Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Множество точек (йь [(э), из котоРых можно пРийти в нача.ло координат, включив двигатель на полную мощность, задается в параметрической форме уравнениями «1(а)=хэ(а)=0. Исключив из этих двух уравнений параметр а, получаем кри- 159 вую Ч'($ь $г). Так приходим к окончательному ответу: следует в течение времени т, определяемого первым полозсительным корнем уравнения Ч'(31+ягт — утз/2, $» — ут) =О, (4) предоставить аппарату возможность двигаться свободно, а затем включить тягу на полную мощность. Если при данных (4ь 4») уравнение (4) не имеет решения, мягкая посадка невозможна. '(Об этой задаче см.
А. М. Летов. Динамика полета н управление. Мл Наука, 1969). Много интересных вопросов теория оптимального управления содержится также в книге Лн Э. Б., Маркус Л. «Основы теории оптимального управления» (Мл Наука, 1972). !2.2. Задача Годдарда Исследуемые здесь вопросы навеяны одной проблемой ракетодннамикн. Движение управляемой ракеты в однородном поле описывается системой уравнений х=о, о=Ра/т+я, т= — Р/й. Здесь х, оы)1' — векторы положения н скорости ракеты, в— единичный вектор в Йз, Р— величина тяги ракеты, т — ее масса, у — векторная величина, характеризующая поле тяготения (в нашем случае — в случае однородного поля — постоянная величина), /г — константа, отражающая зависимость расхода топлива от тяги.
Положим и =Рсг/т, из уравнения та= †/я получаем ы(т/тп) = — и/й. Умножив теперь обе части последнего равенства на е и учнтывая, что а и и пропорциональны, получим т, — = — — -Р т (Т,) = т (О) ехр ~ — ~ (и ~ д() . 'т 1и1 т ! о Пусть в начальный момент 1=0 положение, скорость н начальная масса ракеты известны. Спрашивается, как следует управлять, ракетой, чтобы в фиксированный момент времени Т, она достигла заданной точки с заданной скоростью, израсходовав минимум топлива. Легко понять, что эта задача приводит к следующей формализации: тл ~ '1и1д( — т1; х=и+у, х(0)=х„х(0)=о, о (з/ х(Т»)=х, х(Т,)=о . При решении несущественно, что х принадлежит 1«ь. Далее считаем, что все векторы х, д, х лежат в пространстве К".
160 ! Решим задачу методом двойственности, сведя ее к ляпунов- ской. Имеем в силу того, что х=и+а: т, х(1)=о,+~(и+у)((т ~о =о +) ий+дТо, о То т ° а о х(1) = хо+ ~ х()т -т хт = хо+ отТо — — ~ (и(Ы. 2 о о Таким образом, мы пришли к ляпуновской задаче т, )в )и! (1)-)-ш1; ~ и(1)=Ч, ~ 1и(1)=$, о о где ат,' $= хо — х, + отТо — — Ч = от оо КТо. 2 Значение задачи обозначим 3($, Ч). Ясно, что 5 определена и конечна (а следовательно, непрерывна) на всем К" Х К" Применим метод двойственности. Имеем о (Р ()) зпр((ь Р) + (Ч ()) о (Ь Ч)) (В ч) т, т, тв =знР [(Я, Р)+(Ч, д) — 1п( Д !и! Ф~'1 и(1(=Ч, $ 1ий=$))= и ч) о о о т.
=зпр~~ (Ф(и(1), р)(-(и(Ю), д) — )и(1)))(11)= и(-) т, зор((и, фр+Я) — ~и~)(11= о О, !1р+(1~ (1 т'тя[0, Т,[, + ао, Ят ен [О, То[, такое, что ! тр+ д ~ ) 1. ° ° Опишем множество А пар (р, (1), для которых ~1р+д~~1 1)"де=[0, То[. Имеем гр+ ~ = — '(Т,р+ ~)+ [1 А=,((р, д)1~Т,Р+д~=1, !д~~1).
161 Теперь по теореме Фенхеля †Мо можно сразу найти численное значение задачи (в выкладке вводится обозначение т= = Тор+ Я~="Р= (т — Ч) (То) ." 8(В, Ч)=В"6, т))= пр((В Р>+<гь Ч> — В'(Р. Ч))= (».и = Ч „((В, Р>+(1, Ч>) =„1, ((В, — >+ (Ч. Ч вЂ” )) = Импульсное управление а»в и (1) = — '"' — оо — — '~) 6 (1) 1 — '"' — с«+ ~' ) 6 (1 — Тв) где 6( ) — 6-функция Дирака является, очевидно, допустимым л оптимальным: тв т.
т, ~ и(1)В=ту, ~ Си(Г)М=$, ~ ~и(1)~Ш =5(Я, Ч). о о о Оно и доставляет решение задаче. Нетрудно показать, что в общем случае, когда векторы й н и — 3/Т» имеют разные направления, решение задачи (з) единственно. В вырожденном случае, когда векторы $ н ц — Ц~Т« оба отличны от нуля и имеют одно направление, имеются и импульсные (и даже с единственным импульсом) и непрерывные управления. Об этой задаче см.
также «Основы теории оптимального управления» под ред. Н. Х. Розова (М.: Знание, 1973). 12.3. Задача Улама В книге С, Улама «Нерешенные математические задачи» (М.: Наука, 1964) поставлен вопрос: как минимизировать сумму длин путей, проходимых концами единичного отрезка, перемещаемого в плоскости из одного заданною положения в другое? Решим частный случай задачи, когда требуется перевести отрезок (Ао. Во!, А»= (а, О) в отрезок (Аь В1), А1 = '( — а, О) (см. рнс. 4).
162 Решим эту задачу, применив к ней принцип Лагранжа. Формализация: ~(~х,'+хе~+ г' (х,— в!п!)'+(х,+сов!)в)й-ь!п1; о х1(0) =хе(0) =О, х1(п) $ь хв(п) 4в. (з) Функционал в (з), как нетрудно понять, выражает сумму длин путей начальной точки отрезка А(!) =(х~(1), хв(!)) и конечной точки В(!) =(х1(!)+сов!, хв(!)+в!п!). При этом угол 1, образуемый отрезком АВ с осью Охь монотонно изменяется от нуля до и. С.
В. Бурцев показал, что для любой траектории в1 перемещения отрезка А(0)В(0) в отрезок А(п)В(п) и для любого е>0 найдется траектория описанного типа, у которой функционал может быть больше лишь на е суммы длин путей концов отрезка траектории я!. Значит, полное решение задачи (з) даст и решение задачи Улама.
Задача (з) редуцируется к ляпуновской: (!и!+ !и — о(!)!)б1- !п1; ) ий=в, о где $=($ь йв), и=х, о(!)= (ып1, — сов!). Положим Е(8, и) = !и!+ !и — о(!) !+Хи (случай Хе=О невозможен). Принцип минимума дает пипЕ(1, и)=Е(1, и(!)) ~ — Аенд„(!и!+ !и — о(!)!)(и(!)). (1), ива* Из (1) и формулы для субдифференциала суммы получаем: если й(!) не есть нуль или о(!), то (2) 3й(О! !й!Π— о (8)! Расшифруем соотношение (2). Возможны два случая: !Х!~2' или !Х~=2.
В первом случае из соотношения (2) видно, что два единичных вектора в сумме дают — Х. Этим оба вектора определяются однозначно с точностью до перемены их местами. 163: Итак, пусть — Х=п!+пь Тогда й(1)/!й(!) ~ равно или и!, нли мь т. е. направление скорости первого конца (при условии, что )х~ (2 и оба конца движУтсЯ) — либо и!, либо пь а напРавление скорости второго конца — либо пз (если скорость А равна и!), либо и! (если скорость А равна пт).
Если же !Ц =2, то скорости А и В имеют одно направление, что может быть лишь в вырожденных случаях, который в нашем частном случае не реализуется. Таким образом, направление скорости конца либо совпадает с пь либо с пь либо скорость равна нулю, либо равна о(1). Теперь можно разрешить задачу Улама в нашем случае. Движение изображено на рис.
4. Левый конец двигается по ломаной АьСАь правый конец — по отрезку ВьВ', затем по дуге В'В" единичного радиуса, левый конец в это время фиксирован в точке С, а затем — по отрезку В"В,. Их скорости при движении по отрезкам направлены вдоль векторов и, н пь образующих с осью Ох! угол а, равный агссбп 1 (чита- 2а+ 1 тель без труда решит соответствующую геометрическую задачу).
Данная траектория удовлетворяет принципу минимума и, значит, доставляет минимум в задаче, ибо при ХьФО необходимое условие является достаточным. 12.4. Теорема Чебышева об альтернансе В этом и следующем пунктах покажем, как применяется теорема об очистке. Докажем следующий результат. Для того чтобы полипом р( ) степени <п — 1 наименее уклонялся от непрерывной функции х( ) в метрике пространства С( 1(ь, г!) ) необходимо и достаточно, чтобы нашлись з>п+1 точек, в которых х( ) — б(.) принимает, чередуясь, свои максимальное и минимальное значения.
Напомним, что полипом наименьшего уклонения в пространстве С((гь, г!] ) определяется соотношением Пх( ) — р(.)Пс!1с,,1,в= ппп !!х( ) — р( )Пс!1!,л,в. ь! !в"~л < Н е о б х о д и м о с т ь. Естественно предположить, чт х( ) Ч.:!т,. Рассмотрим выпуклую задачу без ограничений в К" ! (х)= и!ах ! (1, х): = !!х(.) — р(.)!!сн!!и.' = !ш!,!и и = шах 1х(1)+'~' х„1' '~-ь 1п1. ьа!!.,!и ! 464 'Функция ) — непрерывна и, как легко понять, растет на бесконечности.
Значит, по следствию из теоремы Вейерштрасса решение х задачи существует и тогда О~д~(х). Применяем теорему об очистке. Согласно этой теореме, если О~д)(х), то най- дУтсЯ оп+1 точек 1сс(тс(тт(... (т,а(„з чисел ас, ..., а, и л векторов у!ад )(тс, х), таких, что с (т„х)=Их( ) — р( )с!с!!с„с,н, ~ а;=1, ~ а!ус=О (1) с=-! с=! Вследствие того что 1(тс, х)ФО, субдифференциал дс1(тс, х) совпадает с производной. Дифференцируя х-с-)(ть х) по х в точке х, получаем ус=э(дп(х(тс) — р(гс)) (1, ть ..., т;" '). (2) 'Из (1) и (2) вытекает, что система ~ асз)йп(х(т) — Р(т))тс=О, Я=О, 1,:,и — 1, (3) с=! асмеет нетривиальное решение и, значит, з=п+1. Умножая т-тое уравнение на хь и складывая, получаем л+! '~~ асз)яп(х(тс) — р(тс))р(т,)=О Ур( )~д'„.
(4) с 1 Лусть р;( ) енУ„, 1(с(п, такой полинам, что р;(тс) =бп, 1(1(п. Из (4) получаем ас з)йп (х (ъс) — р(тс))+ а с.! з)яп (х (т„+!) — р(т„+!)) р, (т„+!) = О, з)нп(хс(тс) — р(тс))= — з)яп(х(т„+!) — Р(т„+!))з)нир,(т„+!), (5) по, как легко понять (из определения рс (т„+!)), з)йп рс (т~+!) = =( — 1)с ", т. е. з1ип(х(т„„!) — Р(т„+!)) = — з)Яп(х(т„) — р(т„)) = *=з)дп(х (т„!) — Р(х(т„!)) =..., иначе говоря, в точках (тс)"с+! функция х( ) — Р( ), чередуясь, принимает свои максимальное и минимальное значения.
Даст а то ч н ость. Пусть в точках ссс(тс«...т,((ь з)п+1, функция,х( ) — р( ) принимает, чередуясь, максимальное и минимальное значения. Если допустить, что для некоторого р (; ) енУ, Их( ) — Р( )Иснс,.си!( Их ( ) — Р( )Исцс,,с,сс, то окажется, что числа Р(тс) — р(тс) являются попеременно то отрицательными, то положительными. Но тогда функция Р(.)— 165 — р( ) должна иметь ~)п нулей. Это невозможно, так как р( ) — р( )- — полипом степени (и — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
