з1пгеи аЬяп1п, 5 ~= + со. 220. х = = — 2 (/+ 2) сов 1/(4+ ж) еь аЬзпнп, 5 „= + оо. 221. х— 2 (2/о+4Д) -5'+ (4' — 2") 5!О г Ьз 5 ен а ппп,,„= + оо. 4 — 4ж — ов 222. хеиаЬвш!и, где х=(С,/+Св)сЬ/+(С,/+С,)зЬГ, (неизвестные константы С С„С„С, определяются из условий 2(0)=1, и(0)= й(1)=' й(1)=0, й=х+У2х. 5пюх=+со. 223. 5еах=+со, 1/ГяаЬзш!п. 224.
5 =+оо, сЬ/з1п/ — зЫ((Ьжз1п/+сов/)еи, ен аЬяп!и. 225. 5,„=+оо, сЬ/з(и/ — Й !сов/ ен аЬзппп. 226. 5,„= + оо, 5ою„= — оо; (соз/+сЬ Г вЂ” — (Й1+ып/))/2 ф 1осех1г, ! + сн и ьн я '227. 5,„=+оо, 5 и= — со; ~з!и/+с(Ь вЂ” соз/ — )/ 2ф и сЬГ+сн(я — 0! /' 2 воя ф1осех1г. 228. 5, = + оо, (з1п/)/2+(зЬ 1) Д2Й вЂ” ) еи аЬзпип. 2 / 229. 5,„+со, 5 !„= — оо; ' — — ф!осех1г. 230.
5,„= сЬГ сов/ 2во (и/2) 2 =+оо, х= — сов/~!осах(г; 5 !„= — со (х„(Г) х(/)+п(сЬ(ив — г))+сов/ — -~зЬ(п — Г)+в!и/)), 231 5щад= + со! з!пг ен сап+ ! еи'аЬяп)и, 5 !„=О. 232. 5,„=+со; (1+зЬ вЂ” ~(яи/ — Й/)/2+ +сЬ вЂ” (сЬ! — соя/)/2 вн аЪяп!и. 233. '5,„=+ со, в!п/ен аЬвш!и. 2 234. 5, +оо, зЫяаЬзш!и. 235. 5,„=+со, сЬ/яаЬяп!и. '236. 5о,, =+ со, 1 — соз/ е аЬяпш. 237. 5,х — — + оо, 2(з(п/— — соз à — 1+ 1)/(4 — и) еь аЬзпип. 238. Р— 2 я аЬвппп, 2 — гв я аЬыпах.
239. !в — /я аЬяп!и, 1 — /в ен аЬяпах. — (/ — 4)в 197 '240. х=~( (в 3)41. х= (1 — 2)в — 2 О</<1, 1«,2, еаьзш! . О</<1, 1</<3, еиаЬзш!и, — хяаЬзшах. 3</<4, КРАТКАЯ ХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА Классическая изопериметрическая задача обсуждалась, по-видимому, в Ч в. до и. э., упоминается у Аристотеля (384 — 322 до н. э.). Задачи античной геометрии встречаются в трудах Евклида (П1 в, до н. э.), Архимеда (ок. 287 — 212 до и. э.), Аполлония (ок. 260 — ок. 170 до н. э.). Необходимое условие — теорема Ферма: Ферма, !629; Ньютон, 1671, Лейбниц, 1684.
Взриациоиный принцип — Ферма, 1662. Задача Ньютона — Ньютон, !687. Задача о брахистохроне — Н. Бернулли, 1696. Работы Эйлера (1707 †17) по вариационному исчислению — с 1726. Вывод уравнения Эйлера прямым методом — Эйлер, 1744. Правило решения изопериметрической задачи — Эйлер, 1744 (строгое доказательство — Вейерштрасс, ок. 1880). Задача со старшими производными (уравнение Эйлера — Пуассона) .Эйлер, 1744; Пуассон, 1833. Работы Лагранжа (!736 — 1813) по вариационному исчислению — с 1!755.
Метод вариаций Лагранжа — Лагранж, !759. Уравнение Эйлера для многомерной задачи — Эйлер, 1770; Гаусс, !813; Остроградский, 1826; Пуассон, !831. Задача Лагранжа: постановка и формулировка правила множителей— .Лагранж, 1788; доказательство правила множителей — Майер, 1886. Условие Лежандра — Лежандр, 1786.
Правило множителей Лагранжа для конечномерных задач — Лагранж, 3797. Теория Гамильтона — Якоби — Гамильтон, 1834; Якоби, 1837. Условия слабого экстремума — Якоби, 1837. Условия сильного экстремума — Вейерштрасс, ок. 1880. Теория поля — Кнезер, Гильберт, 1900. Начала бесконечномерного анализа — Вольтерра, 1887; Гильберт, 1906; Баках, 1932. Начала выпуклого анализа множеств — Минковский, 1891; функций— Фенхель, 1949.
Линейное и 'выпуклое программирование — Л. В. Канторович, 1939; Ланциг, 1947; Кун — Таккер, 1951. Теория оптимального управления — Л. С. Понтрягин и его школа, 3953 — 1961. ЛИТЕРАТУРА АГТ Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров дач по оптимизации. Мс Наука, 1984. АТФ Алексеев В. М., Тихом пров В. М., Фомин управление. Мл Наука, 1979. КФ Колмогоров А. Н., Фомин С.
В. Элементы функционального анализа. Мл Наука, 198!. В. М. Сборник за- С. В. Оптнмальное теории функций и. 10 12 16 14 15 !6 17 18 19 20 21 22 Ахиезер Н. И. Вариационное исчисление. Харьков: Изд-во Харьк. ун- та, 198!. Б лисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. Мл ИЛ, 1950. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления.
Мл Наука, 1969. Буслаев В. С. Вариационное исчисление. Лл Изд-во ЛГУ, 1980. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1980. Га 6 а сов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во БГУ, 1981. Га нурия М. К., Малоземов В. Н. Экстремальные задача с ли- нейными ограничениями. Лл Изд-во ЛГУ, 1984. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. Мл Физ- матгиз, 1961. Заславский Ю. Л. Сборник задач по линейному программированию. Мл Наука, 1969. Зорич В. А.
Математический анализ, часть 1, П. Мл Наука, 1981„ 1984. Иофф.е А. Д., Тихомиров В, М. Теория экстремальных задач. Мл Наука, 1974. К р а с н о в М. Л., М а к а р е н к о Г. И., К н с е л е в А. И. Вариациоиное исчисление. Мл Наука, 1973.
Карманов В. Г. Математическое программирование. Мл Наука, 1980. Ма птуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики. М: Высшая школа, 1986. Никольский С, М. Курс математического анализа. Т. 1 н 2. Мл Наука, 1975. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. Мл Наука, 1986. Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных процес- сов. Мл Наука, 1976. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. Мл Наука, 1982. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. Мл Наука, !980.
Рока ф ел пар Р. Выпуклый анализ. Мл Мир, 1973. Сухарев А. Г., Ти мохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. Мл Наука, 1986. Я нг Л. Лекции по вариационному исчислению н теории оптимальногэ управления. Мл Мнр, 1974. КРАТ7(ИИ ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ЛИТЕРАТУРЕ В нашей книге отражен опыт преподавания различных курсов оптнмизацин на механико-математическом факультете МГУ.
Во многом ее материал перекликается с книгами [АТФ; АГТ], но здесь мы постарались сконцентрировать то основное, вз чего можно формировать различные курсы оптимизации. В книгах [АГТ; АТФ) читатель сможет почерпнуть много дополнительных сведений. О том, как строятся различные курсы оптимизации в других университетах и на факультете ВМК МГУ, можно получить впечатление по книгам [1; 4; 5; 6; 7; 2Ц . В первых четырех параграфах книги мы в основном опираемся на любой стандартный курс математического анализа, В нашем списке это курсы [!4; 15) для вузов нли университетский учебник [1О]. Многие факты $ 2 отражены в этих курсах, и мы надеемся, что материал этого параграфа может быть полезен тем, кто читает лекции и ведет занятия по математическому анализу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
