Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Именно это обстоятельство позволило устроить в и. 4.2.4 «скользящий режим> и обосновать невозможность существования решения. Как показывает пример с задачей Ньютона (Е(1, х)=1((1+ха), У=К+), невыпуклость интегранта не всегда влечет несуществование решения. 2) Недостаточный рост нитег ран та. В примере 3 (Вейерштрасса) интегрант Е имел вид Ь(1, х) =1«х'. Функция х-~Е(1, х) имеет вполне достаточный (квадратичный) рост при всех г, кроме 1=0.
Функция Ь(0, х) тождественно равна нулю. И именно это обстоятельство — отсутствие роста интегранта по х — здесь является причиной того, что решения нет. Как известно, решение не всегда существует и в задаче о минимальной поверхности вращения, когда Ь(х, х)=х Р' 1+ха. Здесь рост интегранта такой же, как у линейной функции, а этого также недостаточно.
Следует отметить, что в обоих случаях чуть измененные интегранты (Е(1, х)=(мзхз — пример Гильберта и Ь(х, х)=У1+х»/х — «плоскость Лобачевского») обладают свойством существования. Таким образом, недостаточный рост интегранта также не всегда приводит к несуществованию решения. 155 3) Неограниченность функционала снизу. В примере 4 интегрант Е имеет вид Е(х, х)=хо — хо. В этом слу.
чае наличие сопряженной точки влечет за собой неограниченность функционала снизу, и это обстоятельство, разумеется, приводит к несуществованию решения. Если устранить .все три отмеченных обстоятельства, то можно добиться существования решения. Приведем, скажем, такой результат. Теорема Тонелли. Пусть в задаче (з) интегрант Е, допускает оценку Е(Е х, х))а[х[о+р, где а)0, р)1, (1, х) принадлежит некоторой связной замкну- той области 6~1~, содержащей точки (1о, хо), (1ь х,), и при этом функция х- Е(1, х, х) выпукла для любой пары (1, х) енб. Тогда среди всех абсолютно непрерывных кривых, график кото- рых расположен в 6, существует кривая, доставляющая мини- мум в задаче (з) .. Как видим, условия Тонелли позволяют избежать всех трех причин несуществования решений, о которых говорилось выше ,(Е предполагается квазирегулярным (ч=о-х-о-Е(1, х, х) — выпук- ла), рост по х больше линейного и интегрант ограничен снизу).
Мы не приводим доказательства теоремы Тонелли, отсылая чи- тателя к книге [Ц. Отметим здесь же, что квазирегулярность иитегранта с тео- 6 етической точки зрения можно всегда считать выполненной. риведем соответствующий результат. Т е о р е м а Б о г о л'ю б о в а. Пусть б — замкнутая связ- ная область в 11о, содержащая точки (1о, хо), (1ь х1), Š— не- прерывная функция в 6ХЙ, Š— овыпукление функции х- -+Е(1, х, х), (1, х)енб (ч= Е(1, х, ° ) — это вторая сопряжен- ная в смысле выпуклого анализа функции Е(1, х, ) ), У(х(-)):=~Е(1, х, х)й1-ч.(п1; х(1)=х, х(1)=х, (з) ц — простейшая задача с интегрантом Е. Тогда численное зна- чение в задаче (з) (гори условии, что графики функций х( ) ле- жат в 6) совпадает с численным значением задачи (з) и, бо- лее того, для всякой функции х( )енС'([1о, Г,[), х(1о) =хо, «(1~) =хь ((Е х)~6 "т1е=[1о, Г [) существует последователь- ность (х„( ° ))„1 с теми же свойствами, такая, что х„( ° )о-х( ) в пространстве С([1о, 11[) и 1ипоУ(х„(.))=оУ(х( )).
л Оптимальное управление предоставляет новые возможности для подхода к проблемам существования. Например, имеет место Теорема. Пусть в задаче (з) с дополнительным условием [х[(А интегрант Е определен, непрерывен в Во и квазирегуля- 156 ,рен. Тогда если существует допустимая функция, то существует и решение задачи.. <) Доказательство этой теоремы очень просто.
Проведем его прн дополнительном предположении о гладкости Е по х. Пусть (х„(. ))„1 — минимизирующая последовательность. Из условий х,(1с)=хе, [х„(1) (~А вытекает по теореме Арцела (10, ч. П, с. 392) компактность (х„( ))„~ в пространстве С([йь 11) ). Значит, можно считать, что х„(.) равномерно сходится к х( ) н х„(-) сходится к Х( ) слабо[еь )(х„(1) — х(1))аЯд(-~0 Уа( )~ ц ен С([1„11))). Но тогда в силу компактности, (х,(.)) непрерывности н квазирегулярности Е, оценок [х„(1) [~А, [х(1) [~А н слабой сходнмостн (х,( )) к х( ) получаем гм ' ы «Т (х„(.
)) — еу (х ( )) = ) (Е (1, х„(1), х„(1)) — Е (1, х (1)„х (1)) д( = и ы = ~(Е(1, х„(1), х„(1)) — Е(1, х„(1), х(1))+ Е(1, х„(1), х(1))— н — Е(1, х(1), х(1)))с(1~~ ~ (х„(() — х(1))Е;(1, х„(1), х(1))д1+т„= н н = ~(х„(1) — х(1))(Е;(1, х„(1), х(Ф)) — Ей(Ф, х(г), х(1))+ н +Е;(1, х(1), х(1)))с(г=р„+р„'+т„, [р„[- О, )р'1-~0, [т„[-~0. ' )Итак, 1пп Р(х„('))=чу(х(.)), т.
е. х( ) — решение задачи. Г В течение длительного времени в варнацнонном исчислении противопоставлялись классические методы, основанные на вы.воде н исследовании уравнений Эйлера, н построение решений с помощью предельных переходов (здесь центральную роль играют теоремы существования). Доказанная 'только что теорема позволяет в принципе ис«следовать простейшую задачу к.в.н. классическими методами, минуя теорию достаточных условий [АГТ, с. 199).
Что касается численных реализаций прямых методов, то в варнационном исчислении издавна применялись методы Ритца и Галеркина [4) . $ 12 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 12.1. Задача о мягкой посадке космического аппарата Рассмотрим задачу о мягкой посадке космического аппарата на плоский участок небесного тела, лишенного атмосферы. При.мером такого небесного тела может служить Луна. 15е Пусть космический аппарат движется по прямолинейной траектории, перпендикулярной поверхности небесного тела, т(() — масса аппарата в момент г, х(г) — расстояние его от поверхности тела. На космический аппарат действуют сила тяжести — ут и сила тяги йи.
Коэффициенты у)0 (ускоренна силы тяжести) и й (ускорения силы тяги) предполагаем постоянными; на управление и накладывается ограничение 0(и(К Тогда по второму закону Ньютона динамика полета опишется уравнениями: тх'=йи — ут, т= — и, 0(иЯ3. Поставим цель мягко посадить аппарат, затратив минимум топлива (не фиксируя времени посадки).
Это приводит к следующей формализации (обозначаем х(() через хь т(0) через хь т(0) через то, время посадки через Т): т — т(Т) — т!; х =х, хо=(йи/т) — у, т= — и, х (0)=$ ) О, х,(0)=$„т(0)=т„х,(Т)=х,(Т)=0, 0(и(0. Действительно, разность между начальной и конечной массой равна затраченному топливу, числа х1(0), хо(0) и то характеризуют начальные положения и начальную массу аппарата, соотношения х~(Т) =хо(Т) =0 означают, что посадка произведена мягко — в нужную точку аппарат опустился с нулевой скоростью.
Мы пришли к задаче оптимального управления. Функция Лагранжа т Я =Ли(то — т(Т))+~'(р (х — х,)+р, (хо — — и+ у) + о +ро(т+и)) Ш+р,х,(Т)+рохо(Т). Неинформативные закрепленные на левом конце краевые условия в функцию Лагранжа не включены. Необходимые условия: а) уравнения Эйлера йи — Р,=О, — Р,— Р,=О~ — Ро+Ро — =0; б) трансверсальности по х Р1(Т) = †)оь Ро(Т) = — Рь Ро(Т) =Ло( в) оптимальности по и ппп (р Яи — роЯ ~ =р (()и(() — роя йи 1 - Аи(~) о~и~и т (о) ) т (() 158 г) стационарности по Т вЂ” Ъ т(Т)+р,х,(Т)+р,х,(Т)=Ось)чй(Т) — р,(Т)( — ( — у) =О. 1, Из а) следует, что р~(8) =р=сопз(, рэ(Г) = — р1+ц, д=сопз1. (1) Обозначим ф(С) = — рз(Г)+йрэ(С)/т(С).
Тогда из а) получим (2) ф(г') = — йр~т(г). Из условия стациоиарности по Т приходим к равенству .э(Т) й(т) = р,(Т)т, (3) л из оптимальности по и находим [ 0 при зр(8)<0, [ У при ср (1) => О. Если р=О, то из (2) следует, что ср=чро=сопя(. При этом фью, иначе из (1) и (3) получится, что рз=О, и все множители Лагранжа окажутся нулями. Поэтому либо й(Ф)~0, либо й(Г) ~У.
Если же рчьО, то функция ~р строго монотонна и, значит, имеется единственное переключение с й(1) вм У на й(Г)эмО ИЛИ, НаОбсрОт, С й(1)= — 0 На й(Г)ие0. ОдыаКО ЛЕГКО понять, что первый случай невозможен, ибо нельзя мягко посадить ракету с выключенным двигателем'. Значит, остаются лишь две возможности: либо двигаться без переключений с й(Г) — У, либо сделать одно переключение с нуля на У. Пусть т — момент переключения.
Движение аппарата при .Г(т задается формулами свободного падения: «1=$1+4э( — У1з/2, ха=3э — УГ, т(Г)=— тм В фазовой плоскости (хь хз) эти соотношения определяют параболу «1=$1+5®э — «э)/у — ($з — хэ)92у. Движение аппарата ла участке [т, Т[ определяется уравнениями (э), где и(1)~У; «1(т) =$ь «э(т) 5, т(т) =та. Решение соответствующей задачи Коши имеет внд (т+а =С): ! ~о Уа Уа х (т+а)=$,+5 а — — уаР+Йх+ — ' [1 — — ~1п~1 — —, 2 6$.) х,,(т+ а) = ф,— усс — Й 1п(1 — Уа/ть), т = т,— Юа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
